Bestimmung der Parabelgleichung
1) \( \quad y = ax^2 + bx + c \)
Wenn drei beliebige Punkte auf einer Parabel bekannt sind, können diese in die allgemeine quadratische Funktionsgleichung eingesetzt werden. Durch das Lösen des linearen Gleichungssystems lassen sich die Koeffizienten $a, b$ und $c$ und somit die Parabelgleichung bestimmen.
Beispiel:
Wir wollen die Gleichung der in der Abbildung dargestellten Parabel bestimmen.
Durch Einsetzen der Koordinaten der gegebenen Punkte in die allgemeine Form
\[
y = ax^2 + bx + c
\]
erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
Für \( A(-1 , 5) \): \( a – b + c = 5 \),
Für \(B(2 , 5) \): \( 4a + 2b + c = 5 \) und
Für \( C(1 , 3) \): \( a + b + c = 3 \).
Durch ein lineares Gleichungsverfahren ergibt sich die Lösung:
\[ a = 1, \quad b = -1 \quad \text{und } c = 3 \]
Die gesuchte Parabelgleichung lautet somit:
\[ y = ax^2 + bx + c \Rightarrow y = x^2 – x + 3 \]
2) Sind die Nullstellen der Parabel (Schnittpunkte mit der Ox-Achse) sowie ein weiterer Punkt auf der Parabel bekannt, lässt sich die Gleichung mithilfe der Produktform (Nullstellenform) bestimmen:
\[ y = a(x – x_1)(x – x_2) \]
Beispiel:
Wir wollen die Gleichung der oben dargestellten Parabel ermitteln. Da die Nullstellen bei
\[ x_1 = -1 \quad \text{und } x_2 = 2 \quad \text{liegen,} \]
erhalten wir durch Einsetzen in die Nullstellenform:
\[ y = a(x + 1)(x – 2) \]
Um den Streckungsfaktor \( a \) zu bestimmen, setzen wir den bekannten Punkt \( (-2, \frac{5}{3}) \) in diese Gleichung ein:
Für \( x = -2 \): \( y = \frac{5}{3} = a(-2 + 1)(-2 – 2) \)
\[ \Rightarrow a = \frac{5}{12} \quad \text{und somit lautet die Gleichung } y = \frac{5}{12} (x + 1)(x – 2). \]
3) Wenn der Scheitelpunkt der Parabel und ein weiterer Punkt auf ihr bekannt sind, kann die Gleichung mithilfe der Scheitelpunktform ermittelt werden:
\[ y = a(x – r)^2 + k \]
Beispiel:
Wir wollen die Gleichung der Parabel mit dem Scheitelpunkt T bestimmen.
Da die Koordinaten des Scheitelpunkts gegeben sind durch:
\[ r = -1 \quad \text{und } \quad k = 4, \]
liefert die Scheitelpunktform \( y = a(x – r)^2 + k \) direkt:
\[ y = a(x + 1)^2 + 4 \]
Um \( a \) zu berechnen, setzen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse \( (0, 3) \) in diese Gleichung ein:
\[ \text{Für } x = 0: \quad y = 3 = a(0 + 1)^2 + 4 \]
\[ \Rightarrow a = -1 \quad \text{und die Parabelgleichung lautet } y = -(x + 1)^2 + 4. \]
AUFGABE 13
Die in der obigen Abbildung dargestellte Parabel \( y = f(x) \) mit dem Scheitelpunkt T verläuft durch den Ursprung. Wie groß ist der Funktionswert \( f(5) \)?
\[
\text{A)} -6 \quad
\text{B) } -5 \quad
\text{C) } -4 \quad
\text{D) } -3 \quad
\text{E) } -2
\]
Lösung:
Da die Parabel die x-Achse in den Punkten
\[ x_1 = 0 \quad \text{und } \quad x_2 = 4 \quad \text{schneidet,} \]
lautet die Nullstellenform \( y = a(x – x_1)(x – x_2) \Rightarrow y = a x (x – 4) \). Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt aufgrund der Symmetrie genau in der Mitte:
\[
r = \frac{x_1 + x_2}{2} \Rightarrow r = \frac{0 + 4}{2} = 2.
\]
Somit hat der Scheitelpunkt die Koordinaten \( T(2, 4) \). Setzen wir diesen Punkt in die Gleichung ein:
\[ \text{Für } x = 2: \quad y = 4 = a \cdot 2 \cdot (2 – 4) \]
\[ \Rightarrow a = -1 \quad \text{und somit gilt } f(x) = -x(x – 4). \]
Daraus ergibt sich für \( f(5) \):
\[ f(5) = -5(5 – 4) = -5. \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 14
Die Abbildung zeigt eine Parabel mit dem Scheitelpunkt \( T(-2, -1) \). Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck ATB in Flächeneinheiten?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Mit den Koordinaten des Scheitelpunkts \( r = -2 \) und \( k = -1 \) lautet die Scheitelpunktform:
\[
y = a(x – r)^2 + k \Rightarrow y = a(x + 2)^2 – 1
\]
Der Schnittpunkt mit der y-Achse \( (0, 3) \) liefert durch Einsetzen den Wert für \( a \):
\[
\text{Für } x = 0: \quad y = 3 = a(0 + 2)^2 – 1
\]
\[
\Rightarrow a = 1 \text{ und somit } y = (x + 2)^2 – 1
\]
Nun bestimmen wir die Nullstellen der Parabel, indem wir \( y = 0 \) setzen:
\[
y = (x + 2)^2 – 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0
\]
\[
\Rightarrow x = -3 \text{ oder } x = -1
\]
Die Schnittpunkte mit der x-Achse lauten demnach \( A(-3, 0) \) und \( B(-1, 0) \). Die Grundseite des Dreiecks ATB liegt auf der x-Achse und hat die Länge:
\[
|AB| = |-1 – (-3)| = 2
\]
Die Höhe des Dreiecks entspricht dem Betrag der y-Koordinate des Scheitelpunkts \( T \):
\[
h = |k| = |-1| = 1
\]
Für den Flächeninhalt des Dreiecks ATB folgt:
\[
A(ATB) = \frac{ |AB| \cdot |k| }{2} = \frac{2 \cdot |-1|}{2} = 1 \text{ Flächeneinheit.}
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
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