Gleichheit von Polynomen
Zwei Polynome sind genau dann identisch (oder einander gleich), wenn sie folgende Bedingungen erfüllen:
1. Die Grade der Polynome müssen übereinstimmen ($\deg[P(x)] = \deg[Q(x)]$).
2. Die Koeffizienten aller entsprechenden Terme mit demselben Grad müssen exakt übereinstimmen.
Beispiel:
Gegeben sind die Polynome:
\[
P(x) = (a^3 + 8)x^4 – x^2 + x – 2,
\]
\[
Q(x) = (b + 1)x^3 – cx^2 + x – 2
\]
Unter der Bedingung $P(x) = Q(x)$ bestimmen wir die Werte der Parameter $a, b$ und $c$.
Wir können die beiden Polynome so umschreiben, dass alle Potenzterme durch explizite Koeffizienten (einschließlich Nullkoeffizienten) dargestellt werden:
\[
P(x) = (a^3 + 8)x^4 + 0 \cdot x^3 – x^2 + x – 2
\]
\[
Q(x) = 0 \cdot x^4 + (b + 1)x^3 – cx^2 + x – 2
\]
Durch den rechnerischen Koeffizientenvergleich der gleichgradigen Terme ergibt sich:
\[
a^3 + 8 = 0 \Rightarrow a^3 = -8 \Rightarrow a = -2
\]
\[
0 = b + 1 \Rightarrow b = -1
\]
\[
-1 = -c \Rightarrow c = 1
\]
Damit sind die gesuchten Variablen eindeutig bestimmt.
AUFGABE 8
\[
P(x) = 4x^4 + mx^2 + 9
\]
Das obige Polynom sei ein perfektes Quadrat (ein algebraischer Term, der sich als reines Binomquadrat schreiben lässt). Welchen negativen Wert nimmt $m$ an?
\[
\text{A)} -4 \quad
\text{B) } -6 \quad
\text{C) } -8 \quad
\text{D) } -10 \quad
\text{E) } -12
\]
Lösung:
Da das erste Glied das Quadrat von $2x^2$ und das Absolutglied das Quadrat von $3$ ist, lässt sich der Ausdruck als Quadrat eines Binoms ansetzen:
\[
P(x) = 4x^4 + mx^2 + 9 = (2x^2 \pm 3)^2
\]
Das Ausmultiplizieren dieser binomischen Formel ergibt:
\[
= 4x^4 \pm 12x^2 + 9
\]
Durch den Koeffizientenvergleich des Gliedes mit $x^2$ erhalten wir:
\[
m = \pm 12
\]
Der gesuchte negative Wert für $m$ beträgt somit $-12$.
\(\textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 9
\[
P(x) = x^4 – mx^3 + nx^2 – 6x + 1
\]
Wenn dieses Polynom ein perfektes Quadrat bildet, wie lautet dann der positive Wert von $m$?
\[
\text{A)} 4 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 8
\]
Lösung:
Da das Polynom vom Grad 4 ist, muss dessen Quadratwurzel ein quadratischer Ausdruck sein. Ausgehend vom führenden Term $x^4$ und dem Absolutglied $1$ wählen wir den folgenden Ansatz für das Quadrat eines Trinoms:
\[
P(x) = x^4 – mx^3 + nx^2 – 6x + 1 = (x^2 + ax \pm 1)^2
\]
Die algebraische Expansion der rechten Seite liefert:
\[
= x^4 + 2ax^3 + (a^2 \pm 2)x^2 \pm 2ax + 1
\]
Wir vergleichen nun die Koeffizienten des linearen Terms ($x$):
\[
-6 = \pm 2a \Rightarrow a = \pm 3
\]
Nun vergleichen wir die Koeffizienten des kubischen Terms ($x^3$):
\[
-m = 2a
\]
Durch Einsetzen der Werte von $a$ ergibt sich $m = \mp 6$. Der gesuchte positive Wert für $m$ ist folglich $6$.
\(\textbf{Antwort: C} \)