Binomische Formeln und Algebraische Identitäten
1. Differenz von zwei Quadraten (3. Binomische Formel):
\[
a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)
\]
Beispiele:
\( \bullet \quad x^2 – y^4 = x^2 – (y^2)^2 = (x – y^2)(x + y^2) \)
\( \bullet \quad x – y^2 = (\sqrt{x})^2 – y^2 = (\sqrt{x} – y)(\sqrt{x} + y) \)
\( \bullet \quad x^{2a} – 1 = (x^a)^2 – 1^2 = (x^a – 1)(x^a + 1) \)
\( \bullet \quad 4^x – 4^{-x} = (2^2)^x – (2^2)^{-x} = (2^x)^2 – (2^{-x})^2 \)
\[
= (2^x – 2^{-x}) (2^x + 2^{-x})
\]
2. Differenz von zwei Kuben:
\[ a^3 – b^3 = (a – b) (a^2 + ab + b^2) \]
Beispiele:
\( \bullet \quad 8^x – (27)^x = (2^3)^x – (3^3)^x = (2^x)^3 – (3^x)^3 \)
\[
= (2^x – 3^x)(2^{2x} + 2^x \cdot 3^x + 3^{2x})
\]
\[
= (2^x – 3^x)(4^x + 6^x + 9^x)
\]
\( \bullet \quad x^6 – y^6 = (x^2)^3 – (y^2)^3 \)
\[
= (x^2 – y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)
\]
\[
= (x – y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4)
\]
3. Summe von zwei Kuben:
\[
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 – ab + b^2)
\]
Beispiele:
\( \bullet \quad x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 – x + 1) \)
\( \bullet \quad 8x^3 + 125 = (2x)^3 + 5^3 \)
\[
= (2x + 5)(4x^2 – 10x + 25) \]
4. Allgemeine Differenz höherer Potenzen ($n \in \mathbb{Z^+}$):
\[ a^n – b^n = (a – b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1}) \]
Beispiele:
\( \bullet \quad 16 – x^4 = 2^4 – x^4 = (2 – x)(2^3 + 2^2x + 2x^2 + x^3) \)
\[
= (2 – x)(8 + 4x + 2x^2 + x^3)
\]
\( \bullet \quad x^7 – 1 = (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \)
5. Allgemeine Summe höherer Potenzen ($n \in \mathbb{Z}^+$ und $n$ ungerade):
Ersetzt man in der vierten Identität \( b \) durch \( -b \), so ergibt sich:
\[
a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} – a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 – \dots + b^{n-1})
\]
Beispiel:
\[
32 + x^5 = 2^5 + x^5 = (2 + x) (2^4 – 2^3 x + 2^2 x^2 – 2x^3 + x^4)
\]
\[
= (2 + x) (16 – 8x + 4x^2 – 2x^3 + x^4)
\]
6. Quadrat einer Summe (1. Binomische Formel):
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
Beispiele:
\( \bullet \quad \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\[
= x^2 + \frac{1}{x^2} + 2
\]
\( \bullet \quad(\sqrt{x} + x)^2 = (\sqrt{x})^2 + x^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot x \)
\[
= x + x^2 + 2x\sqrt{x}
\]
7. Quadrat einer Differenz (2. Binomische Formel):
\[
(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
\]
Beispiele:
\( \bullet \quad (2^x – 3^x)^2 = (2^x)^2 + (3^x)^2 – 2 \cdot 2^x \cdot 3^x \)
\[
= 4^x + 9^x – 2 \cdot 6^x
\]
\( \bullet \quad \left( \sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 = (\sqrt{x})^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 – 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \)
\[
= x + \frac{1}{x} – 2
\]
Hinweis zum Erkennen von quadratischen Trinomen:
Ob ein dreigliedriger Ausdruck ein perfektes Quadrat bildet, lässt sich anhand des folgenden Musters überprüfen:
\[
\begin{array}{c l l l c}
& a^2 &\pm & 2ab & + & b^2 & = &(a \pm b)^2 \\
& \downarrow &\downarrow& & \swarrow & & \\
( & a &\pm & \phantom{a} \phantom{a} & b )^2 & \\
&\searrow && \swarrow & \\
&&2ab
\end{array}
\]
Beispiele:
\( \bullet \quad 9x^2 – 30x + 25 = (3x – 5)^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
9x^2& – \;\; 30x & + 25\\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(3x & -& 5)^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\\
\end{array}\]
\( \bullet \quad x^2 + x + \frac{1}{4} = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
x^2 & + x& +\frac{1}{4} \\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(x & + &\frac{1}{2} )^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x\\
\end{array}
\]
\( \bullet \quad 4^x – 2^{x+2} + 4 = (2^x)^2 – 4 \cdot 2^x + 4 = (2^x – 2)^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
4^x & – 2^{x+2} &+ 4 \\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(2^x & -& 2)^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot 2^x \cdot 2 = 4 \cdot 2^x\\
\end{array}
\]
\( \bullet \quad a + 6 \sqrt{ a} + 9 = ( \sqrt{ a} + 3 )^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
a &+ 6 \sqrt{ a}& + 9 \\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(\sqrt{a } & +& 3)^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot \sqrt{a } \cdot 3 = 6 \cdot \sqrt{a } \\
\end{array}
\]
8. Quadrat eines Trinoms:
\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + ac + bc)
\]
Hinweis:
Der Klammerausdruck auf der rechten Seite enthält die Summe aller paarweisen Produkte der Terme des Trinoms unter Berücksichtigung ihrer jeweiligen Vorzeichen.
Beispiele:
\( \bullet (a – b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ac – ab – bc) \)
\( \bullet \left( x + 2 \;-\; \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 4 + \frac{1}{x^2} + 2 \left(2x\; – \;x \cdot \frac{1}{x} \;- \;2 \cdot \frac{1}{x}\right) \)
\[
= x^2 + 4 + \frac{1}{x^2} + 2 \left(2x\; – \;1 \;- \;\frac{2}{x}\right)
\]
9. Kubus einer Summe:
\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3
\]
Beispiele:
\( \bullet \quad (2 + a)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot a + 3 \cdot 2 \cdot a^2 + a^3 \)
\[
= 8 + 12a + 6a^2 + a^3
\]
\( \bullet \quad 8^a + 3 \cdot 4^a + 3 \cdot 2^a + 1 = (2^a)^3 + 3(2^a)^2 + 3(2^a) + 1 \)
\[
= (2^a + 1)^3
\]
\( \bullet \quad x\sqrt{x} + 3x\sqrt{y} + 3\sqrt{x}y + y\sqrt{y} \)
\[
= (\sqrt{x})^3 + 3(\sqrt{x})^2 \sqrt{y} + 3\sqrt{x} (\sqrt{y})^2 + (\sqrt{y})^3
\]
\[
= (\sqrt{x} + \sqrt{y})^3
\]
10. Kubus einer Differenz:
\[
(a – b)^3 = a^3 – 3a^2 b + 3ab^2 – b^3 \]
Beispiele:
\( \bullet (x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \)
\( \bullet 8^a – 3 \cdot (12)^a + 3 \cdot (18)^a – (27)^a \)
\[
= (2^3)^a – 3 \cdot 4^a \cdot 3^a + 3 \cdot 2^a \cdot 9^a – (3^3)^a
\]
\[
= (2^a)^3 – 3(2^a)^2 \cdot 3^a + 3(2^a) (3^a)^2 – (3^a)^3
\]
\[
= (2^a – 3^a)^3
\]
Hinweis zum Binomischen Lehrsatz und dem Pascalschen Dreieck:
Beim Ausmultiplizieren von Ausdrücken der Form \((a + b)^n\) lassen sich die Koeffizienten mithilfe des Pascalschen Dreiecks ermitteln:
\[
\begin{array}{c}
n = 0 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \\
n = 1 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 1 \\
n = 2 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 2 \quad 1 \\
n = 3 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
n = 4 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
n = 5 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
n = 6 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1\\
\cdots
\end{array}
\]
Die Variablenkomponenten folgen dabei in absteigender bzw. aufsteigender Reihenfolge der Potenzen:
\[
a^n, a^{n-1}b, a^{n-2}b^2, a^{n-3}b^3, \dots, ab^{n-1}, b^n
\]
Bei der Entwicklung von \((a – b)^n\) alternieren die Vorzeichen. Jedes Glied, in dem der Exponent von \( b \) eine ungerade Zahl ist, erhält ein negatives Vorzeichen (-).
11. Vierte Potenz eines Binoms (Summe):
\[
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
\]
Beispiel:
\[
(2 + x)^4 = 2^4 + 4 \cdot 2^3 \cdot x + 6 \cdot 2^2 \cdot x^2 + 4 \cdot 2 \cdot x^3 + x^4
\]
\[
= 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4
\]
12. Vierte Potenz eines Binoms (Differenz – Substitution von \( -b \) in Identität 11):
\[
(a – b)^4 = a^4 – 4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4
\]
13. Fünfte Potenz eines Binoms (Summe):
\[
(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
\]
14. Fünfte Potenz eines Binoms (Differenz – Substitution von \( -b \) in Identität 13):
\[
(a – b)^5 = a^5 – 5a^4b + 10a^3b^2 – 10a^2b^3 + 5ab^4 – b^5
\]
AUFGABE 6
Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Faktor des Terms
\[
1 – a^2 – 2ax – x^2
\]
dar?
\[
\text{A)} 1-a-x \quad
\text{B) } 1-a \quad
\text{C) } x-a \quad
\text{D) } 1-a+x \quad
\text{E) } x+a
\]
Lösung:
Wir klammern das Minuszeichen bei den letzten drei Termen aus, um ein quadratisches Trinom zu erhalten:
\[
1 – a^2 – 2ax – x^2 = 1 – (a^2 + 2ax + x^2)
\]
\[
= 1^2 – (a + x)^2
\]
Nun wenden wir die Differenz zweier Quadrate (3. binomische Formel) an:
\[
= (1 – (a + x))(1 + a + x)
\]
\[
= (1 – a – x)(1 + a + x)
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 7
Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Teiler des Terms
\[
(a – b + c)^2 – (a + b – c)^2
\]
\[
\text{A) } a \quad
\text{B) } b \quad
\text{C) } c \quad
\text{D) } a-b \quad
\text{E } b+c
\]
Lösung:
Mit der Identität \( X^2 – Y^2 = (X – Y)(X + Y) \) folgt:
\[
= ((a – b + c) – (a + b – c))((a – b + c) + (a + b – c))
\]
Wir vereinfachen die Ausdrücke innerhalb der Klammern:
\[
= (a – b + c – a – b + c) (2a)
\]
\[
= (2c – 2b) \cdot 2a = 4a(c – b)
\]
Daraus ist ersichtlich, dass \( a \) ein Teiler des Gesamtausdrucks ist.
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 8
Bestimmen Sie einen Faktor des folgenden Polynomterms:
\[
x^5 – 9x^3 + 8x^2 – 72
\]
\[
\text{A) } x-1 \quad
\text{B) } x+1 \quad
\text{C) } x-2 \quad
\text{D) } x+2 \quad
\text{E } x-4
\]
Lösung:
Wir faktorisieren den Ausdruck durch paarweise Gruppenbildung:
\[
x^5 – 9x^3 + 8x^2 – 72 = x^3(x^2 – 9) + 8(x^2 – 9)
\]
\[
= (x^2 – 9) (x^3 + 8)
\]
Nun wenden wir die Differenz zweier Quadrate sowie die Summe zweier Kuben an:
\[
= (x – 3)(x + 3)(x + 2)(x^2 – 2x + 4)
\]
Somit ist \( x + 2 \) ein Faktor.
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 9
Welcher der Ausdrücke ist ein Teiler von:
\[
a^3 + 3a^2 + 3a + 2
\]
\[
\text{A) } a \quad
\text{B) } a+1 \quad
\text{C) } a+2 \quad
\text{D) } a^2+1 \quad
\text{E } a^2+2
\]
Lösung:
Wir spalten die Konstante geschickt auf, um den Binomischen Lehrsatz für einen Kubus anzuwenden:
\[
a^3 + 3a^2 + 3a + 2 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + 1
\]
\[
= (a + 1)^3 + 1^3
\]
Anwendung der Summe zweier Kuben ergibt:
\[
= ((a + 1) + 1)((a + 1)^2 – (a + 1) + 1)
\]
\[
= (a + 2)(a^2 + a + 1)
\]
Demnach ist \( a + 2 \) ein Teiler des Terms.
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 10
Finden Sie einen Faktor des folgenden Terms:
\[
x^3 + x^2y – xy^2 – y^3 + (x + y)^2
\]
\[
\text{A) } x+y+1 \quad
\text{B) } x-y \quad
\text{C) } x-y+1 \quad
\text{D) } x \quad
\text{E } y
\]
Lösung:
Wir ordnen das Polynom um, um gemeinsame Faktoren blockweise auszuklammern:
\[
x^3 + x^2y – xy^2 – y^3 + (x + y)^2
\]
\[
= (x^3 – y^3) + xy(x – y) + (x + y)^2
\]
\[
= (x – y)(x^2 + xy + y^2) + xy (x – y) + (x + y)^2
\]
\[
= (x – y) (x^2 + xy + y^2 + xy) + (x + y)^2
\]
\[
= (x – y) (x + y)^2 + (x + y)^2
\]
Ausklammern des gemeinsamen Terms \( (x + y)^2 \) führt zu:
\[
= (x + y)^2 (x – y + 1)
\]
Somit ist \( x – y + 1 \) ein gültiger Faktor.
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 11
Es gelte
\[
x – \frac{1}{x} = 2
\]
Bestimmen Sie den numerischen Wert des folgenden Ausdrucks:
\[
x^3 – \frac{1}{x^3}
\]
\[
\text{A) } 10 \quad
\text{B) } 12 \quad
\text{C) } 14 \quad
\text{D) } 16 \quad
\text{E } 18
\]
Lösung:
Wir erheben beide Seiten der gegebenen Gleichung in die dritte Potenz:
\[
x \;- \; \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow \left( x\; – \;\frac{1}{x} \right)^3 = 2^3
\]
\[
\Rightarrow x^3\; – \;3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{x^2} \;-\; \frac{1}{x^3} = 8
\]
\[
\Rightarrow x^3 \;-\; \frac{1}{x^3} \;- \;3\left(x \;-\; \frac{1}{x} \right) = 8
\]
Wir setzen nun den Ausgangswert \( x – \frac{1}{x} = 2 \) ein:
\[
\Rightarrow x^3\; – \;\frac{1}{x^3}\; -\; 3 \cdot 2 = 8
\]
\[
\Rightarrow x^3\; – \;\frac{1}{x^3} = 14
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 12
Unter der Bedingung
\[
\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 4
\]
berechnen Sie den positiven Wert des Ausdrucks:
\[
\sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}}
\]
\[
\text{A) } \sqrt{ 2} \quad
\text{B) } 2\sqrt{ 2} \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E } 4\sqrt{ 2}
\]
Lösung:
Wir definieren \( A = \sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}} \). Quadrieren liefert:
\[
A^2 = x + \frac{4}{x} – 4
\]
Zudem quadrieren wir die Ausgangsgleichung, um eine Substitution für die Summenterme zu finden:
\[
\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 4 \Rightarrow \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right)^2 = 4^2
\]
\[
\Rightarrow x + \frac{4}{x} + 4 = 16 \Rightarrow x + \frac{4}{x} = 12
\]
Diesen Wert setzen wir oben in die Gleichung für \( A^2 \) ein:
\[
A^2 = 12 – 4 = 8
\]
\[
\Rightarrow A = \sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}} = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}
\]
Da nach dem positiven Wert gefragt ist, erhalten wir das Ergebnis \( 2\sqrt{2} \).
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 13
Gegeben ist das Gleichungssystem:
\[
a + b + c = 6, \quad a^2 + b^2 + c^2 = 14, \quad \text{und} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 33
\]
Berechnen Sie das Produkt:
\[
a \cdot b \cdot c
\]
\[
\text{A) } \frac{1}{3} \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } \frac{1}{2} \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E } 4\sqrt{ 2}
\]
Lösung:
Wir quadrieren die erste Gleichung:
\[
a + b + c = 6 \Rightarrow (a + b + c)^2 = 6^2
\]
\[
\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 36
\]
Nun setzen wir den Wert \( a^2+b^2+c^2 = 14 \) ein:
\[
\Rightarrow 14 + 2(ab + ac + bc) = 36 \Rightarrow ab + ac + bc = 11
\]
Wir bringen die Brüche der dritten Gleichung auf den Hauptnenner:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 33 \Rightarrow \frac{bc + ac + ab}{abc} = 33
\]
Durch Ersetzen des Zählers mit \( ab + ac + bc = 11 \) folgt:
\[
\frac{11}{abc} = 33 \Rightarrow abc = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 14
Falls \( \sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b} = 1 \) und \( a – b = 37 \), berechnen Sie das Produkt \( a \cdot b \):
\[
\text{A) } 2^9 \quad
\text{B) } 3^9 \quad
\text{C) } 10^3 \quad
\text{D) } (11)^3 \quad
\text{E } (12)^3
\]
Lösung:
Wir kubieren die gegebene Wurzeldifferenz:
\[
\sqrt[3]{a} \;- \;\sqrt[3]{b} = 1 \Rightarrow (\sqrt[3]{a} \;- \;\sqrt[3]{b})^3 = 1^3
\]
\[
\Rightarrow a \;- \;3\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b} + 3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2}\; -\; b = 1
\]
\[
\Rightarrow (a – b) \;- \;3\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}\; -\; \sqrt[3]{b}) = 1
\]
Einsetzen der bekannten Termwerte \( a – b = 37 \) und \( \sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b} = 1 \) ergibt:
\[
\Rightarrow 37\; – \;3\sqrt[3]{ab} \cdot (1) = 1
\]
\[
\Rightarrow 3\sqrt[3]{ab} = 36 \Rightarrow \sqrt[3]{ab} = 12
\]
Durch das Kubieren beider Seiten erhalten wir das Produkt:
\[
\Rightarrow ab = (12)^3
\]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 15
Welches ist der minimale Wert, den der folgende Ausdruck annehmen kann?
\[
A = 2x^2 + y^2 – 2xy + 4x + 7
\]
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E } 5
\]
Lösung:
Wir formen das Polynom um, um quadratische Terme (quadratische Ergänzung) zu isolieren:
\[
A = 2x^2 + y^2 – 2xy + 4x + 7
\]
\[
= (x^2 – 2xy + y^2) + (x^2 + 4x + 4) + 3
\]
\[
= (x – y)^2 + (x + 2)^2 + 3
\]
Da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sein können (\( (x – y)^2 \geq 0 \) und \( (x + 2)^2 \geq 0 \)), wird der minimale Wert erreicht, wenn beide Klammerausdrücke Null ergeben:
\[
\underbrace{(x – y)^2}_{0} + \underbrace{(x + 2)^2}_{0} + 3 = 3
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 16
Es seien \( x(x – 1) = a – 1 \) und \( x + 1 = b \). Drücken Sie \( x^3 \) mithilfe der Variablen \( a \) und \( b \) aus:
\[
\text{A) } ab \quad
\text{B) } ab-1 \quad
\text{C) } ab+1 \quad
\text{D) } a+b-1 \quad
\text{E } a+b+1
\]
Lösung:
Wir multiplizieren den ersten Term aus und ordnen ihn um:
\[
x(x – 1) = a – 1 \Rightarrow x^2 – x + 1 = a
\]
Zudem ist gegeben:
\[
x + 1 = b
\]
Multiplizieren wir diese beiden Gleichungen miteinander, lässt sich die Summe zweier Kuben erkennen:
\[
(x + 1)(x^2 – x + 1) = ab
\]
\[
\Rightarrow x^3 + 1 = ab \Rightarrow x^3 = ab – 1
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 17
Falls \( A = 2^{10} + 3^{10} + 2^6 \cdot 3^5 \), berechnen Sie den Wert von \( \sqrt{A} \):
\[
\text{A) } 271 \quad
\text{B) } 272 \quad
\text{C) } 273 \quad
\text{D) } 274 \quad
\text{E } 275
\]
Lösung:
Wir bringen den Term in die Form der ersten binomischen Formel \( (X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2 \):
\[
A = 2^{10} + 3^{10} + 2^6 \cdot 3^5 = (2^5)^2 + (3^5)^2 + 2 \cdot 2^5 \cdot 3^5
\]
\[
\Rightarrow A = (2^5 + 3^5)^2
\]
Hieraus ziehen wir die Quadratwurzel:
\[
\Rightarrow \sqrt{A} = 2^5 + 3^5 = 32 + 243 = 275
\]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 18
Unter der Bedingung \( x^2 + x – 1 = 0 \), welcher der Ausdrücke entspricht dem Term \( x^5 \)?
\[
\text{A) } 5x-3 \quad
\text{B) } 5x+3 \quad
\text{C) } 3x-5 \quad
\text{D) } 3x+5 \quad
\text{E } x
\]
Lösung:
Wir stellen die Gleichung nach der höchsten Potenz um:
\[
x^2 + x – 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 – x
\]
Wir spalten \( x^5 \) auf, um sukzessive niedrigere Potenzen einzusetzen:
\[
x^5 = x \cdot (x^2)^2
\]
Substitution von \( x^2 = 1 – x \) ergibt:
\[
= x \cdot (1 – x)^2
\]
\[
= x \cdot (1 – 2x + x^2)
\]
Erneute Substitution von \( x^2 = 1 – x \) innerhalb der Klammer liefert:
\[
= x \cdot (1 – 2x + 1 – x) = x \cdot (2 – 3x)
\]
\[
= 2x – 3x^2
\]
Ein letztes Mal ersetzen wir \( x^2 \):
\[
= 2x – 3(1 – x) = 2x – 3 + 3x = 5x – 3
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
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