Darstellungsformen von Mengen
1. Beschreibende Form (Mengenschreibweise durch Eigenschaften):
Die Menge wird ausgedrückt, indem die gemeinsamen Eigenschaften ihrer Elemente angegeben werden.
Beispiele:
\(\bullet \quad \) Wenn die Menge A die Menge der ganzen Zahlen ist, deren Betrag kleiner als 3 ist, wird sie wie folgt dargestellt:
\[ A= \{x: \; |x| \; < \; 3 , x \in Z \} \] oder
\[ A= \{x| \; |x| \; < \; 3 , x \in Z \} \]
- Der Doppelpunkt (:) oder der vertikale Strich (|) wird hier im Sinne von „für die gilt“ oder „mit der Eigenschaft“ verwendet.
- Er dient als Trennzeichen, um die Eigenschaften zu definieren, die die Elemente der Menge besitzen.
Bedeutung:
Dieser Ausdruck besagt Folgendes:
- Die Menge A enthält alle Elemente x, für die zwei Bedingungen gelten:
- |x| < 3 (Ihr Absolutbetrag ist kleiner als 3).
- x ∈ Z (x ist eine ganze Zahl).
Elemente der Menge:
- |x| < 3 bedeutet, dass x im Intervall -3 < x < 3 liegen muss.
- Da jedoch gilt x ∈ Z, dürfen nur ganze Zahlen gewählt werden.
In diesem Fall gilt:
- A = { -2, -1, 0, 1, 2 }
Die Verwendung des Doppelpunkts oder des vertikalen Strichs ist hierbei lediglich eine Frage des Schreibstils und bewirkt keinen Bedeutungsunterschied.
\(\bullet \quad \) Wenn die Menge B die Menge der aufeinanderfolgenden geraden Zahlen ist, lautet sie:
\[ B= \{x| \; x = 2n , n \in Z \} \; \text{ist.} \]
2. Aufzählende Form (Listenschreibweise):
Die Elemente der Menge werden innerhalb von geschweiften Klammern \( \{\}\) durch Kommata getrennt aufgelistet.
Beispiel:
Wenn die Menge A die Menge der einstelligen Primzahlen ist, so gilt \(A = \{ 2, 3, 5, 7 \} \).
3. Venn-Diagramm-Methode:
Die Elemente der Menge werden in einer geschlossenen Kurve (Linie) dargestellt, wobei neben jedes Element ein Punkt gesetzt wird.
Beispiel:
Wenn die Menge A die Menge der Vokale unseres Alphabets ist, wird sie wie folgt dargestellt:
wird wie oben abgebildet dargestellt.
Der Intervallbegriff:
Die Menge \[ A = \{ x | \; \; a \le x \le b , \;\;\ a,b, x \in R \} \] wird ausgedrückt als:
\[ A= [a, \; b ] \]
Die Menge \[ A = \{ x | \; \; a < x < b , \;\; a,b, x \in R \} \] wird ausgedrückt als \[ A= (a, \; b ) \] und bedeutet, dass
die Zahlen a und b nicht zur Menge A gehören (offenes Intervall).
Die Menge \[ A = \{ x | \; \; a \le x < b , \;\; a,b, x \in R \} \] wird ausgedrückt als \[ A= [a, \; b ) \]
und bedeutet, dass die Zahl a zur Menge A gehört, die Zahl b jedoch nicht (linksabgeschlossenes Intervall).
Die Menge \[ A = \{ x | \; \; a < x \le b , \;\; a,b, x \in R \} \] wird ausgedrückt als \[ A= (a, \; b ] \]
und bedeutet, dass die Zahl a nicht zur Menge A gehört, die Zahl b jedoch enthalten ist (rechtsabgeschlossenes Intervall).
Beispiele:
\( \bullet \quad \) Für die Menge \( A = \{x : \;\;|x | \le 3, \;\; x \in R \}\):
\[ |x | \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 3 \;\; \text{daher gilt } A = [-3, 3 ] \]
\( \bullet \quad \) Für die Menge \( B = \{x : \;\;x \le 0, \;\; x \in R \}\):
\[ B = (- \infty, 0 ] \] wird in dieser Weise dargestellt.
Hinweis: Unendlichkeit kann nicht abgeschlossen werden, daher wird stets die runde Klammer „(“ oder „)“ verwendet.
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