Operationen auf Mengen

 

 

Beispiel:

 

\[
\text{Wenn } A = \{x : |x| \leq 2, \, x \in \mathbb{R} \} \quad \text{und} \quad
B = \{x : x < 0, \, x \in \mathbb{R} \},
\]
\[
\text{bestimmen wir die Schnittmenge } A \cap B.
\]
\[
|x| \leq 2 \implies -2 \leq x \leq 2 \quad \text{und somit } A = [-2, 2]
\]
\[
\text{Da } B = (-\infty, 0) \text{ ist, gilt:}
\]

\[
A \cap B = [-2, 0) \;\; \text{ist die Lösung.}
\]

 

2. Vereinigungsmenge

 

 

 

\( 4) \quad \) Demorgansche Regeln (De Morgan’sche Gesetze)

\[ \begin{array}{c}
(A \cap B )‘ = A‘ \cup B‘ \\
(A \cup B )‘ = A‘ \cap B‘ \\
\end{array}
\]

\( 5) \quad \)

\[
\begin{array}{c}
A \cap A’= Ø, \quad A \cap Ø = Ø , \quad A \cap E = A \\
A \cup A‘ = E, \quad A \cup Ø = A,, \quad A \cup E = E\\
\end{array}
\]

 

Frage 4

 

 

Lösung:

 

\[ A \cap (A \cap B‘)‘ \cup (A‘ \cup B ) \]

 

Frage 5

 

 

 

Lösung:

 

\[ B \cap C = \{ c, f \} \quad \text{und} \quad A= \{ a,b,c,d \} \]

\[ (B \cap C) \cup A = \{ a, b, c ,d , f \} \]

\[ \text{Da } ( (B \cap C) \cup A‘) = \{ e, g, h \} \text{ ist, gilt:} \]

\[ s[(( B \cap C) \cup A‘) ] = 3. \]

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

 

\[ s(A \cup B ) = s(A) + s(B)- s(A \cap B) \]

\[ s(A \cup B \cup C ) = s(A) + s(B) + s(C) – \left[ s(A \cap B) + s( A \cap C) + s( B \cap C) \right] + s(A \cap B \cap C) \]

 

Frage 6

 

 

Lösung:

 

\[ s(A \cup B ) = s(A) + s(B) – s( A \cap B) \]

\[ 3x+ 7 = 2x-3 + 3x + 4 – s( A \cap B) \]

\[\Rightarrow s( A \cap B) = 2x-6 \]

\[ \text{Da } A \cap B \neq Ø \text{ ist, muss gelten: } s( A \cap B) > 0 \]

 

Frage 7

 

 

Lösung:

 

 

Frage 8

 

 

Gegeben sind die obigen Mengen. Wie groß ist \( s(A \cup B) \)?

 

Lösung:

 

 

Hinweis:

 

Die folgenden Diagramme verdeutlichen:

\( 1) \quad \) \( s(A \cap B) = 0 \)

\[ \text{den Fall, in dem } s(A \cup B ) \text{ den maximalen Wert annimmt,} \]

\( 2) \quad \) \( s(A \cap B \neq Ø ) \quad \quad ( s(A \cap B) = 1 ) \)

\[ \text{den Fall, in dem } s(A \cup B ) \text{ unter der Bedingung einer Schnittmenge maximal wird,} \]

\( 3) \quad \) \( B \subset A \) \( (s(A \cap B) = s(B) )\)

den Zustand, in dem \( s(A \cap B ) \) den größten und \( s(A \cup B ) \) den kleinsten Wert annimmt.

 

Frage 9

 

Wenn \( s(A)= 8, \;\; s(B)=6, \;\; \) und \( s (A \cap B) \neq Ø \) gilt, wie groß ist die Summe aus dem maximal möglichen Wert von \( s(A \cap B)\) und dem maximal möglichen Wert von \( s(A \cup B) \)?

 

Lösung:

 

\[ \text{Der maximale Wert von } s(A \cap B ) \quad \text{beträgt } 6\]

 

\[ \text{Der maximale Wert von } s(A \cup B ) \quad \text{beträgt } 13 \]

 

5. Differenzmenge (Differenz zweier Mengen)

 

 

Eigenschaften:

 

\(1) \quad A-B = A \;- \; (A \cap B ) = A \cap B‘ \)

\(2) \quad E \;-\; A = A‘ \)

\(3) \quad (A\; -\; B) \cup (B \;- \; A ) = A \; \triangle \; B \; \) (Symmetrische Differenz)

 

Frage 10

 

 

Lösung:

 

 

Frage 12

 

Welcher der folgenden Terme ist gleichwertig mit dem Ausdruck \( [(A \cap B ) \cap (A \cup A‘ )] \cup ( A \; -\; B) \)?

 

Lösung:

 

\[ [(A \cap B ) \cap (A \cup A‘ )] \cup ( A \; -\; B) \]

\[ = [(A \cap B ) \cap E ] \cup ( A \cap B‘) \]

\[ = [(A \cap B ) \cup (A \cap B‘) ] = A \cap (B \cup B‘) \]

\[ = A \cap E = A \]

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

Hinweis:

 

 

Frage 13

 

Wenn \( s(A \cap B ) = s(A-B) = s(B-A), \,\; s(A‘) = 5 \) und \(s(A‘ \cap B‘) = 3 \) gegeben sind, wie groß ist dann \( s(A \cup B)\)?

\[
\text{A)} 15 \quad
\text{B) } 12 \quad
\text{C) } 9 \quad
\text{D) } 6 \quad
\text{E) } 3
\]

 

Lösung:

 

\[ \text{Es sei } s(A \cap B) = s(A-B) = s(B-A) = x \]

\[s(A‘ \cap B‘) = s[(A \cup B)‘] = 3 \]

\[s(A‘)= 5= x+3 \Rightarrow x= 2 \]

\[ s(A \cup B) = 3x = 6 \]

 

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

Frage 14

 

Es sei E die Grundmenge (universelle Menge).

\[ \text{Wenn } [s(A \cup B ) – s(A \cap B) ] = s(A‘ \cap B‘) = 8 \quad \text{und } \; s(A \cap B )= 3 \text{ gilt,} \] wie groß ist dann \( s(E) \)?

\[
\text{A)} 17 \quad
\text{B) } 18 \quad
\text{C) } 19 \quad
\text{D) } 20 \quad
\text{E) } 21
\]

 

Lösung:

 

\[ s(A‘ \cap B‘) = s[(A \cup B)‘] = 8 \]

\[ s[(A \cup B) – s(A \cap B) = 8 ] \implies x + y = 8 \]

\[ s(E) = x + y + 3 + 8 = 8 + 11 = 19\]

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

Frage 15

 

Wenn \[ s(A \; -\; B) = x^2, \quad s(A \cap B) = 16, \quad s(A)= 8x \;\; \text{und } \; s(A‘ \cap B) = 4 \] gegeben sind,

wie groß ist dann \(s(A \cup B ) \)?

\[
\text{A)} 36 \quad
\text{B) } 35 \quad
\text{C) } 34 \quad
\text{D) } 33 \quad
\text{E) } 32
\]

 

Lösung:

 

\[ s(A‘ \cap B) = s( B-A) = 4 \]

\[s(A)= s(A-B) + s(A \cap B) \]

\[8x= x^2+16 \]

\[ \Rightarrow x^2 – 8x+16=0 \]

\[ (x-4)^2=0 \implies x= 4 \]

\[ s(A \cup B) = x^2 +16+4 = 36\]

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

Frage 16

 

Es sei E die Grundmenge. Wenn gilt:

\[ A \cup B \cup C = E, \quad B \subset A, \quad B \cap C = Ø, \]

\[ \text{und} \]

\[ s(C-A)= 10, \quad s(A)= 16 \quad \text{sowie } \;\; s(B‘)=23, \]

wie groß ist dann \( s(B) \)?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Lösung:

 

\[ s(B‘)= 23 = y + z + 10 \Rightarrow y+z = 13 \]

\[\Rightarrow s(A)= 16 = x+y+z \]

\[\Rightarrow 16= x+13 \]

\[ x = s(B) = 3\]

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

Frage 17

 

Wenn \[ ( A \cap C ) \cup (B \cap C ) = Ø, \quad s[(A \cup B‘)] = 9 \]

\[ \text{und} \]

\[ s[(A \cup B \cup C)‘ ] = 4 \] gegeben sind, wie groß ist s(C)?

\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]

 

Lösung:

 

\[ ( A \cap C ) \cup (B \cap C ) = Ø \Rightarrow C \cap ( A \cup B) = Ø \]

\[ s[(A \cup B )‘ ] = 9 = x+ 4 \]

\[\quad \Rightarrow x = 5 \quad \text{und somit gilt:} \]

\[ s(C) = 5 \]

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

Frage 18

 

In einer Klasse gibt es insgesamt 14 Schüler, die von den Sportarten Basketball oder Volleyball nur genau eine spielen. 21 Schüler spielen mindestens eine davon, und 27 Schüler spielen höchstens eine davon. Wie viele Schüler hat diese Klasse demnach insgesamt?

\[
\text{A)} 30 \quad
\text{B) } 31 \quad
\text{C) } 32 \quad
\text{D) } 33 \quad
\text{E) } 34
\]

 

Lösung:

In der Klasse sei B die Menge der Basketballspieler und V die Menge der Volleyballspieler. Laut Diagramm gilt für Schüler, die nur eine Sportart ausüben: \[ x + z = 14 \] Die Anzahl der Schüler, die mindestens ein Spiel spielen, beträgt: \[ x + y + z = 21 \] Die Anzahl der Schüler, die höchstens ein Spiel spielen, beträgt: \[ x + z + t = 27 \] Hieraus bestimmen wir t: \[ 14 + t = 27 \Rightarrow t = 13 \] Demnach beträgt die gesamte Schüleranzahl: \[ x + y + z + t = 21 + 13 = 34 \]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

Frage 19

 

In einer Klasse mit 45 Schülern haben 15 Schüler das Fach Englisch erfolgreich bestanden. 13 Schüler waren in Mathematik nicht erfolgreich und 6 Schüler waren in beiden Fächern nicht erfolgreich. Wie viele Schüler dieser Klasse haben demnach nur in genau einem Fach Erfolg gehabt?

\[
\text{A)} 30 \quad
\text{B) } 31 \quad
\text{C) } 32 \quad
\text{D) } 33 \quad
\text{E) } 34
\]

 

Lösung:

Gesamte Schüleranzahl: \[ x + y + z + 6 = 45 \] \[ x + y + z = 39 \]

Die Anzahl der in Englisch erfolgreichen Schüler:

\[ y + z = 15 \] \[ x + 15 = 39 \Rightarrow x = 24 \]

Die Anzahl der Schüler, die in Mathematik nicht erfolgreich waren:

\[ z + 6 = 13 \quad \text{folgt } z = 7 \quad \]

Daraus ergibt sich für die Anzahl der Schüler, die in nur genau einem Fach erfolgreich waren:

\[x + z = 24 + 7 = 31 \]

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

Frage 20

 

\[
\text{A)} 6 \quad
\text{B) } 7 \quad
\text{C) } 8 \quad
\text{D) } 9 \quad
\text{E) } 10
\]

 

Lösung:

Anzahl der Deutschsprechenden: \[ x + y + 3 = 6 \] \[ \Rightarrow x + y = 3 \] Anzahl der Personen, die mindestens zwei Sprachen sprechen: \[ x + y + z = 7 \] \[ \Rightarrow 3 + z = 7 \] \[ \Rightarrow z = 4 \] Anzahl der Personen, die kein Deutsch sprechen: \[ z + 5 = 4 + 5 = 9 \]

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

Frage 21

 

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Lösung: