Trigonometrische Funktionen
1) Die Kosinus- und Sinusfunktion:
Die x-Koordinate (Abszisse) des Punktes P, an dem der Endschenkel (OP) eines Winkels \( \alpha \) den Einheitskreis schneidet, wird als Kosinus von \( \alpha \) bezeichnet und als „\( \cos \alpha \)“ dargestellt.
Die y-Koordinate (Ordinate) des Punktes P wird als Sinus von \( \alpha \) bezeichnet und als \( \sin \alpha \) dargestellt.
Daraus ergibt sich:
\[
\begin{aligned}
\cos \alpha &= |OC| = x \\
\sin \alpha &= |OD| = y
\end{aligned}
\]
Am Einheitskreis wird die x-Achse als Kosinusachse und die y-Achse als Sinusachse bezeichnet.
Beispiel:
Wir veranschaulichen die Werte von \( \cos(-125^\circ) \) und \( \sin125^\circ \) mithilfe des Einheitskreises.
← Vorherige Seite | Nächste Seite →
\[
\cos(-125^\circ) = -|OC| < 0 \]
\[\sin(125^\circ) = |OD| > 0
\]
Bestimmen wir nun die Kosinus- und Sinuswerte für spitze Winkel.
Hierbei gilt:
\[
\triangle OPC \sim \triangle OP_1C_1 \sim \triangle OP_2C_2 \sim \ldots
\]
Daraus folgt:
\[
\cos \alpha = x = \frac{|OC|}{1} = \frac{|OC|}{|OP|} = \frac{|OC_1|}{|OP_1|} = \frac{|OC_2|}{|OP_2|} = \ldots
\]
Demnach gilt in einem rechtwinkligen Dreieck:
\[
\cos \alpha = \frac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}
\]
In ähnlicher Weise gilt:
\[
\sin \alpha = y = \frac{|CP|}{1} = \frac{|CP|}{|OP|} = \frac{|C_1P_1|}{|OP_1|} = \frac{|C_2P_2|}{|OP_2|} = \ldots
\]
Demnach gilt in einem rechtwinkligen Dreieck:
\[
\sin \alpha = \frac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}
\]
2) Die Tangens- und Kotangensfunktion:
Der Endschenkel ([OP]) eines Winkels \( \alpha \) schneide die im Punkt A an den Einheitskreis gelegte Tangente im Punkt T sowie die im Punkt B gelegte Tangente im Punkt K.
Die y-Koordinate des Punktes T wird als Tangens von \( \alpha \) bezeichnet und als \( \tan \alpha \) dargestellt.
Die x-Koordinate des Punktes K wird als Kotangens von \( \alpha \) bezeichnet und als \( \cot \alpha \) dargestellt.
Daraus ergibt sich:
\[
\begin{aligned}
\tan \alpha &= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = |AT| \\ \\ \cot \alpha &= \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = |BK|
\end{aligned}
\]
Die im Punkt A(1, 0) an den Einheitskreis gelegte Tangente wird als Tangensachse bezeichnet, die im Punkt B(0, 1) gelegte Tangente als Kotangensachse.
Beispiel:
Wir veranschaulichen die Werte von \( \tan40°, \;\; \tan230°, \;\; \) und \( \cot330° \) mithilfe des Einheitskreises.
Bestimmen wir nun die Tangens- und Kotangenswerte für spitze Winkel.
Hierbei gilt:
\[
\tan \alpha = |AT| = \frac{|AT|}{1} = \frac{|AT|}{|OA|}
\]
Demnach gilt in einem rechtwinkligen Dreieck:
\[
\tan \alpha = \frac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Ankathete}}
\]
In ähnlicher Weise gilt:
\[
\cot \alpha = |BK| = \frac{|BK|}{1} = \frac{|BK|}{|OB|}
\]
Demnach gilt in einem rechtwinkligen Dreieck:
\[
\cot \alpha = \frac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Gegenkathete}}
\]
3) Die Sekans- und Kosekansfunktion:
Am Punkt P, an dem der Endschenkel ([OP]) eines Winkels \( \alpha \) den Einheitskreis schneidet, liegt die Gerade \( d \) tangential an den Einheitskreis an.
Die x-Koordinate des Punktes C wird als Sekans von \( \alpha \) bezeichnet und als \( \sec \alpha \) dargestellt.
Die y-Koordinate des Punktes D wird als Kosekans von \( \alpha \) bezeichnet und als \( \csc \alpha \) dargestellt.
Daraus ergibt sich:
\[
\begin{aligned}
\sec \alpha &= \frac{1}{\cos \alpha} = |OC| \\
\csc \alpha &= \frac{1}{\sin \alpha} = |OD|
\end{aligned}
\]