Der Hauptwert (Bezugswinkel)
Es sei \( \alpha \in [0, 2\pi) \).
Wie zuvor gezeigt wurde, schneiden der Endschenkel eines Winkels von \( \alpha + 2k\pi \) Radianten und der Endschenkel eines Winkels von \( \alpha \) Radianten den Einheitskreis im exakt selben Punkt \( P \). Das bedeutet, dass diese Winkel auf denselben Punkt des Einheitskreises abgildet werden. Hierbei wird der Winkel von \( \alpha \) Radianten als Hauptwert (oder bezogener Winkel) des Winkels \( \alpha + 2k\pi \) Radianten bezeichnet.
Zum Beispiel:
Wählt man \( k = 2 \), gelangt man ausgehend vom Punkt \( A \) nach zweimaligem Durchlaufen eines Kreisbogens von \( 2\pi \) Radianten in positiver Richtung wieder genau zum Punkt \( A \).
Subtrahiert man \( 4\pi \) Radianten von \( \alpha + 4\pi \) Radianten, so entspricht der resultierende Winkel von \( \alpha \) Radianten auf dem Einheitskreis exakt dem gleichen Punkt wie der Winkel von \( \alpha + 4\pi \) Radianten.
Somit ist der Winkel von \( \alpha \) Radianten der Hauptwert des Winkels \( \alpha + 4\pi \) Radianten.
Fazit:
Wenn der Hauptwert eines Winkels mit dem Maß \( A^\circ \) genau \( a^\circ \) beträgt und \( a \in [0, 360) \), dann gilt:
\[
A \equiv a \pmod{360}
\]
Wenn der Hauptwert eines Winkels mit dem Bogenmaß \( B \) genau \( b \) Radianten beträgt und \( b \in [0, 2\pi) \), dann gilt:
\[
B \equiv b \pmod{2\pi}
\]
Wenn der Hauptwert eines Winkels mit dem Maß \( C \) Gon genau \( c \) Gon beträgt und \( c \in [0, 400) \), dann gilt:
\[
C \equiv c \pmod{400}
\]
Zusammenfassend gilt:
Um den Hauptwert eines Winkels im Gradmaß zu finden, teilt man das Winkelmaß durch 360. Der Rest der Division ist der gesuchte Hauptwert.
Um den Hauptwert eines Winkels im Bogenmaß (Radiant) zu finden, zieht man ganzzahlige Vielfache von \( 2\pi \) vom Winkelmaß ab. Der verbleibende Rest ist der Hauptwert.
Um den Hauptwert eines Winkels in Gon zu finden, teilt man das Winkelmaß durch 400. Der Rest ist der Hauptwert.
Beispiele:
Wir bestimmen die Hauptwerte für die Winkel 1200°, -1200°, 19000° und -19000°.
\(\bullet \) Hauptwert des Winkels 1200°:
\[
\begin{array}{r|l}
1200 & 360 \\
1080 & \rule{10mm}{0.30mm} \\
– \rule{15mm}{0.30mm} & 3\\
120 &
\end{array}
\]
Der Hauptwert eines Winkels von 1200° beträgt \( 120^\circ \).
\(\bullet \) Hauptwert des Winkels -1200°:
\[
\begin{array}{r|l}
-1200 & 360 \\
-1440 & \rule{10mm}{0.30mm} \\
– \rule{15mm}{0.30mm} & -4\\
240 &
\end{array}
\]
Der Hauptwert eines Winkels von -1200° beträgt \( 240^\circ \).
\(\bullet \) Hauptwert des Winkels 19000°:
\[
\begin{array}{r|l}
19000 & 360 \\
18720 & \rule{10mm}{0.30mm} \\
– \rule{15mm}{0.30mm} & 52\\
280 &
\end{array}
\]
Der Hauptwert eines Winkels von 19000° beträgt \( 280^\circ \).
\(\bullet \) Hauptwert des Winkels -19000°:
\[
\begin{array}{r|l}
-19000 & 360 \\
-19080 & \rule{10mm}{0.30mm} \\
– \rule{15mm}{0.30mm} & -53\\
80 &
\end{array}
\]
Der Hauptwert eines Winkels von -19000° beträgt \( 80^\circ \).
Beispiele:
Wir bestimmen die Hauptwerte der Winkel \( \frac{45\pi}{4} \) Radianten und \( -\frac{45\pi}{4} \) Radianten.
\[
\frac{45\pi}{4} = \frac{40\pi + 5\pi}{4} = 10\pi + \frac{5\pi}{4}
\]
Wenn man das Vielfache \( 10\pi \) abzieht, erhält man als Hauptwert des Winkels \( \frac{45\pi}{4} \) Radianten:
\[
\frac{5\pi}{4} \text{ Radianten.}
\]
Wichtig: Würde man stattdessen schreiben:
\[
\frac{45\pi}{4} = \frac{44\pi + \pi}{4} = 11\pi + \frac{\pi}{4}
\]
und \( 11\pi \) abziehen, wäre dies kein korrekter Hauptwert, da \( 11\pi \) kein ganzzahliges Vielfaches von \( 2\pi \) ist.
Für den negativen Winkel \( -\frac{45\pi}{4} \):
\[
\begin{array}{r|l}
-45 \pi & 4 \\
-48 \pi & \rule{10mm}{0.30mm} \\
– \rule{15mm}{0.30mm} & -12 \pi \\
3 \pi &
\end{array}
\]
Durch Abziehen des passenden Vielfachen (entspricht \( -12\pi \) nach Division) ergibt sich der Hauptwert des Winkels \( -\frac{45\pi}{4} \) Radianten zu \( \frac{3\pi}{4} \) Radianten.
Beispiel:
Wir bestimmen den Hauptwert eines Winkels von 7777 Gon.
\[
\begin{array}{r|l}
7777 & 400 \\
7600 & \rule{10mm}{0.30mm} \\
– \rule{15mm}{0.30mm} & 19\\
177 &
\end{array}
\]
Der Hauptwert des Winkels von 7777 Gon beträgt 177 Gon.
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