Die Wicklungsfunktion

 

Die Wicklungsfunktion ist eine Funktion, die von der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) auf die Punkte des Einheitskreises \(\mathbb{K}\) abgildet wird. Wenn wir die Wicklungsfunktion mit \( s \) bezeichnen, schreiben wir:

\[
s : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{K}
\]

In der kartesischen Koordinatenebene berührt die Gerade \( x = 1 \) den Einheitskreis im Punkt A(1, 0). Betrachten wir diese Gerade als reelle Zahlengerade. Der Nullpunkt dieser Zahlengerade fällt mit dem Punkt A(1, 0) des Einheitskreises zusammen. Stellen wir uns nun vor, dass diese reelle Zahlengerade um den Einheitskreis gewickelt wird. Dadurch wird jeder reellen Zahl \( t \) auf der Geraden genau ein Punkt \( (x, y) \) auf dem Einheitskreis zugeordnet. Diese Zuordnung \( t \rightarrow (x, y) \) bildet die Vorschrift der Wicklungsfunktion \( s \).

Der Umfang des Einheitskreises beträgt:
\[
\mathbb{K} = 2\pi R = 2\pi \cdot 1 = 2\pi
\]

 

 

Demnach sind einige der durch die Funktion \( s \) vorgenommenen Zuordnungen unten dargestellt.

 

 

Beispiel:

 

Da \( s \) die Wicklungsfunktion darstellt, wollen wir den Funktionswert \( s\left(\frac{\pi}{4}\right) \) bestimmen.

Aus der nebenstehenden Abbildung ergibt sich, da \( a = b \) und der Punkt \( P \) auf dem Einheitskreis liegt:

\[
\begin{aligned} a^2 + b^2 = 1 \\
\Rightarrow a^2 + a^2 = 1 \\
\Rightarrow 2a^2 = 1 \\
\Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \\
\Rightarrow a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad (\text{da } a > 0)
\end{aligned}
\]

Daraus folgt:

\[
s\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]

Die Funktionsvorschrift der Wicklungsfunktion kann auch in anderen Winkeleinheiten angegeben werden.

 

 

Zum Beispiel:

 

\( \bullet \quad s'(180^\circ) = (-1, 0) \)

\( \bullet \quad s'(-90^\circ) = (0, -1) \)

\( \bullet \quad s^{“}(200 \text{ Gon}) = (-1, 0) \)

\( \bullet \quad s^{“}(-100 \text{ Gon}) = (0, -1) \)

Daraus ergeben sich die folgenden Entsprechungen auf dem Einheitskreis:

 

 

 

Dementsprechend gilt:

\[ s\left(\frac{\pi}{2}\right) = s\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi\right) = s\left(\frac{\pi}{2} – 2\pi\right) = (0, 1) \]

Allgemein gilt für jede ganze Zahl \( k \in \mathbb{Z} \): Wenn eine reelle Zahl \( t \) auf der Zahlengeraden einem Punkt \( P \) auf dem Einheitskreis entspricht, so entspricht auch die Zahl \( t + 2k\pi \) demselben Punkt \( P \).

Es gilt also:
\[ s(t) = s(t + 2k\pi) = P \]

 

 

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