Satzgruppe von Vieta (Zusammenhänge zwischen Wurzeln und Koeffizienten)

 

Seien

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}
\]

die Wurzeln der quadratischen Gleichung

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

Dann gelten folgende grundlegende Beziehungen:

 

Summe der Wurzeln:

 

\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}
\]

 

Produkt der Wurzeln:

 

\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
\]

 

Absolutbetrag der Differenz der Wurzeln:

 

\[
|x_1 – x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}
\]

Unter Verwendung dieser Grundformeln und durch Anwendung algebraischer Identitäten (Faktorisierung) lassen sich folgende weitere Beziehungen herleiten:

 

Summe der Kehrwerte der Wurzeln:

 

\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}
\]

Nach Einsetzen der obigen Beziehungen folgt:

\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-b}{c}
\]

 

Summe der Quadrate der Wurzeln:

 

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 \cdot x_2 \quad \text{Wegen}
\]

\[
x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 – 2ac}{a^2}
\]

 

Summe der Kuben der Wurzeln:

 

\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 – 3x_1 x_2 \cdot (x_1 + x_2)
\]

Nach Einsetzen folgt:

\[
x_1^3 + x_2^3 = \frac{3abc – b^3}{a^3}
\]

 

 

Beispiel:

 

\[
2x^2 + 6x + 3 = 0
\]

Seien \( x_1, x_2 \) die Wurzeln dieser Gleichung.

\( \bullet \quad x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-6}{2} = -3 \)

\( \bullet \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \)

\( \bullet \quad |x_1 – x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{12}}{|2|} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \)

 

Beispiel:

 

Die Wurzeln der Gleichung \[ x^2 + x – 3 = 0 \] sind \( x_1, x_2 \). Bestimmen Sie den Wert der Summe \( x_1^6 + x_2^6 \).

 

\[
x_1^6 + x_2^6 = (x_1^3 + x_2^3)^2 – 2 (x_1 \cdot x_2)^3
\]

\[
= \left( \frac{3abc – b^3}{a^3} \right)^2 – 2 \left( \frac{c}{a} \right)^3
\]

\[
= \left( \frac{-9 – 1}{1} \right)^2 – 2 \cdot \left( \frac{-3}{1} \right)^3
\]

\[
= 154
\]

 

AUFGABE 23

 

Seien \( x_1, x_2 \) die Wurzeln der Gleichung

\[
-x^2 + 3x – 1 = 0
\]

Wenn \( x_1 > x_2 \) gilt, welchen Wert hat der Ausdruck

\[
x_1^3 \cdot x_2 – x_1 \cdot x_2^3
\]

?

\[
\text{A) } \sqrt{ 5} \quad
\text{B) } 2\sqrt{ 5} \quad
\text{C) } 3\sqrt{ 5} \quad
\text{D) } 4\sqrt{ 5} \quad
\text{E) } 5\sqrt{ 5}
\]

 

Lösung:

 

\[
x_1^3 \cdot x_2 – x_1 \cdot x_2^3 = x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 – x_2) \cdot (x_1 + x_2)
\]

\[
= \frac{c}{a} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right)
\]

\[
= 1 \cdot \sqrt{5} \cdot 3 = 3\sqrt{5}
\]

 

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

AUFGABE 24

 

Die Wurzeln der Gleichung

\[
mx^2 – 3mx + 1 = 0
\]

sind \( x_1, x_2 \). Wenn \( 3x_1 – x_2 = 5 \) gilt, wie groß ist \( m \)?

 

\[
\text{A) } \frac{1}{2} \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } \frac{3}{2} \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]

 

Lösung:

 

\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3m)}{m} = 3
\]

Durch das gemeinsame Lösen dieses Gleichungssystems mit der gegebenen Bedingung

\[
3x_1 – x_2 = 5
\]

erhält man \( x_1 = 2 \). Wir setzen diese Wurzel in die ursprüngliche Gleichung ein:

\[
m x^2 – 3m x + 1 = 0 \Rightarrow m \cdot 2^2 – 3m \cdot 2 + 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow m = \frac{1}{2}
\]

 

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 25

 

Die Wurzeln der Gleichung

\[
x^2 + mx + 2 = 0
\]

sind \( x_1, x_2 \). Wenn \( x_1 < x_2 \) und

\[
x_1 + \frac{x_1}{x_2} = 1
\]

gelten, wie lautet der positive Wert von \( m \)?

 

\[
\text{A) } 2 \sqrt{3 } \quad
\text{B) } \sqrt{3 } \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 1
\]

 

Lösung:

 

\[
x_1 + \frac{x_1}{x_2} = 1 \Rightarrow x_1 \cdot x_2 + x_1 = x_2
\]

\[
\Rightarrow 2 + x_1 = x_2
\]

\[
\Rightarrow x_2 – x_1 = 2
\]

\[ \Rightarrow \sqrt{m^2 \;-\;8} = 2 \]

Daraus ergeben sich die Lösungen:

\[ m_1=-2 \sqrt{3} \quad \text{und } \quad m_2= 2 \sqrt{3} \]

 

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 26

 

Seien \( a \) und \( b \) von Null verschiedene reelle Zahlen. Die Wurzeln der Gleichung

\[
x^2 – (3a – b)x + a + b = 0
\]

sind \( a \) und \( b \). Welchen Wert hat der Ausdruck \( a^2 + b^2 \)?

 

\[
\text{A) } 4 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 8
\]

 

Lösung:

 

Für das Produkt der Wurzeln gilt:

\[
a \cdot b = a + b
\]

und für die Summe der Wurzeln gilt:

\[
a + b = 3a – b
\]

\[
\Rightarrow a = b
\]

Daraus folgt durch Einsetzen in die Produktgleichung:

\[
a \cdot b = a + b \Rightarrow a^2 = 2a
\]

\[
\Rightarrow a = 2 \quad \text{und} \quad b = 2
\]

Somit ergibt sich:

\[
a^2 + b^2 = 8
\]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

AUFGABE 27

 

\[
mx^2 – x + 2m + 1 = 0
\]

Um wie viel ist das Produkt der Wurzeln der gegebenen Gleichung größer als die Summe ihrer Wurzeln?

 

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Lösung:

 

Seien \( x_1, x_2 \) die Wurzeln der Gleichung.

\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{2m + 1}{m} = 2 + \frac{1}{m}
\]

und

\[
x_1 + x_2 = \frac{1}{m}
\]

Subtrahiert man die Summe vom Produkt, erhält man:

\[
x_1 \cdot x_2 – (x_1 + x_2) = 2 + \frac{1}{m}\; -\; \frac{1}{m} = 2
\]

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 28

 

Die Wurzeln der Gleichung

\[
x^2 – 6x + 1 = 0
\]

sind \( x_1 \) und \( x_2 \). Welchen Wert hat der Ausdruck?

\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}
\]

 

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } \sqrt{2 } \quad
\text{D) } 2\sqrt{2 } \quad
\text{E) } 3\sqrt{2 }
\]

 

Lösung:

 

Wir setzen

\[
t = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}
\]

Durch Quadrieren beider Seiten erhalten wir:

\[
t^2 = x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 x_2} \Rightarrow t^2 = 6 + 2\sqrt{1}
\]

\[
\Rightarrow t^2 = 8
\]

Daraus folgt:

\[
\Rightarrow t = 2\sqrt{2} \quad \text{oder} \quad t = -2\sqrt{2}
\]

Da die Quadratwurzeln reeller Zahlen nicht-negativ sein müssen, gilt:

\[
t = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} > 0
\]

Daraus ergibt sich:

\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 2\sqrt{2}
\]

 

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

AUFGABE 29

 

Eine Wurzel der Gleichung

\[
x^2 – mx + n = 0
\]

ist genau dreimal so groß wie eine Wurzel der Gleichung

\[
x^2 + nx + m = 0
\]

Da die jeweils anderen Wurzeln der beiden Gleichungen einander gleichen, welches der folgenden Verhältnisse stellt den Quotient der Wurzeln der Gleichung

\[
x^2 + nx + m = 0
\]

dar?

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } -\frac{1}{2} \quad
\text{C) } \frac{1}{2} \quad
\text{D) } -\frac{2}{5} \quad
\text{E) } \frac{2}{5}
\]

 

Lösung:

 

Seien \( a \) und \( b \) die Wurzeln der Gleichung \( x^2 + nx + m = 0 \). Dann sind die Wurzeln der Gleichung \( x^2 – mx + n = 0 \) durch \( 3a \) und \( b \) gegeben. Bestimmt man nun für beide Gleichungen das Produkt und die Summe der Wurzeln mittels des Satzes von Vieta, so erhält man:

\[
a \cdot b = m
\]

\[
3a \cdot b = n
\]

\[
\Rightarrow n = 3m
\]

Für die Summe der Wurzeln gilt:

\[
a + b = -{n} = -3m
\]

\[ 3a+b=m \]

Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

\[ a= 2m \quad \text{und } \quad b=-5m \]

\[
\Rightarrow a = 2m \quad \text{und} \quad b = -5m
\]

Daraus ergibt sich das gesuchte Verhältnis der Wurzeln:

\[
\frac{a}{b} = \frac{2m}{-5m} = -\frac{2}{5}
\]

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

AUFGABE 30

 

Die Wurzeln der Gleichung

\[
x^2 – (3m + 1)x + 7m + 3 = 0
\]

sind doppelt so groß wie die Wurzeln der Gleichung

\[
x^2 – (m + 2)x + 2m = 0
\]

Wie groß ist das Produkt der Wurzeln der Gleichung?

\[
x^2 – (3m + 1)x + 7m + 3 = 0
\]

 

\[
\text{A) } 16 \quad
\text{B) } 18 \quad
\text{C) } 20 \quad
\text{D) } 22 \quad
\text{E) } 24
\]

 

Lösung:

 

Seien \( a \) und \( b \) die Wurzeln der Gleichung \( x^2 – (m + 2)x + 2m = 0 \). Dann sind die Wurzeln der Gleichung \( x^2 – (3m + 1)x + 7m + 3 = 0 \) durch \( 2a \) und \( 2b \) gegeben. Über die Summe der Wurzeln ergibt sich:

\[
a + b = m + 2
\]

\[
2a + 2b = 3m + 1
\]

\[
\Rightarrow 2(m + 2) = 3m + 1
\]

\[
\Rightarrow m = 3
\]

Setzt man \( m = 3 \) in die gesuchte Gleichung ein, so erhält man:

\[
x^2 – 10x + 24 = 0
\]

Das Produkt der Wurzeln dieser Gleichung beträgt somit:

\[
24
\]

 

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

 

← Vorherige Seite | Nächste Seite →