Terme addieren und subtrahieren (Ergänzungsmethode)

 

Wenn ein mathematischer Ausdruck mit Standardverfahren nicht faktorisiert werden kann, lässt er sich durch das Hinzufügen und Abziehen geeigneter Terme in eine bekannte binomische Formel überführen.

 

Beispiel:

 

Wir faktorisieren den Ausdruck $x^4 + x^2y^2 + y^4$. Wenn wir $x^2y^2$ addieren und subtrahieren, erhalten wir:

\[
x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 – x^2y^2
\]

\[
= (x^2 + y^2)^2 – (xy)^2
\]

\[
= (x^2 + y^2 – xy)(x^2 + y^2 + xy)
\]

 

AUFGABE 19

 

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Teiler (Faktor) von $x^4 + x^2 + 1$?

 

\[
\text{A) } x+1 \quad
\text{B) } x-1 \quad
\text{C) } x^2+1 \quad
\text{D) } x^2+x+1 \quad
\text{E) } x^2-x-1
\]

 

Lösung:

Um den Ausdruck als perfektes Quadrat darzustellen, addieren und subtrahieren wir $x^2$:

\[
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 – x^2
\]

\[
= (x^2+1)^2 – x^2
\]

Anwendung der dritten binomischen Formel:

\[
= (x^2 + 1 – x)(x^2 + 1 + x)
\]

\[
= (x^2 – x + 1)(x^2 + x + 1)
\]

 

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

AUFGABE 20

 

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Teiler (Faktor) von $a^2 – b^2 + 2a – 4b – 3$?

\[
\text{A) } a-b-3 \quad
\text{B) } a+b+2 \quad
\text{C) } a-b+2 \quad
\text{D) } a+b+1 \quad
\text{E) } a-b-1
\]

 

Lösung:

 

Wenn wir die Zahl $1$ addieren und subtrahieren:

\[
a^2 – b^2 + 2a – 4b – 3 = a^2 – b^2 + 2a – 4b – 3 + 1 – 1
\]

\[
= a^2 + 2a + 1 – (b^2 + 4b + 4)
\]

\[
= (a+1)^2 – (b+2)^2
\]

Anwendung des Differenz-von-Quadraten-Prinzips:

\[
= (a+1 – (b+2))(a+1 + b + 2)
\]

\[
= (a – b – 1)(a + b + 3)
\]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

Kürzen rationaler Ausdrücke

 
Bei rationalen Ausdrücken der Form $\displaystyle\frac{A(x)}{B(x)}$ (mit $B(x) \neq 0$) werden Zähler und Nenner vollständig faktorisiert. Anschließend werden die gemeinsamen Faktoren gekürzt.

 

AUFGABE 21

 

Wie lautet die vereinfachte Form des folgenden Ausdrucks?

\[
\frac{2x^3 + 16}{(x^2 – 4)(x^2 – 2x + 4)}
\]

\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } \frac{2}{x-2} \quad
\text{C) } \frac{2}{x+2} \quad
\text{D) } \frac{1}{x} \quad
\text{E) } x
\]

 

Lösung:

 

\[
\frac{2x^3 + 16}{(x^2 – 4)(x^2 – 2x + 4)}
= \frac{2(x^3 + 2^3)}{(x-2)(x+2)(x^2 – 2x + 4)}
\]

Faktorisierung der Summe von zwei Kuben $x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 – 2x + 4)$:

\[
= \frac{2(x+2)(x^2 – 2x + 4)}{(x-2)(x+2)(x^2 – 2x + 4)}
\]

\[
= \frac{2}{x-2}
\]

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 22

 

Wie lautet die vereinfachte Form des folgenden Ausdrucks?

\[
\left( \frac{1}{x-1} + x^2 + x + 1 \right) : \frac{x^2}{x-1}
\]

\[
\text{A) } x^2 \quad
\text{B) } \frac{1}{x-1} \quad
\text{C) } x-1\quad
\text{D) } \frac{1}{x} \quad
\text{E) } x
\]

Lösung:

 

\[
\left( \frac{1}{x-1} + x^2 + x + 1 \right) \div \frac{x^2}{x-1}
\]

Klammer auf den gleichen Nenner bringen:

\[
= \left( \frac{1 + (x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} \right) \cdot \frac{x-1}{x^2}
\]

Nutzen der Kuben-Differenz $(x-1)(x^2 + x + 1) = x^3 – 1$:

\[
= \frac{1 + x^3 – 1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} = x
\]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

AUFGABE 23

 

Wie lautet das Ergebnis der folgenden Operation?

\[
\frac{2x^2}{x-1} + \frac{5x-3}{1-x}
\]

\[
\text{A) } 2x+3 \quad
\text{B) } 2x-3 \quad
\text{C) } x-3\quad
\text{D) } x+3 \quad
\text{E) } x+1
\]

 

Lösung:

 

\[
\frac{2x^2}{x-1} + \frac{5x-3}{1-x} = \frac{2x^2}{x-1} + \frac{5x-3}{-(x-1)}
\]

\[
= \frac{2x^2}{x-1} – \frac{5x-3}{x-1}
\]

\[
= \frac{2x^2 – 5x + 3}{x-1}
\]

Zähler faktorisieren:

\[
= \frac{(2x-3)(x-1)}{x-1} = 2x – 3
\]

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 24

 

Wie lautet das Ergebnis der folgenden Operation?

\[
\frac{b^2 x^2 – 4}{b} \cdot \frac{ax-1}{abx^2 + (2a – b)x -2} + \frac{2}{b}
\]

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } x\quad
\text{D) } -x \quad
\text{E) } b
\]

 

Lösung:

 

Faktorisieren der Einzelteile:

\[
\frac{b^2 x^2 – 4}{b} \cdot \frac{ax – 1}{abx^2 + (2a – b)x – 2} + \frac{2}{b}
\]

\[
= \frac{(bx – 2)(bx + 2)}{b} \cdot \frac{ax – 1}{(ax – 1)(bx + 2)} + \frac{2}{b}
\]

Gemeinsame Faktoren kürzen:

\[
= \frac{bx – 2}{b} + \frac{2}{b} = \frac{bx – 2 + 2}{b}
\]

\[
= \frac{bx}{b} = x
\]

 

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

AUFGABE 25

 

Wie lautet das Ergebnis der folgenden Operation?

\[
\frac{x – \frac{1}{x}}{x+1} : \frac{x – \frac{1}{x^2}}{x^2 + x + 1}
\]

 

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } x \quad
\text{C) } x^2\quad
\text{D) } x^3 \quad
\text{E) } x^4
\]

 

Lösung:

 

Zählerbrüche vereinfachen:

\[
\frac{x – \frac{1}{x}}{x+1} \div \frac{x – \frac{1}{x^2}}{x^2 + x + 1}
\]

\[
= \frac{x^2 – 1}{x(x+1)} \div \frac{x^3 – 1}{x^2(x^2 + x + 1)}
\]

Mit dem Kehrwert multiplizieren und vollständig faktorisieren:

\[
= \frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)} \cdot \frac{x^2 (x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)}
\]

\[
= \frac{x^2}{x} = x
\]

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 26

 

Wie lautet das Ergebnis der folgenden Operation?

\[
\frac{x \sqrt{y} – y \sqrt{x}}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} + \frac{1 – xy}{\sqrt{xy} – 1}
\]

 

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 1-x\quad
\text{D) } x-1 \quad
\text{E) } y
\]

 

Lösung:

 

Gemeinsame Wurzeln im ersten Zähler ausklammern, den zweiten Zähler mittels der dritten binomischen Formel faktorisieren:

\[
\frac{x \sqrt{y} – y \sqrt{x}}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} + \frac{1 – xy}{\sqrt{xy} – 1}
\]

\[
= \frac{\sqrt{xy} (\sqrt{x} – \sqrt{y})}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} + \frac{(1 – \sqrt{xy})(1 + \sqrt{xy})}{-(1 – \sqrt{xy})}
\]

\[
= \sqrt{xy} – (1 + \sqrt{xy}) = -1
\]

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 27

 

Es gilt:
\[
\frac{4^x + 2^{x+y+1} + 4^y}{4^x – 4^y} = \frac{3}{2}
\]

Wie lautet der Wert von $2^{x-y}$?

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3\quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Lösung:

 

\[
\frac{4^x + 2^{x+y+1} + 4^y}{4^x – 4^y} = \frac{3}{2}
\]

Umschreiben auf Basis 2:

\[
\Rightarrow \frac{(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^y + (2^y)^2}{(2^x)^2 – (2^y)^2} = \frac{3}{2}
\]

Zähler als Binom, Nenner als Differenz von Quadraten faktorisieren:

\[
\Rightarrow \frac{(2^x + 2^y)^2}{(2^x – 2^y)(2^x + 2^y)} = \frac{3}{2}
\]

\[
\Rightarrow \frac{2^x + 2^y}{2^x – 2^y} = \frac{3}{2}
\]

Überkreuz multiplizieren:

\[
\Rightarrow 2 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^y = 3 \cdot 2^x – 3 \cdot 2^y
\]

\[
\Rightarrow 5 \cdot 2^y = 2^x
\]

Durch $2^y$ teilen:

\[
\Rightarrow 5 = \frac{2^x}{2^y} \Rightarrow 2^{x-y} = 5
\]

 

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

Quadratische Ergänzung des Trinoms $Ax^2 + Bx + C$

 

1) Wenn $A = 1$ gilt

 

Durch Addieren und Subtrahieren von $\left(\frac{B}{2}\right)^2$ wird ein perfektes Binom erzeugt:

\[
x^2 + Bx + C = x^2 + Bx + C + \left(\frac{B}{2}\right)^2 – \left(\frac{B}{2}\right)^2
\]

\[
= \left(x + \frac{B}{2} \right)^2 + C – \frac{B^2}{4}
\]

 

Beispiel:

 

Wir führen die quadratische Ergänzung für $x^2 + x + 1$ durch.
Da $B = 1$ ist, addieren und subtrahieren wir $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$:

\[
x^2 + x + 1 = x^2 + x + 1 + \frac{1}{4} – \frac{1}{4}
\]

\[
= \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + 1 – \frac{1}{4}
\]

\[
= \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}
\]

 

2) Wenn $A \neq 1$ gilt

 

\[
Ax^2 + Bx + C = A \left(x^2 + \frac{B}{A} x + \frac{C}{A} \right)
\]

Klammern Sie zuerst $A$ aus und führen Sie dann die quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer durch.

 

Beispiel:

 

Wir führen die quadratische Ergänzung für $2x^2 – 3x + 4$ durch.

\[
2x^2 – 3x + 4 = 2 \left(x^2 – \frac{3}{2} x + 2\right)
\]

In der Klammer ist der lineare Koeffizient $-\frac{3}{2}$. Wir addieren und subtrahieren $\left(-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{16}$:

\[
2 \left(x^2 – \frac{3}{2} x + 2 \right) = 2 \left(x^2 – \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} + 2 – \frac{9}{16} \right)
\]

\[
= 2 \left(\left(x – \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{23}{16} \right)
\]

\[
= 2 \left(x – \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{23}{8}
\]

 

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