Injektive Funktion (Eindeutige Zuordnung)
Unter der Bedingung $s(A) \leq s(B)$,
sei eine Funktion $f: A \to B$ gegeben. Wenn jedem unterschiedlichen Argument der Definitionsmenge $A$ ein jeweils unterschiedlicher Funktionswert in der Zielmenge $B$ zugeordnet wird, nennt man diese Abbildung eine injektive Funktion.
Das bedeutet für $y = f(x)$:
\[
x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)
\]
oder äquivalent dazu:
\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \]
Beispiele:
$\bullet \quad f: A \to B$ ist injektiv, da jedes Element aus $A$ auf ein eindeutiges Element in $B$ abgebildet wird. Da zudem in der Zielmenge $B$ ungetroffene Elemente existieren, ist sie injektiv und nicht-surjektiv (In-Funktion).
$\bullet \quad f: A \to B$ ist eine bijektive Funktion, d. h. sie ist sowohl injektiv als auch surjektiv.
$\bullet \quad f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$, mit der Definition $f(x) = 2x^3 – 7$:
\[
f(x_1) = 2x_1^3 – 7 \quad \text{und} \quad f(x_2) = 2x_2^3 – 7
\]
\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1^3 – 7 = 2x_2^3 – 7
\]
\[
\Rightarrow x_1 = x_2 \quad \text{Daraus folgt, dass die Funktion injektiv ist.}
\]
$\bullet \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, mit der Definition $f(x) = 2x^2 + 1$:
\[
f(x_1) = 2x_1^2 + 1 \quad \text{und} \quad f(x_2) = 2x_2^2 + 1
\]
\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1^2 + 1 = 2x_2^2 + 1
\]
\[
\Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = \pm x_2
\]
Da verschiedene Argumente zu demselben Funktionswert führen können, ist diese Funktion nicht injektiv.
$\bullet \quad f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, mit der Definition $f(x) = x^2 + x + 1$:
\[
f(x_1) = x_1^2 + x_1 + 1 \quad \text{und} \quad f(x_2) = x_2^2 + x_2 + 1
\]
\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^2 + x_1 + 1 = x_2^2 + x_2 + 1
\]
\[
\Rightarrow x_1^2 – x_2^2 + x_1 – x_2 = 0
\]
\[
\Rightarrow (x_1 – x_2)(x_1 + x_2 + 1) = 0
\]
Da $x \in \mathbb{N}$ gilt, ist der Term $x_1 + x_2 + 1 \neq 0$. Daraus folgt zwingend:
\[
x_1 – x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2
\]
Die Funktion ist folglich injektiv.
$\bullet \quad f: \mathbb{R} – \{-1\} \to \mathbb{R} – \{2\}$, mit der Definition
\[
f(x) = \frac{2x – 1}{x + 1}
\]
Durch Gleichsetzen der Terme:
\[
f(x_1) = \frac{2x_1 – 1}{x_1 + 1} \quad \text{und} \quad f(x_2) = \frac{2x_2 – 1}{x_2 + 1}
\]
Mittels Überkreuzmultiplikation ergibt sich:
\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow \frac{2x_1 – 1}{x_1 + 1} = \frac{2x_2 – 1}{x_2 + 1}
\]
\[
\Rightarrow 2x_1 x_2 – x_2 + 2x_1 – 1 = 2x_1 x_2 – x_1 + 2x_2 – 1
\]
\[
\Rightarrow 3x_1 = 3x_2 \Rightarrow x_1 = x_2
\]
Damit ist die Injektivität bewiesen.
Der Waagerechte-Linien-Test (Horizontalliniengest):
Um die Eigenschaften einer grafisch gegebenen Funktion $y = f(x)$ zu überprüfen, zeichnet man horizontale Parallelen zur $x$-Achse durch die Zielmenge auf der $y$-Achse:
1) Existiert eine horizontale Linie, die den Graphen nicht schneidet, ist die Funktion nicht-surjektiv (In-Funktion).
2) Schneidet jede horizontale Linie den Graphen mindestens einmal, ist die Funktion surjektiv.
3) Schneidet jede horizontale Linie den Graphen an höchstens einem Punkt, ist die Funktion injektiv.
Beispiel:
Gegeben ist der Graph einer Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
Da die Zielmenge aus allen reellen Zahlen besteht, betrachten wir die Parallelen zur $x$-Achse entlang der gesamten $y$-Achse. Da es Linien gibt, die den Graphen überhaupt nicht schneiden, liegt eine nicht-surjektive Abbildung vor. Da zudem einige Linien den Graphen an mehr als einer Stelle (hier zweimal) schneiden, ist die Funktion nicht injektiv.
Geometrisch betrachtet bedeuten die horizontalen Linien ohne Schnittpunkt, dass Elemente in der Zielmenge kein Urbild besitzen. Linien mit mehreren Schnittpunkten zeigen wiederum, dass verschiedenen Argumenten der Definitionsmenge derselbe Funktionswert zugeordnet wird.
Weitere Beispiele:
Bestimmen wir die Eigenschaften der folgenden Funktionen anhand des Graphentests.
1)
Die Funktion $f_1$ is nicht injektiv, da es waagerechte Linien gibt, die den Graphen in zwei Punkten schneiden. Da jedoch keine horizontale Linie existiert, die den Graphen gar nicht schneidet, ist die Funktion surjektiv.
2)
Die Funktion $f_2$ ist nicht injektiv, da manche horizontalen Linien den Graphen mehrfach schneiden. Da zudem waagerechte Geraden existieren, die den Graphen überhaupt nicht berühren, ist sie nicht-surjektiv.
3)
Die Funktion $f_3$ ist surjektiv, da jede beliebige waagerechte Gerade den Graphen schneidet. Da zudem keine Linie den Funktionsgraphen in mehr als einem Punkt schneidet, ist sie auch injektiv. Somit liegt eine Bijektion vor.
Anzahl injektiver Funktionen:
Es seien $s(A) = m$ und $s(B) = n$. Die Anzahl der möglichen injektiven Funktionen von $A$ nach $B$ berechnet sich über die Variation (Fakultätsformel):
\[
P(n, m) = \frac{n!}{(n – m)!} \quad (\text{wobei } n \geq m)
\]
Damit eine Funktion $f: A \to B$ sowohl injektiv als auch surjektiv (also bijektiv) sein kann, muss gelten: $s(A) = s(B) = n$. In diesem Fall gilt:
Die Anzahl der bijektiven Funktionen von $A$ nach $B$ beträgt:
\[
\frac{n!}{(n – n)!} = n!
\]
Beispiel:
Wenn $A = \{ 1, 2, 3 \}$ und $B = \{ a, b, c, d \}$,
dann beträgt die Anzahl der injektiven Funktionen $f: A \to B$:
\[
\frac{4!}{(4 – 3)!} = 24
\]
Die Anzahl der bijektiven Abbildungen $f: A \to A$ beträgt:
\[
3! = 6
\]
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