Verkettung von Funktionen 

 

Gegeben seien zwei Funktionen:
\[
f: A \to B, \quad g: B \to C
\]

Die Funktion, die Elementen aus der Definitionsmenge $A$ mithilfe von $f$ und $g$ direkt Werte aus der Zielmenge $C$ zuordnet, nennt man Verkettung (oder Hintereinanderausführung) von $f$ und $g$.

\[
g \circ f : A \to C, \quad (g \circ f)(x) = g(f(x))
\]
gesprochen als „$g$ nach $f$“. Man beachte, dass die zuerst angewendete Funktion rechts steht.

 

Beispiel:

 

Betrachten wir die Funktionen:
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 1
\]
\[
g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = x + 1
\]

Die Verkettung $(f \circ g)(x)$ berechnet sich durch:
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2 + 1
\]
\[
= x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 2
\]

Die Verkettung $(g \circ f)(x)$ berechnet sich durch:
\[
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1) = (x^2 + 1) + 1
\]
\[
= x^2 + 2
\]

 

Eigenschaften der Funktionenverkettung:

 

1. Die Verkettung von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ (nicht vertauschbar).

\[
f \circ g \neq g \circ f \quad \text{(vorausgesetzt, dass } f \neq I \text{ und } g \neq I\text{)} \quad (I: \text{ Identitätsfunktion})
\]

Hinweis:

 

Für ganz bestimmte Funktionen $f$ und $g$ kann ausnahmsweise Kommutativität ($f \circ g = g \circ f$) vorliegen.

 

Beispiel:

 

Gegeben seien:
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x + 2
\]
\[
g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = x – 7
\]

Berechnung beider Reihenfolgen:
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x – 7) = x – 7 + 2 = x – 5
\]
\[
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = x + 2 – 7 = x – 5
\]

In diesem Fall gilt tatsächlich:
\[ f \circ g = g \circ f \]

2. Die Verkettung von Funktionen ist assoziativ (assoziatives Verknüpfungsgesetz):

\[
f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h
\]
\[
f \circ g \circ h = f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h
\]

 

Beispiel:

 

Mit $f(x) = 2x$, $g(x) = x^2$ und $h(x) = x + 1$ auf den reellen Zahlen:
\[
(g \circ h)(x) = g\bigl(h(x)\bigr) = g(x+1) = (x+1)^2
\]
\[
[f \circ (g \circ h)](x) = f\bigl((g \circ h)(x)\bigr) = f\bigl((x+1)^2\bigr) = 2(x+1)^2
\]
\[
(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = f(x^2) = 2x^2
\]
\[
[(f \circ g) \circ h](x) = (f \circ g)\bigl(h(x)\bigr) = (f \circ g)(x+1) = 2(x+1)^2
\]
Da beide Klammerungen identische Resultate liefern, ist die Assoziativität verifiziert.

 

Merke:

 

\[
(f \circ g \circ h)(x) = [(f \circ g) \circ h](x) = f[g(h(x))]
\]

 

Beispiele:

 

Es seien die Funktionen $f(x) = x^2 – 1$, $g(x) = 2x$ und $h(x) = x + 2$ auf $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gegeben.

 

$\bullet \quad$ Bestimmung von $(f \circ g \circ h)(x)$:
\[
(f \circ g \circ h)(x) = f[g(h(x))] = f[g(x+2)] = f[2(x+2)] = [2(x+2)]^2 – 1
\]
\[
= (2x + 4)^2 – 1 = 4x^2 + 16x + 16 – 1 = 4x^2 + 16x + 15
\]

 

$\bullet \quad$ Rechnerische Auswertung des Einzelwertes $(f \circ g \circ h)(1)$:
\[
(f \circ g \circ h)(1) = f[g(h(1))] = f[g(1+2)] = f[g(3)]
\]
\[
= f(2 \cdot 3) = f(6) = 6^2 – 1 = 35
\]

 

3. Zusammenspiel mit der identischen Funktion (Identität):

 

\[
f \circ I = I \circ f = f, \quad \text{(für } f: A \to A\text{)}
\]

 

4. Verkettung einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion:

 

\[
f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I, \quad \text{(für } f: A \to A\text{)}
\]

 

Beispiel:

 

Gegeben sei $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{2x – 3}{5}$. Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}$.
\[
\Rightarrow (f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = \frac{2 \cdot \left( \frac{5x + 3}{2} \right) – 3}{5} = \frac{(5x + 3) – 3}{5} = \frac{5x}{5} = x
\]

 

Fazit:

\[
f \circ f^{-1} = I
\]

Auflösen von Funktionsgleichungen:

 

Liegt eine verkettete Funktionsgleichung der Form $f \circ g = h$ vor, lassen sich die Einzelkomponenten mathematisch isolieren:

1. Verknüpfung beider Seiten von rechts mit $g^{-1}$:
\[
f \circ g = h \Rightarrow f \circ g \circ g^{-1} = h \circ g^{-1}
\]
\[
\Rightarrow f \circ I = h \circ g^{-1} \Rightarrow f = h \circ g^{-1}
\]

2. Verknüpfung beider Seiten von links mit $f^{-1}$:
\[
f \circ g = h \Rightarrow f^{-1} \circ f \circ g = f^{-1} \circ h
\]
\[
\Rightarrow I \circ g = f^{-1} \circ h \Rightarrow g = f^{-1} \circ h
\]

 

Beispiel:

 

Gegeben seien $f(x) = \frac{x – 1}{2}$ und $(f \circ g)(x) = 3x + 4$. Wir suchen die Funktionsvorschrift für $g(x)$.

Wir setzen $h(x) = 3x + 4$. Da gilt $g = f^{-1} \circ h$, bestimmen wir zuerst die Inverse von $f$: $f^{-1}(x) = 2x + 1$.
\[
g(x) = (f^{-1} \circ h)(x) = f^{-1}(h(x)) = f^{-1}(3x + 4)
\]
\[
= 2(3x + 4) + 1 = 6x + 8 + 1 = 6x + 9
\]

 

Beispiel:

 

Gegeben sei $f \left( \frac{2x – 1}{x + 3} \right) = x + 1$. Wir wollen die Funktion $f(x)$ bestimmen.

Wir definieren $g(x) = \frac{2x – 1}{x + 3}$ und $h(x) = x + 1$. Es gilt somit $(f \circ g)(x) = h(x)$, woraus $f(x) = (h \circ g^{-1})(x)$ folgt.
Zuerst ermitteln wir die inverse Funktion $g^{-1}(x) = \frac{-3x – 1}{x – 2}$.
\[
f(x) = h(g^{-1}(x)) = h\left(\frac{-3x – 1}{x – 2}\right) = \frac{-3x – 1}{x – 2} + 1
\]
\[
= \frac{-3x – 1 + (x – 2)}{x – 2} = \frac{-2x – 3}{x – 2}
\]
Dieses Verfahren basiert darauf, dass man auf beiden Seiten der ursprünglichen Funktionsgleichung die Variable $x$ durch den inversen Ausdruck $g^{-1}(x)$ ersetzt.

 

Beispiel:

 

Gilt $f \left( \sqrt[3]{x} + 1 \right) = x^2$, bestimmen wir $f(x)$ wie folgt:

Setze $g(x) = \sqrt[3]{x} + 1$. Um $f(x)$ freizulegen, substituieren wir $x$ auf beiden Seiten durch $g^{-1}(x)$.
Berechnung der Inversen:
\[
y = \sqrt[3]{x} + 1 \Rightarrow y – 1 = \sqrt[3]{x} \Rightarrow (y – 1)^3 = x \Rightarrow g^{-1}(x) = (x – 1)^3
\]
Einsetzen des Terms $(x – 1)^3$ in die rechte Seite der Gleichung:
\[
f(x) = \left[ (x – 1)^3 \right]^2 = (x – 1)^6
\]

 

Abhängigkeit von Definitions- und Wertemenge:

 

Für eine bijektive Abbildung $f: A \to B$ gilt:
\[
f^{-1} \circ f = I_A \quad (\text{wobei } I_A : A \to A)
\]
\[
f \circ f^{-1} = I_B \quad (\text{wobei } I_B : B \to B)
\]
Falls die Mengen $A$ und $B$ nicht identisch sind ($A \neq B$), folgt daraus logischerweise $f \circ f^{-1} \neq f^{-1} \circ f$, da sich die Definitionsbereiche der verknüpften Identitätsfunktionen unterscheiden.

 

Invertierung verketteter Funktionen

 

Bildet man die Umkehrfunktion einer Verkettung mehrerer bijektiver Funktionen, dreht sich die Reihenfolge der Anwendung um (Inversionsregel):
\[
(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}
\]
\[
(f \circ g \circ h)^{-1} = h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1}
\]

 

Beispiel:

 

Seien $f(x) = x^2 + 1$ (für $x \ge 0$) und $g(x) = \frac{-x + 1}{x + 2}$ zwei bijektive Funktionen. Wir berechnen den Wert des Terms $(f^{-1} \circ g)^{-1}(2)$.

 

Lösung:

 

Anwendung der Inversionsregel auf den gesamten Klammerausdruck:
\[
(f^{-1} \circ g)^{-1} (2) = (g^{-1} \circ (f^{-1})^{-1} )(2) = (g^{-1} \circ f)(2) = g^{-1}(f(2))
\]
Zuerst bestimmen wir den inneren Wert $f(2)$:
\[
f(2) = 2^2 + 1 = 5 \Rightarrow g^{-1}(f(2)) = g^{-1}(5)
\]
Unter Nutzung des Zusammenhangs $x = g^{-1}(5) \iff 5 = g(x)$ lösen wir die rationale Gleichung auf:
\[
5 = \frac{-x + 1}{x + 2} \Rightarrow 5(x + 2) = -x + 1 \Rightarrow 5x + 10 = -x + 1
\]
\[
\Rightarrow 6x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}
\]
Das Endergebnis lautet somit $(f^{-1} \circ g)^{-1} (2) = -\frac{3}{2}$.

 

AUFGABE 23

 

Gegeben ist die Funktionsgleichung:
\[
f\left( \frac{2x – 1}{3x + 1} \right) = x – 1
\]
Welchen Wert besitzt $f(3)$?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } – \frac{11}{7} \quad
\text{C) } \frac{11}{7} \quad
\text{D) } -\frac{9}{4} \quad
\text{E) } \frac{9}{4}
\]

 

Lösung:

 

Wir setzen das Argument im Inneren der Funktion gleich 3, um den benötigten x-Wert zu ermitteln:
\[
\frac{2x – 1}{3x + 1} = 3 \Rightarrow 2x – 1 = 3(3x + 1) \Rightarrow 2x – 1 = 9x + 3
\]
\[
\Rightarrow -4 = 7x \Rightarrow x = -\frac{4}{7}
\]
Diesen Wert für $x$ setzen wir nun in die rechte Seite der Gleichung ($x – 1$) ein:
\[
f(3) = -\frac{4}{7} – 1 = -\frac{4}{7} – \frac{7}{7} = -\frac{11}{7}
\]

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 24

 

Eine Funktion erfüllt die rekursive Beziehung $f(x) = \frac{2 f(x-2) + x}{3}$. Wenn bekannt ist, dass $f(6) = \frac{16}{3}$ gilt, wie lautet der Wert für $f(2)$?

\[
\text{A)} \frac{11}{2} \quad
\text{B) } \frac{11}{3} \quad
\text{C) } \frac{11}{4} \quad
\text{D) } \frac{11}{5} \quad
\text{E) } \frac{11}{6}
\]

 

Lösung:

 

Zuerst nutzen wir $x = 6$ in der Formel, um den Wert für $f(4)$ zu isolieren:

\[
f(6) = \frac{2f(4) + 6}{3} \Rightarrow \frac{16}{3} = \frac{2f(4) + 6}{3} \Rightarrow 16 = 2f(4) + 6 \Rightarrow 2f(4) = 10 \Rightarrow f(4) = 5
\]

Nun setzen wir $x = 4$ in die Rekursionsgleichung ein, um zu $f(2)$ zu gelangen:

\[
f(4) = \frac{2f(2) + 4}{3} \Rightarrow 5 = \frac{2f(2) + 4}{3} \Rightarrow 15 = 2f(2) + 4 \Rightarrow 2f(2) = 11 \Rightarrow f(2) = \frac{11}{2}
\]

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 25

 

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2^{x-2} + 1$. Welcher der folgenden Ausdrücke stellt die verschobene Funktion $f(x+2)$ in Abhängigkeit von $f(x)$ dar?

\[
\text{A)} 3f(x) – 1 \quad
\text{B) } 4f(x) – 1 \quad
\text{C) } 4f(x) \quad
\text{D) } 3f(x) \quad
\text{E) } 4f(x) – 3
\]

 

Lösung:

 

Schreiben wir zunächst den Term für $f(x+2)$ auf:
\[
f(x+2) = 2^{(x+2)-2} + 1 = 2^x + 1
\]
Nun versuchen wir, den Ausdruck $2^x$ mithilfe der originalen Funktionsgleichung darzustellen:
\[
f(x) = 2^{x-2} + 1 \Rightarrow f(x) – 1 = 2^{x-2} \Rightarrow f(x) – 1 = \frac{2^x}{2^2} \Rightarrow f(x) – 1 = \frac{2^x}{4}
\]
\[
\Rightarrow 4(f(x) – 1) = 2^x \Rightarrow 2^x = 4f(x) – 4
\]
Diesen Ausdruck setzen wir nun in unsere Formel für $f(x+2)$ ein:
\[
f(x+2) = 2^x + 1 = (4f(x) – 4) + 1 = 4f(x) – 3
\]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

AUFGABE 26

 

Gilt die Zuordnung $f(x^2 + x + 1) = 3x^2 + 3x + 1$, wie lautet die allgemeine Definition von $f(x)$?

\[
\text{A)} x+1 \quad
\text{B) } 2x+3 \quad
\text{C) } 2x-3 \quad
\text{D) } 3x-2 \quad
\text{E) } 3x+2
\]

 

Lösung:

 

Methode 1: Strukturvergleich (Algebraische Umformung)

Wir analysieren den mathematischen Zusammenhang zwischen dem Eingabe- und dem Ausgabeterm:
\[
f(x^2 + x + 1) = 3x^2 + 3x + 1
\]
Wir können die rechte Seite der Gleichung gezielt so umformen, dass die Struktur der linken Innenseite $(x^2 + x + 1)$ sichtbar wird:
\[
3x^2 + 3x + 1 = 3(x^2 + x + 1) – 2
\]
Ersetzen wir den gesamten Block durch eine einfache Variable $u = x^2 + x + 1$, folgt:
\[
f(u) = 3u – 2 \Rightarrow f(x) = 3x – 2
\]

 

Methode 2: Lineare Modellannahme

Wir nehmen alternativ an, dass es sich um eine lineare Funktion der Form $f(x) = ax + b$ handelt.

Für $x = 0$: $f(1) = 3(0) + 1 = 1 \Rightarrow a(1) + b = 1 \Rightarrow a + b = 1$.

Für $x = 1$: $f(3) = 3(1)^2 + 3(1) + 1 = 7 \Rightarrow a(3) + b = 7 \Rightarrow 3a + b = 7$.

Subtraktion der beiden Gleichungen voneinander: $(3a + b) – (a + b) = 7 – 1 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.

Einsetzen zur Bestimmung von $b$: $3 + b = 1 \Rightarrow b = -2$.

Daraus ergibt sich ebenfalls die Funktion $f(x) = 3x – 2$.

 

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

AUFGABE 27

 

Gegeben ist die Funktion:
\[
f\left( \frac{x}{x^2 + 1} \right) = x – 1
\]
Welcher der Auswahlmöglichkeiten entspricht der inversen Funktion $f^{-1}(x)$?

\[
\text{A) } x \quad
\text{B) } \frac{x+1}{x^2 + 1} \quad
\text{C) } \frac{x}{x^2 + 2} \quad
\text{D) } \frac{x}{x+2} \quad
\text{E) } \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1}
\]

 

Lösung:

 

Wir nutzen die Eigenschaft $f(u) = v \iff f^{-1}(v) = u$:
\[
f^{-1}(x – 1) = \frac{x}{x^2 + 1}
\]
Um das Argument von $(x-1)$ zu einem reinen $x$ zu verschieben, ersetzen wir im gesamten Term jeden Buchstaben $x$ durch den Ausdruck $(x + 1)$:
\[
f^{-1}(x) = \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1}
\]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

AUFGABE 28

 

Wenn $f(x+1) = 5x^2 + 1$ und $g(x+8) = x^2 + 1$ gelten, wie hoch ist der Zahlenwert von $(g \circ f)(-1)$?

\[
\text{A) } 169 \quad
\text{B) } 170 \quad
\text{C) } 171 \quad
\text{D) } 172 \quad
\text{E) } 173
\]

 

Lösung:

 

Laut Definition der Verkettung gilt: $(g \circ f)(-1) = g(f(-1))$.
Zuerst berechnen wir den inneren Wert $f(-1)$ mithilfe von $f(x+1) = 5x^2 + 1$. Dazu bestimmen wir, für welches $x$ die Klammer den Wert $-1$ annimmt:
\[
x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2
\]
\[
f(-1) = 5(-2)^2 + 1 = 5(4) + 1 = 21
\]
Diesen Wert übergeben wir nun an die Funktion $g$, wir berechnen also $g(21)$. Unter Verwendung von $g(x+8) = x^2 + 1$:
\[
x + 8 = 21 \Rightarrow x = 13
\]
\[
g(21) = (13)^2 + 1 = 169 + 1 = 170
\]

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 29

 

Gegeben seien die Funktionen $f(x) = 2^{x+2}$ und $g(x) = x^2 + 15$. Berechne den Wert von $(f^{-1} \circ g \circ f)(-2)$.

\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]

 

Lösung:

 

Wir werten die Funktionskette von innen nach außen aus: $f^{-1}\left(g\left(f(-2)\right)\right)$.
Schritt 1: Berechnung von $f(-2)$:
\[
f(-2) = 2^{-2+2} = 2^0 = 1
\]
Schritt 2: Einsetzen des Ergebnisses in $g(x)$, also Berechnung von $g(1)$:
\[
g(1) = 1^2 + 15 = 16
\]
Schritt 3: Nun bestimmen wir $f^{-1}(16)$. Über die Gleichung $f^{-1}(16) = x \iff f(x) = 16$ erhalten wir:
\[
2^{x+2} = 16 \Rightarrow 2^{x+2} = 2^4 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2
\]
Das Gesamtergebnis lautet demnach $(f^{-1} \circ g \circ f)(-2) = 2$.

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 30

 

In der obigen Abbildung ist der Graph der Funktion $y = f(x)$ dargestellt. Welchen Wert nimmt der vierfach verkettete Ausdruck $(f \circ f \circ f \circ f)(5)$ an?

\[
\text{A) } 6 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 2
\]

 

Lösung:

 

Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass $f(x)$ für alle Werte $x \geq 3$ eine konstante Funktion beschreibt. Es gilt somit:
\[
f(5) = 2
\]
Wir arbeiten uns nun schrittweise durch die Verkettung voran:
\[
(f \circ f \circ f \circ f)(5) = f(f(f(f(5)))) = f(f(f(2)))
\]
Der Punkt $(2, 0)$ auf der x-Achse zeigt uns, dass $f(2) = 0$ gilt:
\[
= f(f(0))
\]
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei $(0, 4)$, folglich ist $f(0) = 4$:
\[
= f(4)
\]
Da das Argument $4 \geq 3$ ist, greift wieder der konstante Bereich der Funktion, dessen Ausgabewert immer 2 beträgt:
\[
f(4) = 2
\]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

AUFGABE 31

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $y = f(x)$. Wenn die Bedingung
\[
(f \circ f)(2x – 4) = 3
\]
erfüllt ist, wie lautet der Wert für $x$?

\[
\text{A) } 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]

 

Lösung:

 

Wir schreiben den verketteten Ausdruck um:
\[
f(f(2x – 4)) = 3
\]
Wir prüfen im Graphen, bei welchem Eingabewert die Funktion den y-Wert 3 annimmt. Der Punkt $(1, 3)$ bestätigt, dass $f(1) = 3$ gilt. Daraus folgt für die innere Schachtelung:
\[
f(2x – 4) = 1
\]
Nun prüfen wir im Graphen, bei welchem Eingabewert die Funktion den y-Wert 1 liefert. Der Punkt $(0, 1)$ zeigt uns, dass $f(0) = 1$ ist. Daraus schließen wir:
\[
2x – 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2
\]

\(\textbf{Antwort: C} \)