Vergleich der Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit einer reellen Zahl

 

Mithilfe des Graphen (Parabel) der quadratischen Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\) können wir die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) der quadratischen Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) mit einer gegebenen reellen Zahl \(\alpha\) vergleichen.

 

\(1. \quad \alpha \) liegt zwischen den Nullstellen

 

Für \(a > 0\), wenn \(\alpha\) die Bedingung \(x_1 < \alpha < x_2\) erfüllt, folgt \(f(\alpha) < 0\). Daraus ergibt sich die Beziehung:

\[ a \cdot f(\alpha) < 0\]

 

Hinweis:

 

Gilt bei einer quadratischen Gleichung \(f(x) = ax^2 + bx + c = 0\) die Bedingung \(a \cdot f(\alpha) < 0\), so ist zwingend \(\Delta > 0\).

 

Beispiel:

 

Es seien \(x_1, x_2\) die Nullstellen der Gleichung \(f(x) = (m – 1)x^2 + (1 – 3m)x + m + 2 = 0\).
Wir bestimmen das zulässige Intervall für \(m\), wenn \(x_1 < 2 < x_2\) gilt.

Damit \(x_1 < 2 < x_2\) erfüllt ist, setzen wir \(\alpha = 2\). Mit dem Leitkoeffizienten \(a = m – 1\) muss folglich gelten:
\[ (m – 1) \cdot f(2) < 0 \]

\[
\Rightarrow (m – 1) \cdot \left[ (m – 1) \cdot 2^2 + (1 – 3m) \cdot 2 + m + 2 \right] < 0
\]

\[
\Rightarrow (m – 1) \cdot (-m) < 0
\]

 

 

\[
\text{Die Lösungsmenge lautet somit: } L = \{ m \mid m < 0 \text{ oder } m > 1,\ m \in \mathbb{R} \}.
\]

 

AUFGABE 30

 

Es seien \(x_1, \;x_2\) die Nullstellen der Gleichung \(f(x) = (m -\; 1)x^2 – (m^2 + 1)x + 2m^2 -\; 6m + 6 = 0\). Wenn \(x_1 < 1 < x_2\) gilt, welche der folgenden Aussagen über \(m\) ist korrekt?

 

\[ \text{A) } 4 < m < 5 \quad
\text{B) } -1 < m < 5 \quad
\text{C) }1 < m < 6 \quad
\text{D) } m > 4 \quad
\text{E) } 1 < m < 4 \]

 

Lösungsweg:

 

Hierbei ist \(a = m – 1\) und der Bezugswert \(\alpha = 1\).

\[x_1 < 1 < x_2 \Rightarrow (m – 1) \cdot f(1) < 0\]

\[
\Rightarrow (m – 1) \cdot \left[(m – 1) \cdot 1^2 – (m^2 + 1) \cdot 1 + 2m^2 – 6m + 6\right] < 0
\]

\[
\Rightarrow (m – 1) \cdot \left[m – 1 – m^2 – 1 + 2m^2 – 6m + 6 \right] < 0
\]

\[
\Rightarrow (m – 1) \cdot (m^2 – 5m + 4) < 0
\Rightarrow (m – 1)^2 \cdot (m – 4) < 0
\]

 

 

\[
\text{Die Lösungsmenge lautet: } L = \{ m \mid m < 1 \text{ oder } 1 < m < 4,\ m \in \mathbb{R} \}
\]

 

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

\(2. \quad \alpha \) liegt außerhalb der Nullstellen

 

Für \(a > 0\), wenn \(\alpha < x_1 < x_2\) gilt, folgt \(f(\alpha) > 0\).

Daraus ergibt sich die Bedingung \(a \cdot f(\alpha) > 0\). Demnach erhalten wir folgendes Gleichungssystem:

 

\[
\alpha < x_1 < x_2 \\ \Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
\quad &\Delta > 0\\
\quad &a \cdot f(\alpha) > 0 \\
\quad &r = -\frac{b}{2a} > \alpha
\end{aligned}
\right. \\
\]

 

Ebenso gilt für \(a > 0\), wenn \(x_1 < x_2 < \alpha\) erfüllt ist, dass \(f(\alpha) > 0\), woraus wiederum \(a \cdot f(\alpha) > 0\) folgt. Es gilt also:

 

\[
x_1 < x_2 < \alpha \\ \Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
\quad &\Delta > 0\\
\quad &a \cdot f(\alpha) > 0 \\
\quad &r = -\frac{b}{2a} < \alpha
\end{aligned}
\right. \\
\]

 

Beispiel:

 

Es seien \(x_1, \;x_2\) die Nullstellen der Gleichung \(f(x) = mx^2 + (2m – 3)x + m – \;3 = 0\). Wir bestimmen das Intervall für \(m\), unter der Bedingung \(x_1 < x_2 < 1\).

Damit \(x_1 < x_2 < 1\) gilt, fordern wir zunächst:
\[
\Delta = (2m – 3)^2 – 4m \cdot (m – 3) = 9 > 0
\]

Mit \(a = m\) und \(\alpha = 1\) folgt:

\[
m \cdot f(1) > 0 \Rightarrow m \cdot [m + (2m – 3) + (m – 3)] > 0 \Rightarrow m(4m – 6) > 0
\]

und für die Lage des Scheitelpunkts:

\[
r = \frac{-b}{2a} = \frac{-(2m – 3)}{2m} < 1 \Rightarrow \frac{-4m + 3}{2m} < 0
\]

 

 

\[
\text{Daraus ergibt sich die Lösungsmenge: } L = \{ m \mid m < 0 \text{ oder } m > \frac{3}{2},\ m \in \mathbb{R} \}
\]

 

Beispiel:

 

Es seien \(x_1, \; x_2\) die Nullstellen der Gleichung \(f(x) = -x^2 + mx -\; 4 = 0\). Wir bestimmen das Intervall für \(m\), sodass \(2 < x_1 < x_2\) erfüllt ist.

Damit \(2 < x_1 < x_2\) gilt:

\[
\Delta = m^2 – \;4 \cdot (-1) \cdot (-4) = m^2 – \;16 > 0
\]

Mit \(a = -1\) und \(\alpha = 2\) folgt:

\[
-1 \cdot f(2) > 0 \Rightarrow -1 \cdot (-2^2 + 2m – \;4) > 0 \Rightarrow -2m + 8 > 0
\]

und für die Lage des Scheitelpunkts:

\[
r = \frac{-b}{2a} = \frac{-m}{-2} = \frac{m}{2} > 2 \Rightarrow m > 4.
\]

\[ L = \emptyset \]

 

AUFGABE 31

 

Es seien \(x_1, \; x_2\) die Nullstellen der Gleichung \(x^2 + mx -\; m – 1 = 0\). Wenn \(x_1 < -1 < x_2 < 2\) gilt, welche der folgenden Aussagen über \(m\) ist korrekt?

\[ \text{A) } m < -4 \quad
\text{B) } -5 < m < -4 \quad
\text{C) } -4 < m < -3 \quad
\text{D) } -3 < m < 0 \quad
\text{E) } m > 0 \]

 

Lösungsweg:

 

\[f(x) = x^2 + mx – \;m -\; 1\]

Es gilt \(a = 1\), \(\alpha_1 = -1\) und \(\alpha_2 = 2\).

Aus \(x_1 < -1 < x_2\) folgt: \(f(-1) < 0 \Rightarrow 1 \cdot f(-1) < 0 \Rightarrow -2m < 0\)

Aus \(x_1 < x_2 < 2\) folgt: \(f(2) > 0 \Rightarrow 1 \cdot f(2) > 0 \Rightarrow 3 + m > 0\)

Für die Lage des Scheitelpunkts in Bezug auf die obere Grenze gilt:

\[
r = \frac{-m}{2 \cdot 1} < 2 \Rightarrow -m – 4 < 0
\]

\[
\text{Daraus ergibt sich die Lösungsmenge: } L = \{ m \mid m > 0,\ m \in \mathbb{R} \}
\]

 

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

AUFGABE 32

 

Es seien \(x_1, x_2\) die Nullstellen der Gleichung \(-76x^2 + 19x + 263 = 0\). Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

\[\begin{aligned} \text{A) } x_1 <& 2 < x_2 \quad
\text{B) } x_1 < x_2 < 2 \quad
\text{C) } 2 < x_1 < x_2 \quad \\ \\ \text{D) } &x_1 = x_2 = 2 \quad
\text{E) } x_1 = x_2 < 2 \end{aligned}\]

 

Lösungsweg:

 

Wir vergleichen die Zahl 2 mit den Nullstellen der Gleichung \(f(x) = -76x^2 + 19x + 263 = 0\).

Mit \(a = -76\) und \(\alpha = 2\) folgt:

\[
-76 \cdot f(2) = -76 \cdot \left[ -76 \cdot 2^2 + 19 \cdot 2 + 263 \right] = -76 \cdot (-3) > 0
\]

Da das Produkt positiv ist, liegt die Zahl 2 außerhalb der Nullstellen.

Wir betrachten die Lage des Scheitelpunkts:
\[
r = \frac{-b}{2a} = \frac{-19}{2 \cdot (-76)} = \frac{1}{8} < 2 \Rightarrow x_1 < x_2 < 2
\]

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 33

 

Unter der Bedingung \(m < 0 < n\) seien \(x_1, x_2\) die Nullstellen der Gleichung \(-x^2 + mx + n^2 = 0\). Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

 

\[
\begin{aligned}
\text{A) }m < n < x_1 < x_2 \\
\text{B) } x_1 < m < n < x_2 \\
\text{C) } x_1 < x_2 < m < n \\
\text{D) } x_1 < m < x_2 < n \\
\text{E) } m < x_1 < n < x_2
\end{aligned}
\]

 

Lösungsweg:

 

Wir vergleichen die Werte \(m\) und \(n\) mit den Nullstellen der Funktion \(f(x) = -x^2 + mx + n^2 = 0\).

Hierbei ist \(a = -1\), \(\alpha_1 = m\) und \(\alpha_2 = n\).

Auswertung an der Stelle \(x = m\):
\[
-1 \cdot f(m) = -(-m^2 + m \cdot m + n^2) = -n^2 < 0 \Rightarrow m \text{ liegt zwischen den Nullstellen.}
\]

Auswertung an der Stelle \(x = n\):
\[
-1 \cdot f(n) = -(-n^2 + m \cdot n + n^2) = -m \cdot n > 0 \Rightarrow n \text{ liegt außerhalb der Nullstellen.}
\]

Da \(m\) innerhalb der Nullstellen liegt und \(n\) außerhalb rechts von der größeren Nullstelle liegt, folgern wir:
\[ \text{Somit gilt: } \;\; x_1 < m < x_2 < n. \]

 

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

 

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