Surjektive Funktion
Unter der Bedingung $s(A) \geq s(B)$,
sei eine Funktion $f: A \to B$ gegeben. Wenn jedes Element der Zielmenge $B$ mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird (also kein Element ungetroffen bleibt), nennt man diese Abbildung eine surjektive Funktion. Das bedeutet, dass die Wertemenge identisch mit der Zielmenge ist, also $f(A) = B$.
Beispiele:
1) Die Funktion $f: \;A \to B$ ist surjektiv, da in der Zielmenge $B$ kein Element ungetroffen bleibt; jedes Element besitzt ein entsprechendes Urbild in $A$.
2) Die Funktion $f: \;\mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad f(x) = 2x+1$ ist nicht surjektiv, da in der Zielmenge $\mathbb{N}$ Elemente ungetroffen bleiben. Folglich handelt es sich um eine In-Funktion (nicht-surjektive Abbildung).
3) Die Funktion $f: \;\mathbb{Z} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = 3x-2$ ist nicht surjektiv, da in der reellen Zielmenge $\mathbb{R}$ Elemente ohne Urbild existieren (d.h. $f(\mathbb{Z}) \neq \mathbb{R}$). Folglich handelt es sich um eine In-Funktion.
Kriterium für Surjektivität:
Um zu überprüfen, ob eine Funktion $f: A \to B, \;\; y= f(x)$ surjektiv ist, stellt man die Funktionsgleichung nach $x$ in Abhängigkeit von $y$ um. Wenn für jedes beliebige $y$ aus der Zielmenge $B$ der berechnete $x$-Wert in der Definitionsmenge $A$ liegt, ist die Funktion surjektiv.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad y = f(x) = 2x + 3$ auf Surjektivität.
Durch Umstellen von $y = 2x + 3$ erhalten wir $x = \frac{y – 3}{2}$. Da nicht für jedes ganzzahlige $y$ auch ein ganzzahliges $x$ existiert, ist diese Funktion nicht surjektiv. Es handelt sich somit um eine In-Funktion.
Wählt man beispielsweise $y = 4$, so ergibt sich $x = \frac{4 – 3}{2} = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$.
AUFGABE 19
Gegeben seien die Mächtigkeiten $s(A) = n^2 – 4$ und $s(B) = 3n$. Welchen Wert muss $n$ mindestens annehmen, damit die Funktion $f: \; A \to B$ surjektiv sein kann?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3\quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Damit eine Abbildung $f: A \to B$ surjektiv sein kann, muss die Mächtigkeit der Definitionsmenge mindestens so groß sein wie die der Zielmenge, es muss also gelten: $s(A) \geq s(B)$. Gilt $s(A) < s(B)$, kann die Funktion unmöglich surjektiv sein. \[ s(A) \geq s(B) \Rightarrow n^2 – 4 \geq 3n \] \[ \Rightarrow n^2 – 3n – 4 \geq 0 \] \[ \Rightarrow (n – 4)(n + 1) \geq 0 \] Da $n$ aufgrund der Definition als Mächtigkeit positiv sein muss, gilt $n + 1 > 0$. Folglich muss die Bedingung $n – 4 \geq 0$ erfüllt sein.
Daraus ergibt sich für $n$ ein Mindestwert von 4.
\(\textbf{Antwort: D} \)
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