Arkusfunktionen (Inverse trigonometrische Funktionen)

Damit eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, muss sie bijektiv (sowohl injektiv als auch surjektiv) sein. Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, sind sie über ihrem gesamten natürlichen Definitionsbereich ($\mathbb{R}$) nicht injektiv. Durch die Einschränkung auf geeignete Intervalle, in denen die Funktionen bijektiv sind, lassen sich jedoch die Arkusfunktionen definieren.

1) Die Arkussinusfunktion:

Wählt man als Definitionsbereich der Sinusfunktion das Intervall $ \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, so wird diese bijektiv. Sei nun:

$ \displaystyle f: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1, 1] $ mit $ f(x) = \sin x $. Die Umkehrfunktion wird mit

$ f^{-1}(x) = \sin^{-1} x $ oder $ f^{-1}(x) = \text{arcsin } x $ bezeichnet, wobei $ \displaystyle \text{arcsin} : [-1, 1] \rightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ gilt.

Es gilt folglich:

$ y = f(x) = \sin x \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) = \sin^{-1 y} \Leftrightarrow x = \text{arcsin } y $

Durch Vertauschen der Variablen $ x $ und $ y $ ergibt sich die übliche Form $ y = \text{arcsin } x $.

Beispiele:

$ \displaystyle \text{arcsin } \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ (Der Winkel, dessen Sinuswert $ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} $ beträgt, ist $ \displaystyle \frac{\pi}{3} $.)

$ \displaystyle \text{arcsin } (-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $

Für $ \displaystyle \alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] $ liefert die Gleichung $ \displaystyle \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $ den Nebenwert $ \displaystyle \alpha = \frac{3\pi}{4} $.

Für $ \displaystyle \alpha \in [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] $ liefert die Gleichung $ \displaystyle \sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ den Nebenwert $ \displaystyle \alpha = \frac{7\pi}{4} $.

Graph der Arkussinusfunktion

Wir erstellen eine Verlaufstabelle, um den Graphen von $ f^{-1}(x) = \text{arcsin } x $ zu zeichnen.

\[
\begin{array}{c|lcr}
x & -1 & \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\
\hline
\text{arcsin } x & \displaystyle -\frac{\pi}{2} & \nearrow \displaystyle -\frac{\pi}{4} & \nearrow 0 & \nearrow \displaystyle \frac{\pi}{4} & \nearrow \displaystyle \frac{\pi}{2}
\end{array}
\]

2) Die Arkuskosinusfunktion:

Ein Standardintervall, in dem die Kosinusfunktion bijektiv ist, ist $ [0, \pi] $.

Wenn $ f : [0, \pi] \rightarrow [-1, 1] $ durch $ f(x) = \cos x $ definiert ist, bezeichnet

$ f^{-1} : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi] $ mit $ f^{-1}(x) = \cos^{-1} x $ die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion, geschrieben als $ f^{-1}(x) = \text{arccos } x $.

Demnach gilt:

$ y = f(x) = \cos x \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) = \cos^{-1} y \Leftrightarrow x = \text{arccos } y $

Durch Vertauschen von $ x $ und $ y $ erhält man die Gleichung $ y = \text{arccos } x $.

Beispiele:

* $ \text{arccos } ( \displaystyle \frac{-1}{2} ) = \displaystyle \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi] $

\[ (\text{Der Winkel, dessen Kosinus } -\frac{1}{2} \text{ ist, beträgt } \frac{2\pi}{3}.) \]

* Für $ \alpha \in [\pi, 2\pi] $ liefert die Gleichung $ \cos\alpha = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} $ den Nebenwert $ \alpha = \displaystyle \frac{11\pi}{6} $.

3) Graph der Arkuskosinusfunktion

Wir erstellen eine Verlaufstabelle, um den Graphen von $ f^{-1}(x) = \text{arccos } x $ zu zeichnen.

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -1 & & \displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2} & & 0 & & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & & 1 \\ \hline
\text{arccos } x & \pi & \searrow & \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \searrow & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \searrow & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \searrow & 0
\end{array}
\]

3) Die Arkustangensfunktion

Ein Intervall, in dem die Tangensfunktion bijektiv ist, ist das offene Intervall $ ( \displaystyle -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) $.

Wenn $ f : ( \displaystyle -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow (-\infty , +\infty) $ mit $ f(x) = \tan x $ definiert ist, heißt die Umkehrfunktion

$ f^{-1} : (-\infty , +\infty) \rightarrow ( \displaystyle -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) $ mit $ f^{-1}(x) = \tan^{-1} x $

Arkustangensfunktion, dargestellt als $ f^{-1} (x) = \text{arctan } x $.

Es gilt:

$ y = f(x) = \tan x \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) = \tan^{-1} y \Leftrightarrow x = \text{arctan } y $

Durch Vertauschen von $ x $ und $ y $ ergibt sich $ y = \text{arctan } x $.

Beispiele:

* $ \text{arctan } (-1) = -\displaystyle \frac{\pi}{4} \in ( -\displaystyle \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) $

\[ (\text{Der Winkel, dessen Tangens } -1 \text{ ist, beträgt } -\frac{\pi}{4}.) \]

* Für $ \alpha \in [ \displaystyle \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} ] $ liefert die Gleichung $ \tan\alpha = \sqrt{3} $ den Nebenwert $ \alpha = \displaystyle \frac{4\pi}{3} $.

Graph der Arkustangensfunktion

Wir erstellen eine Verlaufstabelle, um den Graphen von $ f^{-1}(x) = \text{arctan } x $ zu zeichnen.

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline
\text{arctan } x & -\displaystyle \frac{\pi}{2} & \nearrow & -\displaystyle \frac{\pi}{4} & \nearrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \nearrow & \displaystyle \frac{\pi}{2}
\end{array}
\]

4) Die Arkuskotangensfunktion:

Das Standardintervall, in dem die Kotangensfunktion bijektiv ist, ist $(0, \pi)$.

\[ f : (0, \pi) \to (-\infty, +\infty), \quad f(x) = \cot x \]

\[ f^{-1} : (-\infty, +\infty) \to (0, \pi), \quad f^{-1}(x) = \cot^{-1} x \]

Diese Umkehrfunktion wird als $ f^{-1}(x) = \text{arccot } x $ bezeichnet.

Es gilt folglich:

\[ y = f(x) = \cot x \iff x = f^{-1}(y) = \cot^{-1} y \iff x = \text{arccot } y \]

Durch Vertauschen von $x$ und $y$ erhält man die Standardform:

\[ y = \text{arccot } x \]

Beispiele:

$ \text{arccot}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6} \in (0, \pi) $
\[ (\text{Der Winkel, dessen Kotangens } -\sqrt{3} \text{ ist, beträgt } \frac{5\pi}{6}.) \]

Für $ \alpha \in (-\pi, 0) $ liefert die Gleichung $ \cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $ den Nebenwert:
\[ \alpha = -\frac{\pi}{3} \]

Graph der Arkuskotangensfunktion

Verlaufstabelle für $f^{-1}(x) = \text{arccot } x$:

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
\text{arccot } x & \pi & \searrow & \displaystyle\frac{3\pi}{4} & \searrow & \displaystyle\frac{\pi}{2} & \searrow & \displaystyle\frac{\pi}{4} & \searrow & 0
\end{array}
\]

Eigenschaften der Umkehrfunktionen:

In den jeweiligen Definitions- und Wertebereichen gelten folgende Identitäten:

\[
\begin{aligned}
\sin(\arcsin x) &= x \\
\cos(\arccos x) &= x \\
\tan(\arctan x) &= x \\
\cot(\text{arccot } x) &= x
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
\text{arcsin}(\sin \theta) &= \theta \\
\text{arccos}(\cos \theta) &= \theta \\
\text{arctan}(\tan \theta) &= \theta \\
\text{arccot}(\cot \theta) &= \theta
\end{aligned}
\]

Beispiele:

* $ \text{arctan} \left( \tan \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} $

* $ \cos \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = -\frac{1}{2} $

Beispiel:

Bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks $ \sin(\text{arctan } 2) $.

Es sei $ \text{arctan } 2 = \theta \Leftrightarrow \tan \theta = 2 $.

Mithilfe des nebenstehenden rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich:

$ \sin(\text{arctan } 2) = \sin \theta = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} $

AUFGABE 70

Welcher der folgenden Werte entspricht dem Ausdruck $ \tan(\text{arccos}(-\displaystyle \frac{3}{5})) $?

\[ A) \ \displaystyle \frac{4}{3} \quad B) \ -\displaystyle \frac{4}{3} \quad C) \ \displaystyle \frac{3}{4} \quad D) \ -\displaystyle \frac{3}{4} \quad E) \ -2 \]

Lösung:

Im Ausdruck $ \tan(\arccos(-\displaystyle \frac{3}{5})) $ setzen wir:

$ \arccos(-\displaystyle \frac{3}{5}) = \theta \Leftrightarrow \cos \theta = -\displaystyle \frac{3}{5} $

Da $ |\cos \theta| = \displaystyle \frac{3}{5} $, betrachten wir das folgende rechtwinklige Hilfsdreieck:

Daraus folgt für den Betrag des Tangens: $ |\tan \theta| = \displaystyle \frac{4}{3} $.

Aufgrund der Wertemenge der Arkuskosinusfunktion gilt $ \theta \in [0, \pi] $. Da $ \cos \theta < 0 $, liegt der Winkel $ \theta $ im II. Quadranten. Im II. Quadranten ist der Tangentenwert negativ ($ \tan \theta < 0 $).

Daraus ergibt sich:

$ \tan \theta = -\displaystyle \frac{4}{3} $

$\textbf{Antwort: B} $

AUFGABE 71

Welchen Wert hat der Ausdruck $ \sin \left( \displaystyle \frac{1}{2} \text{ arctan } \displaystyle \frac{3}{4} \right) $?

\[ A) \ \displaystyle \frac{1}{3} \quad B) \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 10} } \quad C) \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 11} } \quad D) \ \displaystyle \frac{3}{\sqrt{ 10} } \quad E) \ \displaystyle \frac{3}{\sqrt{ 11} } \]

Lösung:

Wir setzen $ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \arctan \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \alpha $. Daraus folgt:

$ \arctan \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = 2\alpha \Rightarrow \tan 2\alpha = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} $

Mithilfe der geometrischen Konstruktion zur Halbwinkelbestimmung (Verlängerung der Ankathete eines rechtwinkligen $3-4-5$-Dreiecks um die Länge der Hypotenuse $5$, sodass ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Basiswinkel $\alpha$ entsteht) erhalten wir aus dem Dreieck ABD:

$ \sin \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \arctan \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \right) = \sin\alpha $

$ = \frac{\displaystyle 3}{3\sqrt{10}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{10}} $

$\textbf{Antwort: B} $

AUFGABE 72

Welcher der folgenden Ausdrücke ist äquivalent zu ?

\[ \cos (2 \arccos x) \]

\[
A) 1 \ – \ 2x^2
\quad
B) 1 \ – \ x^2
\quad
C) 1 + x^2
\quad
D) x^2 \ – \ 1
\quad
E) 2x^2 \ – \ 1
\]

Lösung:

Es sei $ \arccos x = \theta \Leftrightarrow \cos \theta = x $.

Unter Verwendung des Doppelwinkeltheorems für den Kosinus gilt:

\[ \cos (2 \arccos x) = \cos 2\theta \]
\[ = 2\cos^2 \theta \ – \ 1 \]
\[ = 2x^2 \ – \ 1 \]

$\textbf{Antwort: E} $

AUFGABE 73

Welchen Wert hat die Summe ?

\[ \arctan 3 + \text{arccot }\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \]

\[
A) \ \frac{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 12}
\quad
B) \ \frac{\displaystyle 7\pi}{\displaystyle 12}
\quad
C) \ \frac{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}
\quad
D) \ \frac{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}
\quad
E) \ \frac{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6}
\]

Lösung:

Es sei $ \text{arctan } 3 = \theta \Leftrightarrow \tan \theta = 3 $.

Zudem sei $ \text{arccot } \displaystyle \frac{1}{2} = \alpha \Leftrightarrow \cot \alpha = \displaystyle \frac{1}{2} \Rightarrow \tan \alpha = 2 $.

Unter Anwendung des Additionstheorems für den Tangens gilt:

$ \tan (\theta + \alpha) = \displaystyle \frac{\tan \theta + \tan \alpha}{1 \ – \ \tan \theta \tan \alpha} $

$ = \displaystyle \frac{3 + 2}{1 \ – \ 3 \cdot 2} = -1 $

Da beide Winkel positive, spitze Hauptwerte sind, liegt ihre Summe im Intervall $ (0, \pi) $. Der Winkel in diesem Bereich, dessen Tangens den Wert $-1$ aufweist, ist:

$ \theta + \alpha = \displaystyle \frac{3\pi}{4} $

$\textbf{Antwort: D} $

AUFGABE 74

Welcher Ausdruck ist gleichwertig mit ?

\[ \sec ( \text{arctan } \displaystyle \frac{1}{x} ) \]

\[ A) \ x
\quad B) \ \sqrt{1 \ – \ x^2}
\quad C) \ \sqrt{1 + x^2}
\quad D) \ \displaystyle \frac{\sqrt{1 \ – \ x^2}}{x}
\quad E) \ \displaystyle \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} \]

Lösung:

Es sei $ \text{arctan } \displaystyle \frac{1}{x} = \theta \Rightarrow \tan \theta = \displaystyle \frac{1}{x} $.

Aus dem rechtwinkligen Hilfsdreieck folgt:

$ \sec ( \text{arctan } \displaystyle \frac{1}{x} ) = \sec \theta = \displaystyle \frac{1}{\cos \theta} $

$ = \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}} = \displaystyle \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} $

$\textbf{Antwort: E} $