Grundrechenarten bei komplexen Zahlen

1. Addition und Subtraktion:

Bei der Addition oder Subtraktion komplexer Zahlen werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils separat voneinander addiert beziehungsweise subtrahiert.

Beispiele:

$ (3 – 3\sqrt{2}i) + (2 + 2\sqrt{2}i) $

$ = (3 + 2) + (-3\sqrt{2} + 2\sqrt{2})i $

$ = 5 \ – \ \sqrt{2}i $

$ (\sqrt{5} \ – \ \sqrt{3} + \sqrt{2}i) \ – \ (\sqrt{3} \ – \ \sqrt{5} + \sqrt{2}i) $

$ = \sqrt{5} \ – \ \sqrt{3} + \sqrt{2}i \ – \ \sqrt{3} + \sqrt{5} \ – \ \sqrt{2}i = 2(\sqrt{5} \ – \ \sqrt{3}) $

$ (-3 \ – \ \sqrt{-4} ) + ( 4 + \sqrt{-16} ) $

$ \left( -3 \ – \ \sqrt{-4} \right) + \left( 4 + \sqrt{-16} \right) $

$ = \left( -3 \ \ – \ \ 2i \right) + \left( 4 \ \ + \ \ 4i \right) $

$ = 1 + 2i $

2. Multiplikation:

Bei der Multiplikation komplexer Zahlen wendet man das Distributivgesetz an (jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten multiplizieren) und setzt anschließend $i^2 = -1$ ein.

Beispiele:

$\left( 3 + 2i \right)\left( 4 \ \ – \ \ 5i \right)$

$ = 3\cdot 4 \ \ – \ \ 3\cdot 5i \ \ + \ \ 4\cdot 2i \ \ – \ \ 5i\cdot 2i $

$ = 12 \ \ – \ \ 15i \ \ + \ \ 8i \ \ + \ \ 10 $

$ = 22 \ \ – \ \ 7i $

$\left( \sqrt{2} + 2i \right)\left( 2 + \sqrt{2} i \right)$

$ = 2\sqrt{2} + \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} i + 2\cdot 2i + 2i\cdot \sqrt{2} i $

$ = 2\sqrt{2} + 2i + 4i \ \ – \ \ 2\sqrt{2} $

$ = 6i $

$ \sqrt{-7} \cdot \sqrt{-21} \cdot \sqrt{-3} $

$ = \sqrt{7}i \cdot \sqrt{21}i \cdot \sqrt{3}i $

$ = \sqrt{7\cdot 21\cdot 3}\ i^{3} $

$ = \ -21i $

3. Division:

Bei der Division komplexer Zahlen erweitert man den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, um den Nenner reellwertig zu machen.

Beispiele:

$\displaystyle \frac{ 2 \ \ – \ \ i }{ 3 \ \ – \ \ 2i }$

$ = \displaystyle \frac{ \left( 2 \ \ – \ \ i \right)\left( 3 \ \ + \ \ 2i \right) }{ \left( 3 \ \ – \ \ 2i \right)\left( 3 \ \ + \ \ 2i \right) } $

$ = \displaystyle \frac{ 2\cdot 3 + 2\cdot 2i \ \ – \ \ 3i \ \ – \ \ i\cdot 2i }{ 3^{2} + \left( -2 \right)^{2} } $

$ = \displaystyle \frac{ 8 + i }{ 13 } $

$ \displaystyle \frac{ \sqrt{3} \ \ – \ \ \sqrt{2} i }{ \sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{3} i } $

$ = \displaystyle \frac{ \left( \sqrt{3} \ \ – \ \ \sqrt{2} i \right)\left( \sqrt{2} \ \ + \ \ \sqrt{3} i \right) }{ \left( \sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{3} i \right)\left( \sqrt{2} \ \ + \ \ \sqrt{3} i \right) } $

$ = \displaystyle \frac{ \sqrt{6} + 3i \ \ – \ \ 2i + \sqrt{6} }{ (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{3})^{2} } $

$ = \displaystyle \frac{ 2\sqrt{6} + i }{ 5 } $

$ \displaystyle \frac{1}{1 \ \ + \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i} $

$ \displaystyle \frac{1 \cdot \left( 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i \right)}{ \left( 1 \ \ + \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i \right)\left( 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i \right) } $

$ \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i }{ 1^{2} \ \ + \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})^{2} } $

$ \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i }{ 4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2} } $

AUFGABE 8

Gegeben ist die folgende Gleichung:

\[ z \ \ – \ \ \sqrt{2} = (\sqrt{2}z \ \ + \ \ 1)i \]

Wie lautet der Imaginärteil der komplexen Zahl $ z $?

\[ A) \ 1 \quad B) \ 0 \quad C) \ 1 \quad D) \ 2 \quad E) \ 3 \]

Lösung:

$ z \ \ – \ \ \sqrt{2} = (\sqrt{2}z \ \ + \ \ 1)i \Rightarrow z \ \ – \ \ \sqrt{2} = \sqrt{2}z i \ \ + \ \ i $

$ \Rightarrow z \ \ – \ \ \sqrt{2}z i = \sqrt{2} \ \ + \ \ i $

$ \Rightarrow z(1 \ \ – \ \ \sqrt{2}i) = \sqrt{2} \ \ + \ \ i $

$ \Rightarrow z = \displaystyle \frac{ \sqrt{2} \ \ + \ \ i }{ 1 \ \ – \ \ \sqrt{2}i } $

$ \Rightarrow z = \displaystyle \frac{ (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)(1 \ \ + \ \ \sqrt{2}i) }{ (1 \ \ – \ \ \sqrt{2}i)(1 \ \ + \ \ \sqrt{2}i) } $

$ \Rightarrow z = \displaystyle \frac{ \sqrt{2} \ \ + \ \ 2i \ \ + \ \ i \ \ – \ \ \sqrt{2} }{ 1^{2} \ \ + \ \ (-\sqrt{2})^{2} } = \displaystyle \frac{ 3i }{ 3 } = i $

Da $z = i$ ist, folgt $ \mathrm{Im}(z) = 1 $.

$ \textbf{Antwort: C} $

AUFGABE 9

Unter der Bedingung $ \mathrm{Im}(z) \neq 0 $: Welche der folgenden Auswahlmöglichkeiten stellt die komplexe Zahl $ z $ dar, die die Gleichung $ z^{2} \ \ – \ \ 2\bar{z} \ \ – \ \ 2 = 0 $ erfüllt?

\[ A) \ 1 + i \quad B) \ -1 + i \quad C) \ 2 + i \quad D) \ 2 \ – \ i \quad E) \ -2 \ – \ i \]

Lösung:

Es sei $ z = a \ \ + \ \ bi $, dann ist $ \bar{z} = a \ \ – \ \ bi $.

$ z^{2} \ \ – \ \ 2\bar{z} \ \ – \ \ 2 = 0 $

$ \Rightarrow (a \ \ + \ \ bi)^{2} \ \ – \ \ 2(a \ \ – \ \ bi) \ \ – \ \ 2 = 0 $

$ \Rightarrow a^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ + \ \ 2abi \ \ – \ \ 2a \ \ + \ \ 2bi \ \ – \ \ 2 = 0 $

$ \Rightarrow ( a^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2a \ \ – \ \ 2 ) \ \ + \ \ (2ab \ \ + \ \ 2b)i = 0 $

Hieraus ergeben sich durch Koeffizientenvergleich mit 0:

$ a^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2a \ \ – \ \ 2 = 0 $ und $ 2ab \ \ + \ \ 2b = 0 $

$ 2b(a \ \ + \ \ 1) = 0 $

Da laut Voraussetzung $ \mathrm{Im}(z) = b \neq 0 $ ist, muss $ a = -1 $ sein. Setzt man $ a = -1 $ in die erste Gleichung ein:

$ \Rightarrow (-1)^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2\cdot(-1) \ \ – \ \ 2 = 0 $

$ \Rightarrow 1 \ \ – \ \ b^{2} \ \ + \ \ 2 \ \ – \ \ 2 = 0 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = 1 $

Somit lautet die gesuchte Zahl $ z = -1 \ \ + \ \ i $.

$ \textbf{Antwort: B} $

AUFGABE 10

Wenn gilt:

\[ \displaystyle \frac{ 2z\bar{z} }{ z \ \ + \ \ \bar{z} } = i(\bar{z} \ \ – \ \ z) \]

Wie groß ist der Wert der Differenz $ \mathrm{Re}(z) \ – \ \mathrm{Im}(z) $?

\[ A) \ 0 \quad B) \ 1 \quad C) \ 2 \quad D) \ 3 \quad E) \ 4 \]

Lösung:

Es sei $ z = a \ \ + \ \ bi $, dann ist $ \bar{z} = a \ \ – \ \ bi $.

$ \displaystyle \frac{ 2z\bar{z} }{ z \ \ + \ \ \bar{z} } = i(\bar{z} \ \ – \ \ z) \Rightarrow \frac{ 2(a^{2} \ \ + \ \ b^{2}) }{ a \ \ + \ \ bi \ \ + \ \ a \ \ – \ \ bi } = i(a \ \ – \ \ bi \ \ – \ \ (a \ \ + \ \ bi)) $

$ \Rightarrow \displaystyle \frac{ 2(a^{2} \ \ + \ \ b^{2}) }{ 2a } = i(-2bi) $

$ \Rightarrow \displaystyle \frac{ a^{2} \ \ + \ \ b^{2} }{ a } = 2b $

$ \Rightarrow a^{2} \ \ + \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2ab = 0 $

$ \Rightarrow (a \ \ – \ \ b)^{2} = 0 \Rightarrow a \ \ – \ \ b = 0 $

Daraus folgt, dass $ \mathrm{Re}(z) \ – \ \mathrm{Im}(z) = a – b = 0 $ ist.

$ \textbf{Antwort: A} $

AUFGABE 11

Gegeben ist das Polynom $ P(x) = x^{4} \ \ – \ \ 3x^{3} \ \ + \ \ 4x^{2} \ \ + \ \ 2x $. Welchen Wert hat $ P(1 \ \ + \ \ i) $?

\[ A) \ 1+i \quad B) \ 2+2i \quad C) \ 3+3i \quad D) \ 4+4i \quad E) \ 5+5i \]

Lösung:

$ P(x) = x^{4} \ \ – \ \ 3x^{3} \ \ + \ \ 4x^{2} \ \ + \ \ 2x $

$ \Rightarrow P(x) = x(x^{3} \ \ – \ \ 3x^{2} \ \ + \ \ 4x \ \ + \ \ 2) $

$ \Rightarrow P(x) = x(x^{3} \ \ – \ \ 3x^{2} \ \ + \ \ 3x \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ x \ \ + \ \ 3) $

$ \Rightarrow P(x) = x[(x \ \ – \ \ 1)^{3} \ \ + \ \ x \ \ + \ \ 3] $

Setzen wir nun den Wert ein:

$ \Rightarrow P(1 \ \ + \ \ i) = (1 \ \ + \ \ i)\left((1 \ \ + \ \ i \ \ – \ \ 1)^{3} \ \ + \ \ 1 \ \ + \ \ i \ \ + \ \ 3\right) $

$ \Rightarrow P(1 \ \ + \ \ i) = (1 \ \ + \ \ i)(i^{3} \ \ + \ \ 4 \ \ + \ \ i) $

$ \Rightarrow P(1 \ \ + \ \ i) = (1 \ \ + \ \ i)(-i \ \ + \ \ 4 \ \ + \ \ i) $

$ \Rightarrow P(1 \ \ + \ \ i) = (1 \ \ + \ \ i)(4) = 4 \ \ + \ \ 4i $

$ \textbf{Antwort: D} $

AUFGABE 12

Was ist das Ergebnis des folgenden Terms?

\[ \displaystyle \frac{ \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} }{ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-6} } \]

\[ A) \ 1 \quad B) \ – 1 \quad C) \ i \quad D) \ -i \quad E) \ 2 \]

Lösung:

\[ \displaystyle \frac{ \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} }{ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-6} } = \frac{ 2i \cdot 3i }{ \sqrt{2}i \cdot \sqrt{3}i \cdot \sqrt{6}i } \]

\[ = \displaystyle \frac{ -6 }{ \sqrt{2\cdot 3\cdot 6}\ i^{3} } \]

\[ = \displaystyle \frac{ -6 }{ -6i } = \frac{1}{i} = \frac{ -i }{ i\cdot(-i) } = -i \]

$ \textbf{Antwort: D} $

AUFGABE 13

Wie lautet der Imaginärteil der komplexen Zahl $ z = (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)^{6} $?

\[ A) \ -81 \quad B) \ 81 \quad C) \ -81 \sqrt{ 2} \quad D) \ 243 \quad E) \ -243 \]

Lösung:

\[ z = (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)^{6} \]

\[ = (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i) \]

\[ = [(\sqrt{2} \ \ + \ \ i)\cdot(\sqrt{2} \ \ – \ \ i)]^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i) \]

\[ = [(\sqrt{2})^{2} \ \ + \ \ 1^{2}]^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i) \]

\[ = 3^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i) = 243\sqrt{2} \ \ – \ \ 243i \]

Daraus ergibt sich für den Imaginärteil: $ \mathrm{Im}(z) = -243 $.

$ \textbf{Antwort: E} $

AUFGABE 14

Wie lautet der Imaginärteil der komplexen Zahl $ z = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i} \ \ – \ \ \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i} \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} $?

\[ A) \ -1 \quad B) \ 1 \quad C) \ -2 \quad D) \ 2 \quad E) \ 0 \]

Lösung:

\[ z = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i} \ \ – \ \ \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i} \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]

\[ = \displaystyle \frac{ \sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i \ \ – \ \ (\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i) }{ (\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i)(\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i) } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]

\[ = \displaystyle \frac{ -2i }{ (\sqrt{2} \ \ – \ \ 1)^{2} \ \ + \ \ 1^{2} } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]

\[ = \displaystyle \frac{ -2i }{ 4 \ \ – \ \ 2\sqrt{2} } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]

\[ = \displaystyle \frac{ -2i \cdot (4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2}) }{ (4 \ \ – \ \ 2\sqrt{2})(4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2}) } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]

\[ = \displaystyle \frac{ -8i \ \ – \ \ 4\sqrt{2}i }{ 8 } \ \ + \ \ \frac{ \sqrt{2}i }{ 2 } \]

\[ = -i \ \ – \ \ \displaystyle\frac{4\sqrt{2}i}{8} \ \ + \ \ \displaystyle\frac{ \sqrt{2}i }{ 2 } = -i \]

Somit gilt: $ \mathrm{Im}(z) = -1 $.

$ \textbf{Antwort: A} $

Hinweis:

Für jede ganze Zahl $ n \in \mathbb{Z} $ gilt:

\[ (a \ \ \pm \ \ ai)^{2n} = [(a \ \ \pm \ \ ai)^{2}]^{n} = (\pm 2a^{2} i)^{n} \]

Beispiel:

Wir berechnen das Ergebnis des Terms $ (2 \ \ + \ \ 2i)^{22} $.

$ (2 \ \ + \ \ 2i)^{22} = [(2 \ \ + \ \ 2i)^{2}]^{11} = (4 \ \ + \ \ 8i \ \ – \ \ 4)^{11} $

$ = (8i)^{11} = 2^{33} i^{11} = -2^{33} i $

Beispiel:

Wir berechnen das Ergebnis des Terms $ (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{33} $.

$ (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{33} = (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{32} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) $

$ = [(\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{2}]^{16} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) $

$ = (-4i)^{16} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) $

$ = 2^{32} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) $

AUFGABE 15

Wenn gilt: $ z = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{i} \ \ + \ \ \frac{3}{\sqrt{3}} $, welchem Wert entspricht dann $ z^{20} $?

\[ A) \ 3^{20} \quad B) \ 6^{10} \quad C) \ -6^{10} \quad D) \ -3^{20} \quad E) \ 3^{10} \]

Lösung:

\[ z = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{i} \ \ + \ \ \frac{3}{\sqrt{3}} \Rightarrow z = \frac{\sqrt{3}}{i} \ \ + \ \ \sqrt{3} \]

\[ \Rightarrow z = \displaystyle \frac{ \sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i }{ i } \]

\[ \Rightarrow z^{20} = \left( \displaystyle \frac{ \sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i }{ i } \right)^{20} \]

\[ \Rightarrow z^{20} = \displaystyle \frac{ (\sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i)^{20} }{ i^{20} } \]

\[ \Rightarrow z^{20} = \left[ (\sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i)^{2} \right]^{10} / 1 \]

\[ \Rightarrow z^{20} = (2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}i)^{10} \]

\[ \Rightarrow z^{20} = (6i)^{10} = -6^{10} \]

$ \textbf{Antwort: C} $

AUFGABE 16

Wenn gilt: $ (1 \ \ + \ \ i)z \ \ + \ \ i = 1 $, welcher Wert entspricht dann $ z^{1996} $?

\[ A) \ -i \quad B) \ i \quad C) \ -1 \quad D) \ 0 \quad E) \ 1 \]

Lösung:

\[ (1 \ \ + \ \ i)z \ \ + \ \ i = 1 \Rightarrow (1 \ \ + \ \ i)z = 1 \ \ – \ \ i \]

\[ \Rightarrow z = \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ i }{ 1 \ \ + \ \ i } \]

\[ \Rightarrow z^{1996} = \left( \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ i }{ 1 \ \ + \ \ i } \right)^{1996} \]

\[ = \left[ \left( \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ i }{ 1 \ \ + \ \ i } \right)^{2} \right]^{998} \]

\[ = \left( \displaystyle \frac{ -2i }{ 2i } \right)^{998} = (-1)^{998} = 1 \]

$ \textbf{Antwort: E} $

AUFGABE 17

Wenn $ z = \displaystyle \frac{ 2i }{ 1 \ \ – \ \ i } $ gegeben ist, wie lautet das Ergebnis von $ z^{50} $?

\[ A) \ 1 \quad B) \ -2^{25} \quad C) \ 2^{25} \quad D) \ -2^{25}i \quad E) \ 2^{25}i \]

Lösung:

\[ z = \displaystyle \frac{ 2i }{ 1 \ \ – \ \ i } \Rightarrow z^{50} = \left( \frac{ 2i }{ 1 \ \ – \ \ i } \right)^{50} \]

\[ = \displaystyle \frac{ 2^{50} i^{50} }{ [(1 \ \ – \ \ i)^{2}]^{25} } \]

\[ = \displaystyle \frac{ -2^{50} }{ (-2i)^{25} } \]

\[ = \displaystyle \frac{ -2^{50} }{ -2^{25} \cdot i } = \frac{2^{25}}{i} = -2^{25}i \]

$ \textbf{Antwort: D} $