Identitäten der Summen- und Produkttransformation (Dönüşüm Formülleri)

 

1. Summen-Produkt-Formeln:

 

Unter der Annahme, dass \[ \left. \begin{array}{l} a + b = x \\ a \ – \ b = y \end{array} \right\} \Rightarrow a = \frac{x+y}{2} \ \text{ und} \ b = \frac{x-y}{2}\] gilt, erhält man durch Addition bzw. Subtraktion der Additionstheoreme:

\[ \begin{array} \cos(a + b) & = \cos a \cos b \ – \ \sin a \sin b \\ \pm \ \cos(a – b) & = \cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \hline \cos(a + b) & + \cos(a – b) = 2 \cos a \cos b \end{array} \]

Daraus ergibt sich die erste Identität:
\[ 1) \ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \]

Analog gilt:
\[ \cos(a + b) – \cos(a – b) = -2 \sin a \sin b \]
\[ 2) \ \cos x – \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \]

Für den Sinus gilt entsprechend:
\[ \begin{array} \sin(a + b) & = \sin a \cos b + \sin b \cos a \\ \pm \ \sin(a – b) & = \sin a \cos b – \sin b \cos a \\ \hline \sin(a + b) & + \sin(a – b) = 2 \sin a \cos b \end{array} \]
\[ 3) \ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \]

Sowie:
\[ \sin(a + b) – \sin(a – b) = 2 \sin b \cos a \]
\[ 4) \ \sin x – \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \]

Für den Tangens ergibt sich durch das Gleichnamigmachen der Nenner:
\[\tan x + \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y } \]
\[ = \frac{\sin x \cos y + \sin y \cos x}{\cos x \ \cos y} \]
\[ 5) \ \tan x + \tan y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \ \cos y} \]

Ersetzt man in Gleichung (5) die Variable \(y\) durch \(-y\), so folgt:
\[ 6) \ \tan x \ – \tan y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \ \cos y} \]

Für den Kotangens gilt gleichermaßen:
\[\cot x + \cot y = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y}\]
\[ = \frac{\cos x \sin y + \sin x \cos y} {\sin x \ \sin y} \]
\[ 7) \ \cot x + \cot y = \frac{\sin (x + y)} {\sin x \ \sin y} \]

Ersetzt man in Gleichung (7) die Variable \(y\) durch \(-y\), so folgt:
\[ 8) \ \cot x \ – \ \cot y = \frac{-\sin (x – y)}{\sin x \ \sin y} \]

 

Beispiel:

 

Berechnen Sie das Ergebnis des Terms \(\cos 72^\circ – \cos 36^\circ\) und bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes den exakten Wert von \(\sin 18^\circ\).

\[ = \cos 72^\circ – \cos 36^\circ\]
\[ = -2 \sin \frac{72^\circ + 36^\circ}{2} \cdot \sin \frac{72^\circ – 36^\circ}{2} \]
\[ = -2 \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ \]

Wir erweitern den Bruch mit \(\cos 18^\circ\), um die Doppelwinkelformeln nutzen zu können:
\[ = \frac{-2 \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} \]
\[ = -\frac{\cos 36^\circ \cdot \sin 36^\circ}{\cos 18^\circ} \]
\[ = -\frac{\frac{1}{2} \sin 72^\circ}{\sin 72^\circ} = -\frac{1}{2} \]

Nun bestimmen wir den Wert für \(\sin 18^\circ\):
\[ \cos 72^\circ – \cos 36^\circ = -\frac{1}{2} \]
Unter Ausnutzung der Komplementärwinkelbeziehung setzen wir \(\cos 72^\circ = \sin 18^\circ\):
\[ \Rightarrow \sin 18^\circ – \cos 36^\circ = -\frac{1}{2} \]
Mit dem Doppelwinkeltheorem \(\cos 2\theta = 1 – 2\sin^2\theta\) folgt:
\[ \Rightarrow \sin 18^\circ \ – \ (1 \ -\ 2 \sin^2 18^\circ) = -\frac{1}{2} \]
\[ \Rightarrow 4 \sin^2 18^\circ + 2 \sin 18^\circ – 1 = 0 \]

Substituiert man \( \sin 18^\circ = t \):
\[ \Rightarrow 4t^2 + 2t -1 = 0 \]
Über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) ergibt sich (da der Winkel im ersten Quadranten liegt, ist der Wert positiv):
\[ \Rightarrow t =\sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{ 5} }{4} \]

 

Beispiel:

 

In einem beliebigen Dreieck \(ABC\) suchen wir einen geschlossenen Ausdruck für das Verhältnis \[\frac{b+c}{b-c}\]
Durch Anwendung des Sinussatzes im Dreieck \(ABC\) gilt:
\[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]
\[\begin{array}{l} b = 2R \sin B \\ c = 2R \sin C \end{array} \]

Daraus ergibt sich durch Substitution:
\[ \frac{b + c}{b – c} = \frac{2R \sin B + 2R \sin C}{2R \sin B \ – \ 2R \sin C} \]
\[ = \frac{\sin B + \sin C}{\sin B \ -\ \sin C} \]

Durch Anwendung der Summen-Produkt-Formeln auf Zähler und Nenner erhalten wir:
\[ = \frac{2 \sin \frac{B + C}{2} \cdot \cos \frac{B – C}{2}}{2 \sin \frac{B – C}{2} \cdot \cos \frac{B + C}{2}} \]
\[ = \tan \frac{B + C}{2} \cdot \cot \frac{B – C}{2} \]
\[ = \frac{\tan \frac{B + C}{2}}{\tan \frac{B – C}{2}} \]

Dieser Zusammenhang ist in der Geometrie als der Tangenssatz bekannt.

 

Aufgabe 35

 

Berechnen Sie den exakten Wert des Terms: \(\cos 80^\circ + \cos 20^\circ + \sqrt{3} \cos 130^\circ\)

 

\[ A) -\cos 10^\circ \quad B) -\sin 10^\circ \quad C) \cos 10^\circ \quad D) \sin 10^\circ \quad E) 0 \]

 

Lösungsweg:

 

\[ \cos 80^\circ + \cos 20^\circ + \sqrt{3} \cos 130^\circ \]
Anwendung der Summenformel auf die ersten beiden Kosinusterme:
\[ = 2 \cos \frac{80^\circ + 20^\circ}{2} \cdot \cos \frac{80^\circ – 20^\circ}{2} \ – \ \sqrt{3} \cos 50^\circ \]
\[ = 2 \cos 50^\circ \cdot \cos 30^\circ \ – \ \sqrt{3} \cos 50^\circ \]
Da \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, folgt:
\[ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 50^\circ \ – \ \sqrt{3} \cos 50^\circ = 0 \]

 

\( \text{Richtige Antwort: E} \)

 

Aufgabe 36

 

Unter der Bedingung \(10x = \pi\), bestimmen Sie den Wert des folgenden rationalen Ausdrucks:
\[ \frac{\cos 7x + \cos 5x}{\cos 5x + \cos 3x} \]

 

\[ A) \ 1 \quad B) \ -1 \quad C) \ 2 \quad D) \ -2 \quad E) \ \frac{1}{2} \]

 

Lösungsweg:

 

Wir wenden die Summen-Produkt-Identitäten an:
\[ \frac{\cos 7x + \cos 5x}{\cos 5x + \cos 3x} = \frac{2 \cos \frac{7x+5x}{2} \cdot \cos \frac{7x-5x}{2}}{2 \cos \frac{5x+3x}{2} \cdot \cos \frac{5x-3x}{2}} \]
\[ = \frac{\cos 6x \cdot \cos x}{\cos 4x \cdot \cos x} = \frac{\cos 6x}{\cos 4x} \]

Aus \(10x = \pi\) folgt \(6x + 4x = \pi \implies 6x = \pi – 4x\). Mithilfe des Supplementenwinkels gilt:
\[ = \frac{\cos (\pi – 4x)}{\cos 4x} = \frac{-\cos 4x}{\cos 4x} = -1 \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

Aufgabe 37

 

Vereinfachen Sie den folgenden Term:
\[ \frac{\cos 75^\circ + \cos 15^\circ}{\cos 75^\circ – \cos 15^\circ} \]

 

\[ A) \ -\sqrt{3} \quad B) \ \sqrt{3} \quad C) \ -\frac{1}{2} \quad D) \ \frac{1}{2} \quad E) \ -2 \]

 

Lösungsweg:

 

Unter Verwendung der Umwandlung in Produkte:
\[ \frac{\cos 75^\circ + \cos 15^\circ}{\cos 75^\circ – \cos 15^\circ} \]
\[ = \frac{2 \cos \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \cos \frac{75^\circ – 15^\circ}{2}}{-2 \sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \sin \frac{75^\circ – 15^\circ}{2}} \]
\[= -\frac{\cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ }{\sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ } = -\cot 45^\circ \cdot \cot 30^\circ \]
\[ = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3} \]

*(Hinweis: Das Ergebnis lautet mathematisch exakt \(-\sqrt{3}\). In den originalen Antwortoptionen liegt hierzu ein formaler Druckfehler in den Antwortbuchstaben vor).*

 

\( \textbf{Richtige Antwort: A} \)

 

Aufgabe 38

 

Gegeben sei \(20x = \pi\). Berechnen Sie den Wert des Terms:
\[ \frac{\cos 4x \ – \ \cos 8x}{\cos 4x \cdot \cos 8x} \]

 

\[ A) \ \frac{1}{2} \quad B) \ -1 \quad C) \ 1 \quad D) \ -2 \quad E) \ 2 \]

 

Lösungsweg:

 

Zunächst transformieren wir den Zähler in ein Produkt:
\[ \frac{\cos 4x – \cos 8x}{\cos 4x \cdot \cos 8x} = \frac{-2 \sin \frac{4x + 8x}{2} \cdot \sin \frac{4x – 8x}{2}}{\cos 4x \cdot \cos 8x} \]
\[ = \frac{-2 \sin 6x \cdot \sin (-2x)}{\cos 4x \cdot \cos 8x} = \frac{2 \sin 6x \cdot \sin 2x}{\cos 4x \cdot \cos 8x} \]

Aus \(20x = \pi\) folgt \(10x = \frac{\pi}{2}\). Demnach nutzen wir die Komplementärbeziehungen \(\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} – \theta)\):
Es gilt \(\cos 4x = \cos(\frac{\pi}{2} – 6x) = \sin 6x\) und \(\cos 8x = \cos(\frac{\pi}{2} – 2x) = \sin 2x\).
Setzt man dies ein, erhält man:
\[ = \frac{2 \sin 6x \cdot \sin 2x}{\sin 6x \cdot \sin 2x} = 2 \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: E} \)

Aufgabe 39

 

Welcher Ausdruck entspricht der folgenden algebraischen Fraktion?
\[ \frac{\sin (a + b \,- \, c) + \sin (a \, – \, b + c)}{\cos (a + b\, – \,c) + \cos (a \,- \,b + c)} \]

 

\[ A) \ 1 \quad B) \ \tan (b – c) \quad C) \ \cot (b – c) \quad D) \ \tan a \quad E) \ \cot a \]

 

Lösungsweg:

 

Wir substituieren:
\[ \left. \begin{array} a + b \,-\, c = x \\ a \,-\, b + c = y \end{array} \right \} \Rightarrow \frac{x+y}{2} = a \] und \[ \Rightarrow \frac{x-y}{2} = b \;- c \]

Durch Einsetzen in den Ausgangsterm ergibt sich:
\[ \frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{2 \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x\;-y}{2}}{2 \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x\;-y}{2}} \]
\[ = \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: D} \)

 

Aufgabe 40

 

Berechnen Sie das Ergebnis des folgenden trigonometrischen Ausdrucks:
\[ \sin 50^\circ \; – \; \frac{\cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} \]

 

\[ A) \ 3 \quad B) \ 2 \quad C) \ \frac{1}{2} \quad D) \ -2 \quad E) \ -\frac{1}{2} \]

 

Lösungsweg:

 

Nenner gleichnamig machen:
\[ \sin 50^\circ – \frac{\cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{\sin^2 50^\circ – \cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} \]
Ersetzt man \(\sin^2 50^\circ\) durch \(\cos^2 40^\circ\) (Komplementärwinkel), lässt sich der Zähler als Binom (Differenz zweier Quadrate) faktorisieren:
\[ = \frac{\cos^2 40^\circ – \cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{(\cos 40^\circ – \cos 10^\circ)(\cos 40^\circ + \cos 10^\circ)}{\sin 50^\circ} \]

Nun wenden wir die Summen-Produkt-Formeln auf beide Faktoren im Zähler an:
\[ = \frac{(-2 \sin 25^\circ \cdot \sin 15^\circ) \cdot (2 \cos 25^\circ \cdot \cos 15^\circ)}{\sin 50^\circ} \]
Durch geschicktes Umstellen nutzen wir die Identität \(2\sin 25^\circ\cos 25^\circ = \sin 50^\circ\) zur Kürzung:
\[ = \frac{-2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot (\sin 50^\circ)}{\sin 50^\circ} \]
\[ = -2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

Aufgabe 41

 

Bestimmen Sie das Ergebnis des folgenden Terms:
\[ \frac{1}{\sin 54^\circ} \; – \; \frac{1}{\cos 72^\circ} \]

 

\[ A) \ 0 \quad B) \ -1 \quad C) \ 1 \quad D) \ -2 \quad E) \ 2 \]

 

Lösungsweg:

 

Zuerst machen wir die Nenner gleichnamig:
\[ \frac{1}{\sin 54^\circ} \; – \frac{1}{\cos 72^\circ} = \frac{\cos 72^\circ – \sin 54^\circ}{\sin 54^\circ \cdot \cos 72^\circ} \]
Unter Verwendung der Komplementärwinkel setzen wir \(\cos 72^\circ = \sin 18^\circ\) und \(\sin 54^\circ = \cos 36^\circ\) ein:
\[ = \frac{\sin 18^\circ – \sin 54^\circ}{\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ} \]

Wir wenden das Umwandlungstheorem im Zähler an:
\[ = \frac{2 \cos \left( \frac{18^\circ + 54^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{18^\circ – 54^\circ}{2} \right)}{\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ} \]
\[ = \frac{2 \cos 36^\circ \cdot \sin (-18^\circ)}{\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ} \]
Wegen \(\sin(-18^\circ) = -\sin 18^\circ\) lässt sich der Bruch vollständig kürzen:
\[ = \frac{-2 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ}{\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ} = -2 \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: D} \)

 

Aufgabe 42

 

Vereinfachen Sie den folgenden rationalen Ausdruck:
\[ \frac{\sin 6^\circ + \sin 12^\circ + \sin 18^\circ}{1 + \cos 6^\circ + \cos 12^\circ} \]

 

\[ A) \ 2 \sin 6^\circ \quad B) \ -2 \sin 6^\circ \quad C) \ -1 \quad D) \ 1 \quad E) \ 2 \]

 

Lösungsweg:

 

Wir gruppieren den Zähler um und wenden im Nenner das Doppelwinkeltheorem an (\(\cos 12^\circ = 2\cos^2 6^\circ – 1\)):
\[ = \frac{(\sin 18^\circ + \sin 6^\circ) + \sin 12^\circ}{1 + \cos 6^\circ + (2 \cos^2 6^\circ – 1)} \]
Transformation der Klammer im Zähler in ein Produkt:
\[ = \frac{2 \sin 12^\circ \cdot \cos 6^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 6^\circ + 2 \cos^2 6^\circ} \]
Ausklammern der gemeinsamen Faktoren:
\[ = \frac{\sin 12^\circ (2 \cos 6^\circ + 1)}{\cos 6^\circ (1 + 2 \cos 6^\circ)} = \frac{\sin 12^\circ}{\cos 6^\circ} \]
Mit der Doppelwinkelformel \(\sin 12^\circ = 2\sin 6^\circ\cos 6^\circ\) folgt schließlich:
\[ = \frac{2 \sin 6^\circ \cdot \cos 6^\circ}{\cos 6^\circ} = 2 \sin 6^\circ \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: A} \)

 

Aufgabe 43

 

Es sei \(A = \cos 9x + \cos 7x + \cos 3x + \cos x\). Welchen Wert nimmt der folgende Bruch an?
\[ \frac{A}{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x} \]

 

\[ A) \ 1 \quad B) \ 2 \quad C) \ 3 \quad D) \ 4 \quad E) \ 5 \]

 

Lösungsweg:

 

Wir bilden Paare im Summenterm \(A\) und formen diese in Produkte um:
\[ A = (\cos 9x + \cos 7x) + (\cos 3x + \cos x) \]
\[ = 2 \cos 8x \cdot \cos x + 2 \cos 2x \cdot \cos x \]
\[ = 2 \cos x \cdot (\cos 8x + \cos 2x) \]
Erneute Produkttransformation innerhalb der Klammer:
\[ = 2 \cos x \cdot (2 \cos 5x \cdot \cos 3x) = 4 \cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x \]

Eingesetzt in den Gesamtausdruck ergibt sich durch Kürzen:
\[ \frac{4 \cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x}{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x} = 4 \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: D} \)

 

Aufgabe 44

 

Sadeaktivieren bzw. vereinfachen Sie den folgenden Bruch maximal:
\[ \frac{\cos 12x + \cos 8x + \cos 4x}{\sin 12x + \sin 8x + \sin 4x} \]

 

\[ A) 1 \quad B) \tan 10x \quad C) \cot 10x \quad D) \tan 8x \quad E) \cot 8x \]

 

Lösungsweg:

 

Wir sortieren die Terme im Zähler und Nenner nach den äußeren Winkeln:
\[ = \frac{(\cos 12x + \cos 4x) + \cos 8x}{(\sin 12x + \sin 4x) + \sin 8x} \]
Anwendung der Umwandlungsformeln auf die Klammern:
\[ = \frac{2 \cos 8x \cdot \cos 4x + \cos 8x}{2 \sin 8x \cdot \cos 4x + \sin 8x} \]
Ausklammern von \(\cos 8x\) bzw. \(\sin 8x\) führt zur Vereinfachung:
\[ = \frac{\cos 8x (2 \cos 4x + 1)}{\sin 8x (2 \cos 4x + 1)} = \frac{\cos 8x}{\sin 8x} = \cot 8x \]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

Wichtiger Hinweis (Satz für arithmetische Folgen von Winkeln):

 

Für Brüche der Form \[ \frac{\cos A + \cos B + \cos C}{\sin A + \sin B + \sin C} \] gilt:
Wenn die Winkel eine arithmetische Folge bilden, also \( B = \frac{A + C}{2} \) erfüllt ist, vereinfacht sich der gesamte Ausdruck stets zu \(\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B} = \cot B \).

 

Aufgabe 45

 

Vereinfachen Sie den folgenden komplexen trigonometrischen Bruch:
\[ \frac{\sin 50^\circ + \cos 55^\circ + \cos 70^\circ}{\cos 50^\circ + \sin 55^\circ + \sin 70^\circ} \]

 

\[ A) \cot 50^\circ \quad B) \cot 55^\circ \quad C) \tan 50^\circ \quad D) \tan 55^\circ \quad E) 1 \]

 

Lösungsweg:

 

Zunächst transformieren wir \(\sin 50^\circ\) und \(\cos 50^\circ\) über ihre Komplementärwinkel:
\[ = \frac{\cos 40^\circ + \cos 55^\circ + \cos 70^\circ}{\sin 40^\circ + \sin 55^\circ + \sin 70^\circ} \]
Da die Winkelkonstellation die Bedingung \( 55^\circ = \displaystyle\frac{40^\circ + 70^\circ}{2} \) erfüllt, lässt sich die obige Regel direkt anwenden:
\[ = \frac{\cos 55^\circ}{\sin 55^\circ} = \cot 55^\circ \]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

Aufgabe 46

 

Gegeben ist die Beziehung \( 14x = \pi \). Welchen Wert besitzt der Ausdruck?
\[ \frac{\tan 7x + \tan 3x}{\tan 7x \; – \; \tan 3x} \]

 

\[ A) \ 1 \quad B) \ -1 \quad C) -2 \quad D) \ 2 \quad E) \frac{1}{2} \]

 

Lösungsweg:

 

Wir verwenden die Identitäten für die Summe und Differenz zweier Tangenten (Identitäten 5 und 6):
\[ \frac{\tan 7x + \tan 3x}{\tan 7x \; – \; \tan 3x} = \frac{\displaystyle\frac{\sin (7x + 3x)}{\cos 7x \cdot \cos 3x}}{\displaystyle\frac{\sin (7x \; – \; 3x)}{\cos 7x \cdot \cos 3x}} \]
Die Nenner der Teilbrüche kürzen sich heraus:
\[ = \frac{\sin 10x}{\sin 4x} \]
Wegen \(14x = \pi \implies 10x = \pi – 4x\) gilt aufgrund des Supplementenwinkels \(\sin(\pi – 4x) = \sin 4x\):
\[ = \frac{\sin (\pi \; – \; 4x)}{\sin 4x} = \frac{\sin 4x}{\sin 4x} = 1 \]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: A} \)

 

Aufgabe 47

 

Unter der Voraussetzung \(16x = \pi\), bestimmen Sie den Wert von:
\(\tan 6x \; – \; \tan 2x\)

 

\[ A) \ \frac{1}{2} \quad B) -\frac{1}{2} \quad C) \ 2 \quad D) -2 \quad E) \ 4 \]

 

Lösungsweg:

 

Anwendung des Identitätstheorems für die Differenz von Tangenten:
\[ \tan 6x \; – \; \tan 2x = \frac{\sin (6x – 2x)}{\cos 6x \cdot \cos 2x} = \frac{\sin 4x}{\cos 6x \cdot \cos 2x} \]
Wir expandieren den Zähler mittels der Doppelwinkelformel \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\):
\[ = \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos 6x \cdot \cos 2x} = \frac{2 \sin 2x}{\cos 6x} \]

Da \(16x = \pi \implies 8x = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) gilt, ist \(2x = \frac{\pi}{2} – 6x\). Einsetzen der Komplementärbeziehung liefert:
\[ = \displaystyle\frac{2 \sin \left( \frac{\pi}{2} \; – \; 6x \right)}{\cos 6x} = \frac{2 \cos 6x}{\cos 6x} = 2 \]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

 

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