Die \( n \)-ten Wurzeln komplexer Zahlen

 

Es seien \( z \in \mathbb{C} \) und \( n \in \mathbb{Z}^+ \).

Wir bezeichnen die \( n \)-ten Wurzeln der komplexen Zahl \( z \) mit \( w_k \). In diesem Fall gilt \( w = \sqrt[n]{z} \Leftrightarrow w^n = z \).

Die Lösungen dieser Gleichung heißen die \( n \)-ten Wurzeln der komplexen Zahl \( z \).

Um diese Wurzeln zu bestimmen, schreiben wir die komplexe Zahl \( z \) in Polarform und verwenden den Satz von De Moivre.

\( w^n = z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \)

\( \Rightarrow w_k^n = z = |z|[\cos(\theta + 2k\pi) + i \sin(\theta + 2k\pi)] \)

\( \Rightarrow w_k = z^{\frac{1}{n}} = |z|^{\frac{1}{n}}[\cos(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + i \sin(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n})] \)

Daraus ergibt sich:

\( w_k = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \cdot [\cos(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + i \sin(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n})] \)

wobei \( k = 0, 1, 2, 3, \dots, n \ – \ 1 \) gilt.

Hieraus ist ersichtlich, dass eine komplexe Zahl genau \( n \) verschiedene \( n \)-te Wurzeln besitzt. Die Beträge dieser Wurzeln sind alle identisch und betragen \( \sqrt[n]{|z|} \). Die Argumente der Wurzeln lauten:

\( \arg(\sqrt[n]{z}) = \displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n} \)

Für \( k = 0 \): \( \displaystyle\frac{\theta}{n} \)

Für \( k = 1 \): \( \displaystyle\frac{\theta + 2\pi}{n} \)

Für \( k = 2 \): \( \displaystyle\frac{\theta + 4\pi}{n} \)

…………………………………..
…………………………………..

Für \( k = n \ – \ 1 \): \( \displaystyle\frac{\theta + 2(n \ – \ 1)\pi}{n} \)

Demnach liegen die geometrischen Darstellungen der \( n \)-ten Wurzeln einer komplexen Zahl \( z \) in der komplexen Zahlenebene gleichmäßig verteilt auf einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius \( \sqrt[n]{|z|} \).

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die sechsten Wurzeln der komplexen Zahl \( z = 32 + 32\sqrt{3}\,i \).

\( w^6 = z = 64(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \)

\( \Rightarrow w_k^6 = z = 64 \text{ cis }(60^\circ + k \cdot 360^\circ) \)

\( \Rightarrow w_k = \sqrt[6]{z} = \sqrt[6]{64} \text{ cis }(\displaystyle\frac{60^\circ + k \cdot 360^\circ}{6}) \)

Somit gilt:

Für \( k = 0 \): \( w_0 = 2(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ) \)

Für \( k = 1 \): \( w_1 = 2(\cos 70^\circ + i \sin 70^\circ) \)

Für \( k = 2 \): \( w_2 = 2(\cos 130^\circ + i \sin 130^\circ) \)

Für \( k = 3 \): \( w_3 = 2(\cos 190^\circ + i \sin 190^\circ) \)

Für \( k = 4 \): \( w_4 = 2(\cos 250^\circ + i \sin 250^\circ) \)

Für \( k = 5 \): \( w_5 = 2(\cos 310^\circ + i \sin 310^\circ) \)

Die Bildpunkte der Wurzeln sind in gleichmäßigen Abständen auf einem Kreis mit dem Radius 2 um den Ursprung angeordnet. Diese Punkte bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Schwerpunkt im Ursprung liegt.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die vierten Wurzeln der Zahl \( z = \ – \ 16 \).

\( w^4 = z = 16(\cos 180^\circ + i \sin 180^\circ) \)

\( \Rightarrow w_k = \sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{16} \text{ cis }(\displaystyle\frac{180^\circ + k \cdot 360^\circ}{4}) \)

Für \( k = 0 \) ergibt sich \( w_0 = 2(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \).

Da die Bildpunkte der Wurzeln gleichmäßig auf einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius 2 verteilt sind, sind die zugehörigen Mittelpunktswinkel jeweils identisch und betragen \( \displaystyle\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \).

Daraus folgt:

\[ \text{Arg}(w_1) = \text{Arg}(w_0) + 90^\circ = 135^\circ \]

\[ \text{Arg}(w_2) = \text{Arg}(w_1) + 90^\circ = 225^\circ \]

\[ \text{Arg}(w_3) = \text{Arg}(w_2) + 90^\circ = 315^\circ \]

Demnach lauten die weiteren Wurzeln:

\[ w_1 = 2(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ) \]

\[ w_2 = 2(\cos 225^\circ + i \sin 225^\circ) \]

\[ w_3 = 2(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ) \]

Die Bildpunkte der Wurzeln bilden die Eckpunkte eines Quadrats mit dem Schwerpunkt im Ursprung.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Kubikwurzeln der komplexen Zahl \( z = \ – \ \displaystyle\frac{27\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{27\sqrt{2}}{2}\,i \).

\( w^3 = z = 27(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ) = 27 \text{ cis } 135^\circ \)

\( \Rightarrow w_k = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{27} \text{ cis }(\displaystyle\frac{135^\circ + k \cdot 360^\circ}{3}) \)

\( \Rightarrow \) Für \( k = 0 \): \( w_0 = 3(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) = 3 \text{ cis } 45^\circ \).

\( \text{Arg}(w_1) = \text{Arg}(w_0) + \displaystyle\frac{360^\circ}{3} = 165^\circ \)

\( \text{Arg}(w_2) = \text{Arg}(w_1) + \displaystyle\frac{360^\circ}{3} = 285^\circ \).

Demnach lauten die weiteren Wurzeln:

\( w_1 = 3(\cos 165^\circ + i \sin 165^\circ) = 3 \text{ cis } 165^\circ \)

\( w_2 = 3(\cos 285^\circ + i \sin 285^\circ) = 3 \text{ cis } 285^\circ \)

Die Bildpunkte der Wurzeln bilden die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Schwerpunkt im Ursprung.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Kubikwurzeln der komplexen Zahl \( z = 8i \).

\( w^3 = z = 8(\cos 90^\circ + i \sin 90^\circ) \)

\( \Rightarrow w_k = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{8} \text{ cis }(\displaystyle\frac{90^\circ + k \cdot 360^\circ}{3}) \)

\( \Rightarrow \) Für \( k = 0 \): \( w_0 = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) \).

\( \text{Arg}(w_1) = \text{Arg}(w_0) + 120^\circ = 150^\circ \)

\( \text{Arg}(w_2) = \text{Arg}(w_1) + 120^\circ = 270^\circ \).

Demnach lauten die weiteren Wurzeln:

\( w_1 = 2(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ) \)

\( w_2 = 2(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ) \)

Die Bildpunkte der Wurzeln bilden die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Schwerpunkt im Ursprung.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahl \( z = 1 + \sqrt{3}\,i \).

\( w^2 = z = 2(\cos\displaystyle\frac{\pi}{3} + i \sin\displaystyle\frac{\pi}{3}) \)

\( \Rightarrow w_k = \sqrt{z} = \sqrt{2}[\cos(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2}) + i \sin(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2})] \)

Für \( k = 0 \): \( w_0 = \sqrt{2}(\cos\displaystyle\frac{\pi}{6} + i \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}) \)

\( = \sqrt{2}(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle\frac{1}{2}\,i) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3} + i) \)

Für \( k = 1 \): \( w_1 = \sqrt{2}[\cos(\displaystyle\frac{\pi}{6} + \pi) + i \sin(\displaystyle\frac{\pi}{6} + \pi)] \)

\( = \sqrt{2}(\ – \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ – \ \displaystyle\frac{1}{2}\,i) = \ – \ \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3} + i) \)

Hierbei wird deutlich, dass die Quadratwurzeln entgegengesetzte Vorzeichen aufweisen (\( w_1 = \ – \ w_0 \)).

Fazit:

 

Die Quadratwurzeln einer komplexen Zahl \( z = |z|(\cos\theta + i \sin\theta) \) lauten:

\( w_0 = \sqrt{|z|}(\cos\displaystyle\frac{\theta}{2} + i \sin\displaystyle\frac{\theta}{2}) \)

\( w_1 = \ – \ w_0 = \sqrt{|z|}[\cos(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi) + i \sin(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi)] \)

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahl \( z = \ – \ 9i \).

Es gilt \( |z| = 9 \) und \( \text{Arg}(z) = \displaystyle\frac{3\pi}{2} \).

\( w_0 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2}) \Rightarrow w_0 = 3 \text{ cis } \displaystyle\frac{3\pi}{4} \)

\( w_1 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi) \Rightarrow w_1 = 3 \text{ cis } \displaystyle\frac{7\pi}{4} \)

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahl \( z = \ – \ 1 \ – \ \sqrt{3}\,i \).

Es gilt \( |z| = 2 \) und \( \text{Arg}(z) = 240^\circ \).

\( w_0 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2}) \Rightarrow w_0 = \sqrt{2} \text{ cis } 120^\circ \)

\( w_1 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2} + 180^\circ) \Rightarrow w_1 = \sqrt{2} \text{ cis } 300^\circ \)

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahl \( z = \ – \ 5 + 12i \).

Um diese komplexe Zahl in Polarform darzustellen, müssten die entsprechenden Werte mithilfe einer trigonometrischen Tabelle ermittelt werden. Daher bestimmen wir die Quadratwurzeln algebraisch, ohne die Zahl zuvor in Polarform umzurechnen.

Es sei \( w = \sqrt{z} = x + yi \).

\( w^2 = z \Rightarrow (x + yi)^2 = \ – \ 5 + 12i \)

\( \Rightarrow x^2 \ – \ y^2 + 2xyi = \ – \ 5 + 12i \)

\( \Rightarrow x^2 \ – \ y^2 = \ – \ 5 \) und \( 2xy = 12 \)

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhalten wir:

\( x_1 = 2 \) und \( y_1 = 3 \) sowie \( x_2 = \ – \ 2 \) und \( y_2 = \ – \ 3 \).

Somit ergeben sich die Lösungen:

\( w_1 = 2 + 3i \) und \( w_2 = \ – \ 2 \ – \ 3i \).

 

AUFGABE 38

 

Gegeben sei \( |z| = 1 \). Welche der folgenden komplexen Zahlen ist eine Lösung der Gleichung \( z^{20} \ – \ z^{10} \ – \ 2 = 0 \)?

\[ A) \cos 36^\circ + i \sin 36^\circ \] \[ B) \cos 20^\circ + i \sin 20^\circ \] \[ C) \cos 18^\circ + i \sin 18^\circ \] \[ D) \cos 10^\circ + i \sin 10^\circ \] \[ E) \cos 9^\circ + i \sin 9^\circ \]

 

Lösung:

 

\( z^{20} \ – \ z^{10} \ – \ 2 = 0 \Rightarrow (z^{10} + 1)(z^{10} \ – \ 2) = 0 \)

\( \Rightarrow z^{10} = \ – \ 1 \) oder \( z^{10} = 2 \)

Da \( |z| = 1 \) vorgegeben ist, folgt:

\( \Rightarrow z^{10} = \ – \ 1 = \cos 180^\circ + i \sin 180^\circ \)

\( \Rightarrow z = \text{ cis }(\displaystyle\frac{180^\circ + k \cdot 360^\circ}{10}) \)

Für \( k = 0 \) lautet eine der Wurzeln:

\( w = \cos 18^\circ + i \sin 18^\circ \)

 

\( \textbf{Antwort: C} \)