Potenzen der imaginären Einheit

 

Für jede ganze Zahl \( n \in \mathbb{Z} \) verhalten sich die Potenzen der imaginären Einheit i periodisch wie folgt:

\[ \begin{array}{|l|l|l|}
\hline
\text{Spalte 1} & \text{Spalte 2} & \text{Spalte 3} \\
\hline
i = \sqrt{-1} & i^5 = i^4 \cdot i = i & i^{4n+1} = i \\
\hline
i^2 = -1 & i^6 = i^4 \cdot i^2 = -1 & i^{4n+2} = -1 \\
\hline
i^3 = i^2 \cdot i = -i & i^7 = i^4 \cdot i^3 = -i & i^{4n+3} = -i \\
\hline
i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1 & i^8 = i^4 \cdot i^4 = 1 & i^{4n+4} = 1 \\
\hline
\end{array} \]

\[ \vdots \]
\[ i^{4n} = (i^4)^n = 1 \]

Daraus lässt sich folgern:

\[ n \equiv m \pmod{4} \Rightarrow i^n = i^m \]

Um eine beliebige Potenz von i zu berechnen, bestimmt man einfach den Rest des Exponenten bei der Division durch 4 und verwendet diesen als neuen Exponenten.

 

Beispiele:

 

• Berechnen Sie \( i^{74} \):
  \[ 74 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow i^{74} = i^2 = -1 \]

 

• Berechnen Sie \( i^{1996} \):
  \[ 1996 \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow i^{1996} = i^0 = 1 \] (Hinweis: Jede Zahl ungleich Null hoch 0 ergibt 1).

 

• Berechnen Sie \( i^{-17} \):
  \[ -17 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{-17} = i^3 = -i \]

 

• Berechnen Sie \( i^{-103} \):
  \[ -103 \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow i^{-103} = i^1 = i \]

Beispiel:

 

Finden Sie einen der x-Werte, die die Gleichung \( (x + i^{19})^{99} = -i \) erfüllen.

Da \( 19 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{19} = i^3 = -i \), vereinfacht sich die Gleichung zu:

\[ (x + i^{19})^{99} = -i \Rightarrow (x – i)^{99} = -i \]

Da \( 99 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{99} = i^3 = -i \) gilt, setzen wir $i^{99}$ anstelle von $-i$ ein:

\[ \Rightarrow (x – i)^{99} = i^{99} \]
\[ \Rightarrow x – i = i \Rightarrow x = 2i \]

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl \( z = i + i^2 + i^3 + \dots + i^{49} + i^{50} \).

Da die Summe von vier aufeinanderfolgenden Potenzen von $i$ immer Null ergibt, gruppieren wir die Terme:

\[ \begin{array}{ccccc}
i^1 = i & i^5 = i & \dots & i^{45} = i & i^{49} = i \\
i^2 = -1 & i^6 = -1 & \dots & i^{46} = -1 & + \, i^{50} = -1 \\
i^3 = -i & i^7 = -i & \dots & i^{47} = -i & \\
+ \, i^4 = 1 & + \, i^8 = 1 & \dots & + \, i^{48} = 1 & \\
\hline & \hline &\hline &\hline & \\
0 & 0 & \dots & 0 & -1 + i
\end{array} \]

Daraus folgt \( z = -1 + i \). Somit ist \( \mathrm{Re}(z) = -1 \) und \( \mathrm{Im}(z) = 1 \).

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie den Imaginärteil der komplexen Zahl \( z = i^{-1} + i^{-2} + i^{-3} + \dots + i^{-50} \).

Wir multiplizieren und dividieren den Ausdruck \( z \) mit \( i^{50} \):

\[ z = \displaystyle \frac{i^{50} ( i^{-1} + i^{-2} + i^{-3} + \dots + i^{-50} )}{i^{50}} \]
\[ = \displaystyle \frac{i^{49} + i^{48} + i^{47} + \dots + i^0}{i^2} \]
\[ = \displaystyle \frac{i^0 + i^1 + i^2 + i^3 + i^4 + \dots + i^{48} + i^{49}}{-1} \]

Da die Summe von $i^0$ bis $i^{47}$ genau 12 vollständige Zyklen mit der Summe 0 bildet, verbleiben im Zähler nur $i^{48}$ und $i^{49}$:

\[ z = \frac{1 + i}{-1} = -1 – i \]

Somit erhalten wir \( \mathrm{Im}(z) = -1 \).

 

AUFGABE 2

 

Welchen Wert hat der Imaginärteil der komplexen Zahl \( z = i – i^3 + i^5 – i^7 + \dots + i^{97} – i^{99} \)?

\[ A) \ 25 \quad B) \ – \ 25 \quad C) \ 50 \quad D) \ -50 \quad E) \ 0 \]

 

Lösung:

 

\[ z = i – i^3 + i^5 – i^7 + \dots + i^{97} – i^{99} \]
\[ = i – (-i) + i – (-i) + \dots + i – (-i) \]
\[ = 2i + 2i + \dots + 2i \]

Da es sich hierbei um genau 25 identische Termpaare handelt, folgt:

\[ = 25 \cdot 2i = 50i \]

Daraus ergibt sich \( \mathrm{Im}(z) = 50 \).

\[ \textbf{Antwort: C} \]

 

AUFGABE 3

 

Welchen Wert hat der Imaginärteil der komplexen Zahl \( z = \displaystyle \frac{i^{-98} + i^{-99}}{i^{-100} + i^{-101}} \)?

\[ A) \ – \ 2 \quad B) \ – \ 1 \quad C) \ 0 \quad D) \ 1 \quad E) \ 2 \]

 

Lösung:

 

Wir erweitern den Bruch mit \( i^{101} \):

\[ z = \displaystyle \frac{i^{-98} + i^{-99}}{i^{-100} + i^{-101}} = \displaystyle \frac{i^{101} ( i^{-98} + i^{-99} )}{i^{101} ( i^{-100} + i^{-101} )} \]
\[ = \displaystyle \frac{i^3 + i^2}{i^1 + i^0} = \displaystyle \frac{- i \ – \ 1}{i + 1} = \frac{-(i + 1)}{i + 1} = -1 \]

Da $z = -1$ eine rein reelle Zahl ist, folgt für den Imaginärteil: \( \mathrm{Im}(z) = 0 \).

\[ \textbf{Antwort: C} \]