Theoreme für das Dreifache eines Winkels (Dreifachwinkel-Formeln)
Ersetzt man in dem Additionstheorem \(\sin (a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a\) die Variable \(b\) durch \(2a\), so erhält man:
\[ 1) \ \sin 3a = 3 \sin a – 4 \sin^3 a \]
Ersetzt man in dem Additionstheorem \(\cos (a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b\) die Variable \(b\) durch \(2a\), so erhält man:
\[ 2) \ \cos 3a = 4 \cos^3 a – 3 \cos a \]
Ersetzt man in dem Additionstheorem:
\[ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b} \]
die Variable \(b\) durch \(2a\), so folgt daraus:
\[ 3) \ \tan 3a = \frac{3 \tan a – \tan^3 a}{1 – 3 \tan^2 a} \]
Beispiel:
Es sei \(\tan a = \frac{4}{3}\). Bestimmen Sie den Wert von \(\cos 3a\).
Aus \(\tan a = \frac{4}{3}\) folgt mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks \(\cos a = \frac{3}{5}\). Demnach gilt:
\[ \cos 3a = 4 \cos^3 a – 3 \cos a \]
\[ = 4 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^3 – 3 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{117}{125} \]
Aufgabe 34
Gegeben ist \(\cos 7^\circ = a\). Welcher der folgenden Ausdrücke entspricht dem Term \(\sin 69^\circ + 3 \sin 83^\circ\) in Abhängigkeit von \(a\)?
\[ A) -3a \quad B) -4a^3 \quad C) 4a^3 \quad D) 3a \quad E) a^3 \]
Lösungsweg:
Unter Verwendung der Komplementärwinkel-Beziehungen \(\sin \theta = \cos(90^\circ – \theta)\) ergibt sich:
\[ \sin 69^\circ + 3 \sin 83^\circ = \cos 21^\circ + 3 \cos 7^\circ \]
Da \(21^\circ = 3 \cdot 7^\circ\) entspricht, lässt sich das Theorem für das Dreifache des Winkels auf \(\cos 21^\circ\) anwenden:
\[ = (4 \cos^3 7^\circ – 3 \cos 7^\circ) + 3 \cos 7^\circ \]
\[ = 4 \cos^3 7^\circ = 4a^3 \]
\(\text{Richtige Antwort: C} \)