Operationen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung

 

 

1. Addition und Subtraktion:

 

Bei der Addition oder Subtraktion von komplexen Zahlen in Polardarstellung gilt Folgendes:

a) Wenn die Beträge dieser komplexen Zahlen gleich sind, kann die Addition oder Subtraktion mithilfe von trigonometrischen Umformungsformeln (Summen-Produkt-Formeln) durchgeführt werden.

b) Wenn die Beträge dieser komplexen Zahlen unterschiedlich sind, werden die komplexen Zahlen zuerst in die algebraische Form \( (z = x + yi) \) umgeschrieben, um die Addition oder Subtraktion durchzuführen.

 

Beispiel:

 

Seien \( z_1 = 3(\cos 72^\circ + i \sin 72^\circ) \) und \( z_2 = 3(\cos 18^\circ + i \sin 18^\circ) \). Wir wollen die Summe \( z_1 + z_2 \) berechnen.

Zusammenfassen der Terme:
\[ z_1 + z_2 = 3[\cos 72^\circ + \cos 18^\circ + i(\sin 72^\circ + \sin 18^\circ)] \]

Anwendung der Summen-Produkt-Formeln:
\[ = 3(2 \cos 45^\circ \cos 27^\circ + i \, 2 \sin 45^\circ \cos 27^\circ) \]
\[ = 3 \cdot 2 \cos 27^\circ (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \]
\[ = 6 \cos 27^\circ \left( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + i \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \]
\[ = 3\sqrt{2} \cos 27^\circ (1 + i) \]

 

Beispiel:

 

Seien \( z_1 = \cos 20^\circ + i \sin 20^\circ \) und \( z_2 = \cos 10^\circ + i \sin 10^\circ \). Wir wollen die Differenz \( z_1 – z_2 \) berechnen.

\[ z_1 \ – \ z_2 = (\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ) \ – \ (\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ) \]
\[ = \cos 20^\circ – \cos 10^\circ + i(\sin 20^\circ – \sin 10^\circ) \]

Anwendung der Summen-Produkt-Formeln:
\[ = -2 \sin 15^\circ \sin 5^\circ + i \, 2 \cos 15^\circ \sin 5^\circ \]
\[ = 2 \sin 5^\circ (-\sin 15^\circ + i \cos 15^\circ) \]
\[ = 2 \sin 5^\circ [\sin(-15^\circ) + i \cos(-15^\circ)] \]
\[ = 2 \sin 5^\circ [\cos(90^\circ \ – \ (-15^\circ)) + i \sin(90^\circ \ – \ (-15^\circ))] \]
\[ = 2 \sin 5^\circ (\cos 105^\circ + i \sin 105^\circ) \]

 

Beispiel:

 

Seien \( z_1 = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) \) und \( z_2 = 3(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \). Wir wollen die Summe \( z_1 + z_2 \) berechnen.

Umwandlung in die algebraische Form:
\[ z_1 = 2\left( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{1}{2}i \right) \quad \text{und} \quad z_2 = 3\left( \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \]

Addition der Real- und Imaginärteile:
\[ z_1 + z_2 = \sqrt{3} + \displaystyle \frac{3}{2} + \left( 1 + \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)i \]

 

Hinweis:

 

Eine komplexe Zahl \( z = a + bi \) kann mithilfe der Eulerschen Formel auch in der Exponentialform dargestellt werden:

\[ z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = |z|e^{i\theta} \]
\[ \overline{z} = |z|(\cos \theta \ – \ i \sin \theta) = |z|e^{-i\theta} \quad (\text{wobei } e \approx 2,7182) \]

 

Beispiel:
\[ z = 2\left( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = 2 \, \text{cis} \displaystyle \frac{\pi}{4} = 2e^{\displaystyle \frac{\pi}{4}i} \]

Mithilfe der Exponentialform komplexer Zahlen lassen sich Multiplikation, Division und Potenzierung von komplexen Zahlen in Polardarstellung sehr einfach durchführen.

 

2. Multiplikation:

 

Gegeben seien die beiden komplexen Zahlen:
\[ z_1 = |z_1|(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \quad \text{und} \quad z_2 = |z_2|(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \]

In Exponentialform schreiben wir:
\[ z_1 = |z_1|e^{i\theta_1} \quad \text{und} \quad z_2 = |z_2|e^{i\theta_2} \]

Das Produkt ergibt sich zu:
\[ z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \, e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \]

Daraus folgt: Wenn zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung multipliziert werden, multipliziert man deren Beträge und addiert deren Argumente (Winkel).

\[ \mathbf{z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]} \]
\[ \mathbf{\text{arg}(z_1 \cdot z_2) = \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2)} \]

 

Beispiel:

 

Seien \( z_1 = 3 \ – \ 3\sqrt{3}i \) und \( z_2 = 1 + i \). Wir suchen die Polardarstellung des Produkts \( z_1 \cdot z_2 \).

Zuerst bestimmen wir die Polardarstellung der einzelnen Zahlen:
\[ z_1 = 6(\cos 300^\circ + i \sin 300^\circ) \]
\[ z_2 = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \]

Multiplikation der Beträge und Addition der Winkel:
\[ z_1 \cdot z_2 = 6 \cdot \sqrt{2} \, [\cos(300^\circ + 45^\circ) + i \sin(300^\circ + 45^\circ)] \]
\[ = 6\sqrt{2}(\cos 345^\circ + i \sin 345^\circ) \]