Funktionsgraphen
Die Menge aller Punkte in der analytischen Koordinatenebene, deren Koordinatenpaare eine gegebene Funktion erfüllen, wird als Graph dieser Funktion bezeichnet.
\[f: A \to B, \quad f= \{ (x,y) \mid x \in A , \; y \in B \quad \text{und} \quad y= f(x) \} \]
Da \( (a, b) \in f \) gilt, folgt unmittelbar \( b = f(a) \).
Aufgabe 16
Abgebildet ist der Graph einer reellen Funktion \( y= f(x) \):
\[ \text{Welchem Wert entspricht der Bruch term: } A= \frac{f(-3)+ f(1) }{f(2)} \]
\[ \text{A)} 2 \quad \text{B) } 1 \quad \text{C) } \frac{1}{2} \quad \text{D) } -\frac{1}{2} \quad \text{E )} -1 \]
Lösung:
Durch direktes Ablesen der entsprechenden Koordinatenpunkte aus dem gegebenen Funktionsgraphen erhalten wir die jeweiligen Funktionswerte:
\[
\begin{aligned}
&f(-3)= 1 \quad \text{(Der Graph verläuft durch den Punkt } (-3, 1)\text{)} \\
\\
&f(1)=0 \quad \text{(Die Nullstelle liegt exakt bei } (1, 0)\text{)} \\
\\
&f(2) = 2 \quad \text{(Der Graph verläuft durch den Punkt } (2, 2)\text{)}
\end{aligned}
\]
\[ A= \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 17
Gemäß der obigen Abbildung wird eine Flächenfunktion wie folgt definiert: \( f:x \to \text{„Flächeninhalt der schraffierten Region links von der vertikalen Linie bei } x\text{„} \). Bestimmen Sie den Funktionsterm \( f(x) \) für alle \( x > 1 \).
\[ \text{A)} x^2 \quad \text{B) } x^2+1 \quad \text{C) } x^2+2 \quad \text{D) } x^2+3 \quad \text{E )} x^2+4 \]
Lösung:
Da der Punkt \( P \) mit der Ordinate \( 2 \) auf der Geraden \( y = 2x \) liegt, gilt:
\[ 2 = 2x \Rightarrow x = 1 \]
Somit ist die Abszisse dieses Punktes gleich \( 1 \).
\[ f(x) = \text{Fläche (A)} + \text{Fläche (B)} \]
\[ = 2 + x^2 – 1 = x^2 + 1 \quad \text{ist.} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)