Graphen quadratischer Funktionen

 

Seien \( a, b, c, x \in \mathbb{R} \) mit \( a \neq 0 \). Eine Funktion, die in der Form

\[
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = ax^2 + bx + c
\]

definiert ist, nennt man eine quadratische Funktion (oder eine Funktion zweiten Grades) in einer Variablen. Die Graphen solcher Funktionen sind Kurven, die als Parabeln bezeichnet werden.

Wenn wir in der allgemeinen Funktionsgleichung \( f(x) = ax^2 + bx + c \) die Koeffizienten \( b = 0 \) und \( c = 0 \) wählen, erhalten wir die reinquadratische Grundform \( f(x) = ax^2 \). Wir wollen nun den Graphen dieser Funktion untersuchen und skizzieren.

In der Funktion \( y = f(x) = ax^2 \) lässt sich für jeden reellen Wert von \( x \) der entsprechende \( y \)-Wert berechnen. Um eine präzise Skizze anzufertigen, erstellen wir eine Wertetabelle, die das Änderungsverhalten des Graphen verdeutlicht.

 

1) Wenn \( y = f(x) = ax^2 \) und \( a > 0 \) gilt:

 

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & +\infty \\ \hline
y =f(x)= ax^2 & +\infty \; \searrow & 4a\searrow & a \searrow& 0 \nearrow& a \nearrow& 4a \nearrow& +\infty
\end{array}
\]

\[
\text{Der Graph der Parabel } y = ax^2 \text{ für } a > 0 \text{ ist eine nach oben geöffnete Kurve.}
\]

 

 

2) Wenn \( y = f(x) = ax^2 \) und \( a < 0 \) gilt:

 

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & +\infty \\ \hline
y =f(x)= ax^2 & -\infty \; \nearrow & 4a\nearrow & a \nearrow& 0 \searrow& a \searrow& 4a \searrow& -\infty
\end{array}
\]

 

Beispiel:

 

 

 

Fazit:

In der quadratischen Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) gilt:

\(\bullet \quad\) Je größer der Betrag \( |a| \) ist, desto enger schmiegen sich die Parabeläste an die y-Achse an (die Parabel wird gestreckt bzw. schmaler).
\(\bullet \quad\) Je kleiner der Betrag \( |a| \) ist, desto weiter entfernen sich die Parabeläste von der y-Achse (die Parabel wird gestaucht bzw. breiter).

 

AUFGABE 1

In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph der Parabel \( y = 2mx^2 \) dargestellt.

– \( [OA] \perp [AB] \),
– \( |AB| = 2|OA| \) und
– \( |OB| = \sqrt{10} \) Längeneinheiten.

Wie groß ist der Parameter m?

 

 

 

\[
\text{A) } \sqrt{ 2} \quad
\text{B) }\frac{\sqrt{ 2}}{2} \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 8
\]

 

Lösung:

Es sei \( |OA| = a \).
Daraus folgt direkt \( |AB| = 2a \).

Wir wenden den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck \( OAB \) an:

\[
a^2 + (2a)^2 = (\sqrt{10})^2
\]

\[
a^2 + 4a^2 = 10
\]

\[
\Rightarrow 5a^2 = 10 \Rightarrow a^2 = 2
\]

\[
\Rightarrow a = \sqrt{2}
\]

Da der Punkt \( B \) im ersten Quadranten liegt, lauten seine Koordinaten \( B(a, 2a) \), also \( B(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \). Da dieser Punkt auf der Parabel liegt, erfüllt er die Funktionsgleichung:

\[
y = 2mx^2 \Rightarrow 2\sqrt{2} = 2m (\sqrt{2})^2
\]

\[
\Rightarrow 2\sqrt{2} = 4m \Rightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 2

In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph der Parabel

\[
y = \frac{1}{2} x^2
\]

gegeben.

 

 

Wie groß ist der Flächeninhalt des Quadrats OABC in Flächeneinheiten?

\[
\text{A) } \frac{1}{4} \quad
\text{B) }\frac{1}{2} \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 4
\]

 

Lösung:

Die Seitenlänge des Quadrats OABC sei \( k \) Längeneinheiten. In diesem Fall entsprechen sowohl die Abszisse als auch die Ordinate des Punktes B dem Wert \( k \), woraus sich die Koordinaten \( B(k,k) \) ergeben.
Da sich der Punkt \( B \) auf der Parabel befindet, müssen seine Koordinaten die Parabelgleichung erfüllen.

Wir setzen \( x = k \) und \( y = k \) in die Gleichung ein:

\[
y = \frac{1}{2} x^2 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2} k^2
\]

Da es sich um ein Quadrat handelt, gilt \( k \neq 0 \). Wir können die Gleichung durch \( k \) dividieren:

\[
1 = \frac{1}{2} k \Rightarrow k = 2
\]

Der Flächeninhalt des Quadrats berechnet sich somit wie folgt:

\[
A(OABC) = k^2 = 2^2 = 4 \quad \text{Flächeneinheiten.}
\]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

\( y = f(x) = ax^2 + bx+c \) Kurvendiskussion und Graph zeichnen

 

Um den Graphen einer quadratischen Funktion \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( y = f(x) = ax^2 + bx + c \) sauber zu zeichnen, führen wir folgende systematische Schritte durch.

1) Bestimmung der Öffnungsrichtung der Parabel:

\( \bullet \quad \) Wenn \( a > 0 \), ist die Parabel nach oben geöffnet (in Richtung der positiven y-Achse).
\( \bullet \quad \) Wenn \( a < 0 \), ist die Parabel nach unten geöffnet (in Richtung der negativn y-Achse).

 

Beispiel:

Bei der Parabel \[ y = f(x) = x^2 – 4x + 3 \] ist der Formfaktor \( a = 1 > 0 \), weshalb die Parabel nach oben geöffnet ist.

 

2) Koordinaten des Scheitelpunkts ermitteln:

Durch quadratische Ergänzung lässt sich der allgemeine Term \( ax^2 + bx + c \) in die Scheitelpunktform überführen:

\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]

\[
= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac – b^2}{4a}
\]

Wenn wir die Definitionen

\[
r = -\frac{b}{2a} \quad \text{und} \quad k = \frac{4ac – b^2}{4a}
\]

verwenden, ergibt sich die Scheitelpunktform zu:

\[
f(x) = a(x – r)^2 + k
\]

Die Scheitelpunktkoordinaten \( T(r, k) \) lauten demnach:

\[
r = -\frac{b}{2a} \quad \text{und} \quad k = \frac{4ac – b^2}{4a}
\]

 

Beispiel:

Wir bestimmen den Scheitelpunkt der Parabel \[ y = x^2 – 4x + 3 \]

\[
r = -\frac{b}{2a} =-\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2
\]

\[
k = \frac{4ac – b^2 }{4a} = \frac{4(1)(3) – (-4)^2}{4(1)}
\]

\[
= \frac{12 – 16}{4} = \frac{-4}{4} = -1
\]

Hieraus erhalten wir den Scheitelpunkt \( T(2, -1) \).

 

Hinweis:

Da der Scheitelpunkt \( T(r, k) \) auf der Parabel liegt, lässt sich der y-Wert \( k \) alternativ und oft einfacher durch Einsetzen von \( r \) in die Ausgangsfunktion berechnen:

\[
k = f(r)
\]

 

3) Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) berechnen:

Die Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen die Bedingung \( y = 0 \).

\[
y = ax^2 + bx + c = 0
\]

Die reellen Lösungen (falls existent) seien \( x_1 \) und \( x_2 \).

a) Wenn \( \Delta > 0 \) ist, schneidet die Parabel die x-Achse in zwei verschiedenen Punkten \( (x_1, 0) \) und \( (x_2, 0) \).
b) Wenn \( \Delta = 0 \) ist, berührt die Parabel die x-Achse (Berührpunkt / doppelte Nullstelle).
c) Wenn \( \Delta < 0 \) ist, hat die Funktion keine reellen Nullstellen; die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

 

Beispiel:

Für die Parabel \[ y = x^2 – 4x + 3 \] gilt:

\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 > 0
\]

Da die Diskriminante positiv ist, existieren zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Durch Lösen der quadratischen Gleichung erhalten wir:

\[
y = x^2 – 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1 \quad \text{oder} \quad x = 3
\]

Somit ergeben sich die Punkte:

\[
(1,0) \quad \text{und} \quad (3,0)
\]

 

4) Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen:

Da die x-Koordinate auf der y-Achse stets \( x = 0 \) ist, liefert das Einsetzen den Wert \( y = c \).
Die Parabel schneidet die y-Achse folglich immer im Punkt \( (0,c) \).

Beispiel:

Bei der Parabel \[ y = x^2 – 4x + 3 \] erhalten wir für

\[
x = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 3
\]

Der Achsenabschnitt liegt folglich im Punkt:

\[
(0,3)
\]

 

Durch Zusammenführung der berechneten charakteristischen Punkte ergibt sich der Graph für

\[ y = x^2 – 4x + 3\]

wie oben abgebildet.

 

Beispiel:

Wir zeichnen den Graphen der Funktion \[ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

Da \( a = -1 < 0 \) ist, öffnet sich die Parabel nach unten. Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten:

\[
r = -\frac{b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1
\]

\[
k = f(1) = – (1)^2 + 2(1) + 3 = 4
\]

\[
\Rightarrow T(1, 4)
\]

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Für die Nullstellen setzen wir \( y = 0 \) voraus:

\[
– x^2 + 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x – 3 = 0
\]

\[
\Rightarrow (x – 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1 \quad \text{oder} \quad x_2 = 3
\]

Die Schnittpunkte mit der x-Achse lauten:

\[
(-1, 0) \quad \text{und} \quad (3, 0)
\]

Schnittpunkt mit der y-Achse:

\[
x = 0 \Rightarrow y = 3 \quad \Rightarrow (0, 3)
\]

 

Beispiel:

Wir zeichnen den Graphen der Funktion \[ f(x) = 2(x + 1)^2 + 2 \]

Öffnungsrichtung der Parabel:

Aus der gegebenen Scheitelpunktform \[ y = a(x – r)^2 + k \] lesen wir ab:

\[
a = 2 > 0
\]

Somit ist die Parabel nach oben geöffnet.

Koordinaten des Scheitelpunkts:

Direkt aus der Form ergibt sich \( r = -1 \) und \( k = 2 \):

\[
\Rightarrow T(-1,2)
\]

 

Schnittpunkte mit den Achsen:

Wir setzen für die Nullstellensuche \( y = 0 \):

\[
2(x + 1)^2 + 2 = 0 \Rightarrow 2(x+1)^2 = -2 \Rightarrow (x+1)^2 = -1
\]

Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, ist \( \Delta < 0 \). Es existieren keine reellen Nullstellen und die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

 

Schnittpunkt mit der y-Achse:

\[
x = 0 \Rightarrow y = 2(0 + 1)^2 + 2 = 4 \quad \Rightarrow (0, 4)
\]

 

 

 

 

Beispiel:

Wir zeichnen den Graphen der Funktion \[ f(x) = -x^2 – 2x – 1 \]

Wir können die Funktionsgleichung

\[
y = -x^2 – 2x – 1
\]

durch Ausklammern des Minuszeichens in eine binomische Form umschreiben:

\[
y = – (x + 1)^2
\]

Der Vergleich mit der allgemeinen Scheitelpunktform \[ y = a(x – r)^2 + k \] zeigt:

\[
a = -1 < 0
\]

Die Parabel ist folglich nach unten geöffnet.

Koordinaten des Scheitelpunkts:

Es gilt \( r = -1 \) und \( k = 0 \):

\[
\Rightarrow T(-1,0)
\]

 

Schnittpunkte mit den Achsen:

Wir setzen für die Nullstellensuche \( y = 0 \):

\[
– x^2 – 2x – 1 = 0 \Rightarrow -(x+1)^2 = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = -1
\]

Da eine doppelte Nullstelle vorliegt, berührt die Parabel die x-Achse genau in ihrem Scheitelpunkt:

\[
(-1, 0)
\]

 

Schnittpunkt mit der y-Achse:

\[
x = 0 \Rightarrow y = -1 \quad \Rightarrow (0, -1)
\]

 

 

 

Beispiel:

Wir zeichnen den Graphen der Funktion \[ y = x^2 + 2 \]

 

Öffnungsrichtung der Parabel:

Aus dem Vergleich mit \( y = a(x – r)^2 + k \) folgt:

\[
a = 1 > 0
\]

Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Koordinaten des Scheitelpunkts:

Hier ist \( r = 0 \) und \( k = 2 \):

\[
\Rightarrow T(0,2)
\]

 

Schnittpunkte mit den Achsen:

Zur Bestimmung der Nullstellen setzen wir **\( y = 0 \)**:

\[
x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = -2
\]

Wegen **\( \Delta < 0 \)** besitzt diese Gleichung im Reellen keine Lösung; die **Parabel schneidet die x-Achse somit nicht**.

 

Schnittpunkt mit der y-Achse:

\[
x = 0 \Rightarrow y = 2 \quad \Rightarrow (0, 2)
\]

 

 

 

Eigenschaften und Sätze:

1) Symmetrieachse: Jede Parabel der Form \( y = ax^2 + bx + c \) ist achsensymmetrisch zu einer vertikalen Gerade, die durch den Scheitelpunkt verläuft. Ihre Gleichung lautet:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

Aufgrund dieser Achsensymmetrie werden alle horizontalen Segmente zwischen zwei Kurvenpunkten exakt halbiert:

\[
|AR| = |RB|, \quad |CQ| = |QD|, \quad |EP| = |PF|, \dots
\]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Seien \( x_1 \) und \( x_2 \) die reellen Nullstellen der Parabel \( y = ax^2 + bx + c \).

Nach dem Satz von Vieta gilt für die Summe der Nullstellen \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \). Da die Symmetrieachse \( r = -\frac{b}{2a} \) genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegt, gilt:

\[
r = \frac{x_1 + x_2}{2}
\]

 

3) Extremwerte (Extrema):

Wenn \( a > 0 \), stellt der Scheitelpunkt das absolute Minimum des Graphen dar. Der kleinstmögliche Funktionswert von \( f(x) = ax^2 + bx + c \) beträgt:

\[
k = \frac{4ac – b^2}{4a}
\]

Wenn \( a < 0 \), stellt der Scheitelpunkt das absolute Maximum des Graphen dar. Der größtmögliche Funktionswert von \( f(x) = ax^2 + bx + c \) beträgt:

\[
k = \frac{4ac – b^2}{4a}
\]

 

4) Geometrische Lage des Scheitelpunkts: Bezogen auf die Scheitelpunktform
\[
y = ax^2 + bx + c = a(x – r)^2 + k
\]
unterscheiden wir folgende Sonderfälle:

a) Wenn \( r \neq 0 \) und \( k = 0 \) ist, liegt der Scheitelpunkt \( T(r,0) \) auf der x-Achse (die Parabel berührt die x-Achse).

b) Wenn \( r = 0 \) und \( k \neq 0 \) ist, liegt der Scheitelpunkt \( T(0,k) \) auf der y-Achse. In diesem Fall bildet die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.

Daraus folgt:

\[
r = -\frac{b}{2a} = 0 \Rightarrow b = 0
\]

 

c) Wenn \( r = 0 \) und \( k = 0 \) ist, liegt der Scheitelpunkt \( T(0,0) \) exakt im Koordinatenursprung.

 

AUFGABE 3

Die Gleichung der abgebildeten Parabel lautet:
\[
f(x) = -x^2 + bx + c
\]
Welchen maximalen Wert kann die Funktion \( f(x) \) annehmen?

\[
\text{A) } 3 \quad
\text{B) } \frac{9}{4} \quad
\text{C) } \frac{9}{5} \quad
\text{D) } \frac{3}{2} \quad
\text{E) } \frac{9}{7}
\]

 

 

 

Lösung:

Die Parabel \( y = -x^2 + bx + c \) schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten \( (0,2) \) und \( (2,0) \).

Aus dem Schnittpunkt mit der y-Achse \( (0,2) \) folgt durch Einsetzen von \( x = 0 \):
\[
y = c = 2
\]

Mithilfe der Nullstelle \( (2,0) \) setzen wir \( x = 2 \) und \( c = 2 \) ein:
\[
y = -(2)^2 + b(2) + 2 = 0
\]

\[
\Rightarrow -4 + 2b + 2 = 0 \Rightarrow 2b – 2 = 0 \Rightarrow b = 1
\]

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit:

\[
y = -x^2 + x + 2
\]

Das Maximum entspricht dem y-Wert des Scheitelpunkts (\( k \)):

\[
k = \frac{4ac – b^2}{4a} = \frac{4(-1)(2) – (1)^2}{4(-1)}
\]

\[
= \frac{-8 – 1}{-4} = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}
\]

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 4

 

Die Gleichung der oben dargestellten Parabel lautet \( y = x^2 – 2x + c \). Unter der Bedingung, dass \( |OB| = 3|OA| \) gilt, bestimmen Sie den Wert von c.

\[
\text{A) } -5 \quad
\text{B) } -4 \quad
\text{C) } -3 \quad
\text{D) } -2 \quad
\text{E) } -1
\]

 

Lösung:

Die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse seien A und B mit den jeweiligen Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \).

Da A im negativen und B im positiven Bereich liegt, wählen wir für die Distanz \( |OA| = m \). Entsprechend der Vorgabe gilt dann \( |OB| = 3m \). Hieraus ergeben sich die Nullstellen zu:

\[
x_1 = -m \quad \text{und} \quad x_2 = 3m

Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte dieser beiden Werte:

\[
r = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-m + 3m}{2} = m
\]

Aus der Funktionsgleichung \( y = x^2 – 2x + c \) berechnen wir \( r \) wie folgt:

\[
r = -\frac{b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow m = 1
\]

Durch Einsetzen von \( m = 1 \) erhalten wir die exakten Nullstellen:

\[
x_1 = -1 \quad \text{und} \quad x_2 = 3
\]

Nach dem Satz von Vieta entspricht das Produkt der Nullstellen dem Verhältnis \( \frac{c}{a} \):

\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1} \Rightarrow (-1) \cdot 3 = c \Rightarrow c = -3
\]

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

AUFGABE 5

Die Gleichung der obigen Parabel lautet \( y = mx^2 + (m – 2)x – 2 \). Wenn die Strecke \( |AB| = 3 \) Längeneinheiten lang ist, berechnen Sie m.

\[
\text{A) } \frac{1}{3} \quad
\text{B) } \frac{1}{2} \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } -3
\]

 

Lösungsweg 1:

Wir bestimmen die Nullstellen der Gleichung:

\[
mx^2 + (m – 2)x – 2 = 0
\]

Dieser quadratische Ausdruck lässt sich faktorisieren (Faktorisierung):

\[
(x + 1)(mx – 2) = 0
\]

\[
\Rightarrow x = -1 \quad \text{oder} \quad x = \frac{2}{m}
\]

Somit erhalten wir die Punkte \( A(-1, 0) \) und \( B\left(\frac{2}{m}, 0\right) \). Da der Graph zeigt, dass B auf der positiven x-Achse liegt, berechnet sich der Abstand wie folgt:

\[
|AB| = |AO| + |OB| = 3 \Rightarrow 1 + \frac{2}{m} = 3
\]

\[
\Rightarrow \frac{2}{m} = 2 \Rightarrow m = 1
\]