Periodische Dezimalbrüche
Bestimmen wir die Dezimaldarstellung der Zahl \( \displaystyle\frac{7}{5} \).
$$\frac{7}{5}= \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10} = 1,4 $$
Bestimmen wir die Dezimaldarstellung der Zahl \( \displaystyle\frac{14}{10} \).
$$\frac{14}{10}= \frac{140}{100} = \frac{1400}{1000} = \frac{14000}{10000} \cdots $$
oder
$$ 1,4 = 1,40 = 1,400 = 1,4000 = \cdots $$
Bei der Kommaschreibweise von Dezimalbrüchen ändern Nullen, die am Ende des Bruchteils angehängt (oder gelöscht) werden, den Wert des Dezimalbruchs nicht. In diesem Fall ist die Null die sich wiederholende (periodische) Ziffer. Solche Dezimalbrüche werden als endliche Dezimalbrüche mit einer periodischen Null bezeichnet.
Daraus folgt, dass jede rationale Zahl, deren Nenner eine Zehnerpotenz ist (oder in eine solche Form gebracht werden kann), eine Dezimaldarstellung mit einer nachfolgenden periodischen Null besitzt.
Dezimaldarstellung von rationalen Zahlen, die nicht in endliche Dezimalbrüche umgewandelt werden können
Da der Nenner des Bruchs \(\displaystyle \frac{2}{3} \) kein Teiler einer Zehnerpotenz ist, kann der Bruch \(\displaystyle\frac{2}{3}\) nicht als endlicher Dezimalbruch geschrieben werden. Bestimmen wir daher die Dezimaldarstellung der Zahl \(\displaystyle \frac{2}{3} \), indem wir den Zähler des Bruchs durch seinen Nenner dividieren.
\[
\begin{array}{c|c}
\begin{array}{c} 2 \\
\\
\end{array}&
\begin{array}{c}
\quad 3 \\
\hline \\
\end{array}
\end{array}
\quad \quad \quad \begin{array}{c,c}
&\begin{array}{c}
\quad &2,000 \;\;\;\;\\
-\quad &1\phantom{0}8 \;\;\;\; \\
\hline
\;\;\quad &0\phantom{,} 20\\
-\quad \;\;\quad &0\phantom{,} 18\\
\hline
\;\;\quad &0\phantom{,} 2\\\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 3 \\
\hline
\quad 0,666\cdots
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\]
Bei der durchgeführten Division wiederholt sich die Ziffer 6 im Quotienten fortlaufend. Daher gilt:
$$ \frac{2}{3} = 0,666\cdots$$
Wir können die Zahl $0,666\dots$ kurz als \( 0,\overline{6} \) schreiben, indem wir einen Strich (Periodenstrich) über den sich wiederholenden Teil setzen. Es wird also die Schreibweise \[ 0,666\cdots = 0,\overline{6} \] verwendet.
Die Zahl \( 0,\overline{6} \) wird als periodische Dezimaldarstellung der rationalen Zahl \(\displaystyle \frac{2}{3} \) bezeichnet. Ebenso können die Brüche \(\displaystyle \frac{8}{3}, \displaystyle \frac{8}{15}, \displaystyle\frac{4}{11}, \text{ und } \frac{4}{7} \) nicht als endliche Dezimalbrüche dargestellt werden. Durch Division ihrer Zähler durch die Nenner erhält man jedoch die folgenden periodischen Dezimaldarstellungen:
$$ \frac{8}{3}= 2,666\cdots =2,\overline{6} $$
$$ \frac{8}{15}= 0,5333\cdots =0,5\overline{3} $$
$$ \frac{4}{11}=0,3636\cdots =0,\overline{36} $$
$$ \frac{4}{7}=0,\overline{571428} $$
Wenn sich die Ziffern im Bruchteil der Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ab einer bestimmten Stelle nach einer bestimmten Regel endlos wiederholen, nennt man diese Zahl einen periodischen Dezimalbruch. Sie wird geschrieben, indem man einen Periodenstrich ‚-‚ über den sich wiederholenden Ziffernblock setzt.
Hinweis:
1. Jede rationale Zahl besitzt eine Dezimaldarstellung.
2. Bei rationalen Zahlen, die endliche Dezimalbrüche bilden, ist die sich wiederholende Ziffer Null. Diese periodische Null wird nur bei Bedarf in der Form \( \overline{0} \) am Ende notiert.
3. Bei rationalen Zahlen, die keine endlichen Dezimalbrüche bilden, ist die Periode von Null verschieden.
Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen rationalen Bruch:
Finden wir die Bratstellung als rationalen Bruch für die Zahl \(0,2\overline{6}\).
Es sei \[ x = 0,2\overline{6} \]
Wenn man beide Seiten mit geeigneten Zehnerpotenzen so multipliziert, dass das Komma einmal direkt vor und einmal direkt nach der Periode steht, und die Gleichungen voneinander subtrahiert:
\[\begin{align*}
100x &= 26,\overline{6} \\
-\quad 10x &= 2,\overline{6} \\
\hline
90x &= 24 \\
\\
x &= \frac{24}{90} = \frac{4}{15} \quad \text{wird berechnet.}
\end{align*} \]
In der Praxis kann ein periodischer Dezimalbruch mit der folgenden Formel direkt in einen rationalen Bruch umgewandelt werden:
\[
\begin{array}{l l }\quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad(\text{Die ganze Zahl ohne Komma}) \quad – \quad (\text{Der nicht-periodische Teil}) \\
\hline
\text{Eine 9 für jede periodische Ziffer, eine 0 für jede nicht-periodische Nachkommaziffer}
\end{array}
\]
Hierbei bezieht sich die Regel für den Nenner ausschließlich auf den Nachkommateil (Bruchteil) der Dezimalzahl. Wenn wir dies mit Symbolen ausdrücken:
Wobei $a, b, c, d, e, f$ Ziffern sind und \[ a,bcdefdef\dots = a,bc\overline{def} \], gilt:
$$ a,bc\overline{def} = \frac{\text{abcdef} – \text{abc}}{99900} = a + \frac{\text{bcdef} – \text{bc}}{99900} $$
Beispiele:
\[ \Rightarrow 1,\overline{4} = \frac{14-1}{9} = \frac{13}{9} = 1 \frac{4}{9} \quad \text{oder} \quad 1,\overline{4} = 1 + 0,\overline{4} = 1 \frac{4}{9} \]
\[ \Rightarrow 0,8\overline{5} = \frac{85-8}{90} = \frac{77}{90} \]
\[
\Rightarrow 12,48\overline{3} = 12 + \frac{483 – 48}{900} = 12\frac{29}{60}
\]
\[
\Rightarrow 0,\overline{63} = \frac{63}{99} = \frac{7}{11}
\]
Hinweis:
- Wenn $a$ eine einzelne Ziffer ist, gilt:
$$ 0,\overline{a} = \frac{a}{9} $$
2. Wenn die einzige periodische Ziffer eine 9 ist, wird die Ziffer unmittelbar links von der 9 um 1 erhöht ve die periodische 9 fällt weg.
$$ 2,3\overline{9} = 2,4; \quad 0,1\overline{9} = 0,2; \quad 1,9\overline{9} = 2 $$
*(Hinweis: Druckfehler im mathematischen Quelltext des Lehrbuches wurden korrigiert; dort stand fälschlicherweise zweimal ein fehlerhafter Zielwert von 2 für ungleiche Ausgangswerte).*
3. Bei der Addition periodischer Dezimalbrüche kann direkt mit den Dezimalzahlen gerechnet werden (ohne sie in Brüche umzuwandeln), sofern die Operationen innerhalb der Periodenblöcke keine Werte größer als 9 erzeugen. Bei der Subtraktion gilt dies analog, solange kein Übertrag von der links stehenden Stelle erforderlich ist.
$$ 3,\overline{24} + 1,\overline{65} = 4,\overline{89} $$
$$ 2,\overline{37} + 0,\overline{62} = 2,\overline{99} = 3 $$
$$ 3,\overline{76} – 1,\overline{42} = 2,\overline{34} $$
Runden von Dezimalbrüchen:
Das Finden eines Dezimalbruchs mit weniger Nachkommastellen, der einem gegebenen Dezimalbruch annähernd gleicht, nennt man Runden eines Dezimalbruchs.
Um einen Dezimalbruch auf eine bestimmte Stelle zu runden, betrachtet man die Ziffer unmittelbar rechts daneben. Ist der Wert dieser Ziffer:
- 5 oder größer, wird die zu rundende Stelle um 1 erhöht und alle Ziffern rechts davon fallen weg (Aufrunden).
- Kleiner als 5, bleibt die Ziffer der zu rundenden Stelle unverändert und alle Ziffern rechts davon fallen weg (Abrunden).
Beispiele:
- Runden wir die Zahlen 2,173 und 0,642 auf die Zehntelstelle.
\[
2,173 \approx 2,2 \quad (7 > 5)
\]
\[
0,642 \approx 0,6 \quad (4 < 5)
\]
- Runden wir die Zahlen 2,72384 und 5,19349 auf die dritte Nachkommastelle (Tausendstelstelle).
\[
2,72384 \approx 2,724 \quad (8 > 5)
\]
\[
5,19349 \approx 5,193 \quad (4 < 5)
\]