ggT (Größter gemeinsamer Teiler) und kgV
Die größte ganze Zahl, die zwei oder mehr Zahlen gleichzeitig teilen kann, wird als der größte gemeinsame Teiler (ggT) dieser Zahlen bezeichnet, und die kleinste positive ganze Zahl, die gleichzeitig durch zwei oder mehr Zahlen teilbar ist, wird als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen bezeichnet.
Wenn a und b zwei ganze Zahlen sind, wird der ggT dieser beiden Zahlen als ggT(a, b) oder \((a, b)_{ggT}\) dargestellt.
Das kgV dieser beiden Zahlen wird als kgV(a, b) oder \((a, b)_{kgV}\) dargestellt. Zudem gilt für a < b:
$$ggT (a, b) \le a < b \le kgV (a, b)$$
Beispiel:
Wir wollen den ggT und das kgV der Zahlen 18 and 24 bestimmen.
Positive Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Positive Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (Hinweis: Die Ziffer 9 im Originaltext wurde logisch zur 12 korrigiert)
Daher ist die Menge der gemeinsamen positiven Teiler dieser beiden Zahlen {1, 2, 3, 6}. Das größte Element dieser Menge, nämlich 6, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 18 und 24. (ggT)
ggT (18, 24) = 6 wird ermittelt.
Positive Vielfache von 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, …
Positive Vielfache von 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, …
Daraus ergibt sich für die gemeinsamen positiven Vielfachen von 18 und 24 die Menge {72, 144, 216, …}. Das kleinste Element dieser Menge, die 72, ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 24. (kgV)
\(kgV(18, 24)=72\) wird ermittelt.
Nun wollen wir den ggT und das kgV von 18 und 24 mithilfe der Primfaktorzerlegung bestimmen.
\[ \begin{array}{r r|l}
18 & 24 & 2 \\
9 & 12 & 2 \\
9 & 6 & 2 \\
9 & 3 & 3 \\
3& 1 & 3 \\
1 & & \\
\end{array} \]
Zahlen, die sowohl 18 als auch 24 gleichzeitig teilen:
\((18, 24)_{ggT}= 2\cdot 3=6\)
\((18, 24)_{kgV}= 2^3\cdot 3^2=72\) wird ermittelt.
Als dritten Weg bestimmen wir den ggT und das kgV von 18 und 24, indem wir deren in Primfaktoren zerlegte Form nutzen.
\(18=2\cdot 3^2 = 2\cdot 3 \cdot 3\)
\(24=2^3\cdot 3 =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)
Das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren von 18 und 24 (2 und 3) ergibt den ggT von 18 und 24.
Mit anderen Worten: Der ggT wird ermittelt, indem man die gemeinsamen Primfaktoren mit den kleinsten Exponenten miteinander multipliziert.
\(18= 2\cdot 3 \cdot 3\)
\(24= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)
Hieraus ergibt sich \((18, 24)_{kgV}=3\cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 3^2 \cdot 2^3 =72 \). Das kgV wird ermittelt, indem man die Primfaktoren mit den größten Exponenten miteinander multipliziert.
Beispiel:
Wir wollen den ggT und das kgV der Zahlen 27 und 48 bestimmen.
Zuerst bestimmen wir ggT und kgV durch die Primfaktorzerlegung.
\[ \begin{array}{r r|l}
27 & 48 & 2 \\
27 & 24 & 2 \\
27 & 12 & 2 \\
27 & 6 & 2 \\
27& 3 & 3 \to \text{Zahl, die sowohl 27 als auch 48 gleichzeitig teilt}\\
9& 1 & 3 \\
3& & 3 \\
1 & & \\
\end{array}
\]
\[
ggT\,\,(27, 48)=3\\
\]
\[
kgV\,\,(27,48)=2^4 \cdot 3^3=432\\
\]
Nun wollen wir ggT und kgV anhand der Primfaktorzerlegung von 27 und 48 bestimmen. Bei der Berechnung des ggT wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren von 27 und 48 mit dem kleinsten Exponenten berechnet (hier nur 3). Bei der Berechnung des kgV wird das Produkt aller vorkommenden Primfaktoren mit dem jeweils größten Exponenten berechnet (beachten Sie, dass die 2 mitmultipliziert wird, obwohl sie nicht gemeinsam vorkommt).
Warnung (Hinweis):
1. Für in Primfaktoren zerlegte Zahlen gilt:
a) Zur Ermittlung des ggT werden die gemeinsamen Primfaktoren mit den kleinsten Exponenten miteinander multipliziert.
b) Zur Ermittlung des kgV werden die gemeinsamen Primfaktoren mit den größten Exponenten sowie alle nicht-gemeinsamen Primfaktoren vollständig miteinander multipliziert.
2. Der ggT von teilerfremden Zahlen ist 1, und das kgV ist gleich dem Produkt dieser Zahlen.
3. Das Produkt aus dem ggT und dem kgV zweier Zahlen ist gleich dem Produkt dieser beiden Zahlen. (Diese Regel gilt nur für zwei Zahlen)
$$ggT (a,b) \cdot kgV (a,b)= a\cdot b$$
Beispiel:
Das Gewicht von drei verschiedenen Säcken, die jeweils Zucker unterschiedlicher Qualität enthalten, beträgt 48, 114 bzw. 150 Kilogramm. Sie sollen ohne Rest in separate, möglichst große Beutel von gleichem Gewicht abgefüllt werden. Wir wollen bestimmen, wie viele Beutel für diese Arbeit benötigt werden.
Da die Zuckersorten unterschiedlicher Qualität nicht miteinander vermischt und in Beutel mit dem maximal möglichen Gewicht gefüllt werden sollen, bestimmen wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 48, 114 und 150.
\[
\begin{array}{r r r | l}
48 & 114 & 150 & 2\\
24 & 57 & 75 & 2 \\
12 & 57 & 75 & 2 \\
6 & 57 & 75 & 2 \\
3 & 57 & 75 & 3 \\
1 & 19 & 25 & 5 \\
& 19 & 5 & 5 \\
& 19 & 1 & 19 \\
& 1 & & \\
\end{array}
\]
Da \((48, 114, 150)_{ggT}=2 \cdot 3 =6\) ist, muss das Gewicht jedes Beutels 6 Kilogramm betragen. Daraus folgt:
\(48:6= 8\) Beutel
\(114:6= 19\) Beutel
\(150:6= 25\) Beutel
Somit werden für diese Arbeit 8 + 19 + 25 = 52 Beutel benötigt.
Beispiel:
Die Umgebung eines rechteckigen Feldes mit den Maßen \(68 \times 100 \text{ m}^2\) soll mit Bäumen bepflanzt werden. Unter der Bedingung, dass der Abstand zwischen den Bäumen gleich ist und an den Ecken unbedingt ein Baum stehen muss, wollen wir herausfinden, wie viele Setzlinge mindestens benötigt werden.
Da die Anzahl der zu pflanzenden Setzlinge unter der Bedingung des gleichen Abstands minimiert werden soll, muss der Abstand zwischen den Setzlingen so groß wie möglich sein. Daher müssen wir den ggT von 68 und 100 finden.
Da \(68 = 2^2 \cdot 17\) und \(100= 2^2 \cdot 5^2 \) sind, finden wir \( (68,100)_{ggT}=4 \). Der maximal mögliche Abstand zwischen den Setzlingen beträgt also 4 m.
Der Umfang des Feldes beträgt: \(2 \cdot (68 + 100) = 336 \) m. Demnach beträgt die Mindestanzahl an Setzlingen, die für die Bepflanzung des Feldes benötigt werden, \(336 \div 4 = 84\).
Beispiel:
Wenn Metin seine Stifte in Gruppen von 4, 5 und 6 einteilt, bleiben jedes Mal 3 Stifte übrig. Wir wollen herausfinden, wie viele Stifte Metin mindestens haben kann.
Zieht man 3 von der Anzahl von Metins Stiften ab, erhält man ein Vielfaches von 4, 5 und 6. Wenn wir also das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 5 und 6 bestimmen:
\[
\begin{array}{r r r | l}
4 & 5 & 6 & 2\\
2 & 5 & 3 & 2 \\
1 & 5 & 3 & 3 \\
& 5 & 1 & 5 \\
& 1 & & \\\end{array}
\]
\(kgV(4,5,6) = 60\)
Daher kann die Anzahl von Metins Stiften abzüglich 3 mindestens 60 betragen. Demnach hat Metin mindestens 63 Stifte.
Frage 51:
Essig in Fässern von 80 l, 100 l und 120 l soll ohne Vermischung in Kanister gleichen Volumens abgefüllt werden. Wie viele Kanister werden dafür mindestens benötigt?
\[ \text{A)} 9 \quad \text{B) } 11 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 17 \quad \text{E) } 20 \]
Lösung:
Da die minimal erforderliche Anzahl an Kanistern mit gleichem Volumen gesucht ist, muss das Volumen der Kanister der größte gemeinsame Teiler von 80, 100 und 120 sein.
\((80,100,120)_{ggT}=20\) l. Da das Volumen eines Kanisters 20 l beträgt:
$$ 80\div 20= 4$$ Kanister
$$100\div 20= 5$$ Kanister
$$120\div 20= 6$$ Kanister
Demnach werden insgesamt \(4+5+6= 15\) Kanister benötigt.
\({\textbf{Antwort: C}}\)
Frage 52:
Wie groß ist die Quersumme der kleinsten natürlichen Zahl, die bei der Division durch die Zahlen 3, 4 und 5 die Reste 1, 2 bzw. 3 lässt?
\[ \text{A)} 5 \quad \text{B) } 7 \quad \text{C) } 8 \quad \text{D) } 10 \quad \text{E) } 13 \]
Lösung:
Die Differenz zwischen den Teilern 3, 4, 5 und den jeweiligen Resten 1, 2, 3 beträgt konstant 2 ($3-1=2$, $4-2=2$, $5-3=2$). Das bedeutet, dass die um 2 erhöhte gesuchte Zahl exakt durch 3, 4 und 5 teilbar ist. Wenn wir die gesuchte Zahl x nennen:
$$ x+2 =(3,4,5)_{kgV}=3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 \Rightarrow x= 58 $$
Da 3, 4 und 5 paarweise teilerfremde Zahlen sind, entspricht ihr kgV ihrem Produkt. Die Quersumme von 58 beträgt \(5 + 8 = 13\).
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 53:
Mit wie vielen quaderförmigen Steinen mit den Maßen \(4 \times 5 \times 6 \text{ cm}^3\) lässt sich ein Würfel mit dem kleinstmöglichen Volumen zusammensetzen?
\[ \text{A)} 2400 \quad \text{B) } 2250 \quad \text{C) } 2000 \quad \text{D) } 1800 \quad \text{E) } 1650 \]
Lösung:
Da das Volumen des Würfels minimal sein soll, muss seine Seitenlänge das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 5 und 6 sein. Daher gilt: \( (4, 5, 6)_{kgV}=60 \) cm.
Die Anzahl der benötigten Steine zur Erzielung eines solchen Würfels sei x. Da das Gesamtvolumen der Quader dem Volumen des Würfels entsprechen muss, gilt:
\( x \cdot (4\cdot 5 \cdot 6) = 60 \cdot 60 \cdot 60 \Rightarrow x \cdot 120 = 216000 \Rightarrow x = 1800 \).
\({\textbf{Antwort: D}}\)
Hinweis (Regel):
Der ggT und das kgV von Brüchen \(\displaystyle\frac{a}{b}\) und \(\displaystyle\frac{c}{d}\):
\(ggT \left( \displaystyle\frac{a}{b} , \displaystyle\frac{c}{d} \right) = \displaystyle\frac{ggT(a, c)}{kgV(b, d)}\)
\(kgV \left(\displaystyle \frac{a}{b} ,\displaystyle \frac{c}{d} \right) = \displaystyle\frac{kgV(a, c)}{ggT(b, d)}\)
Beispiel:
Wir wollen den ggT und das kgV der Brüche \( \displaystyle\frac{6}{5}\) und \(\displaystyle\frac{12}{7}\) bestimmen.
\(ggT \left( \displaystyle\frac{6}{5} , \displaystyle\frac{12}{7} \right) = \displaystyle\frac{ggT(6, 12)}{kgV(5, 7)} = \displaystyle\frac{6}{35}\)
\(kgV \left(\displaystyle \frac{6}{5} , \displaystyle\frac{12}{7} \right) = \displaystyle\frac{kgV(6, 12)}{ggT(5, 7)} = \displaystyle\frac{12}{1} = 12\)
Frage 54:
Wie lautet die kleinste natürliche Zahl, die bei der Division durch die Brüche \( \displaystyle\frac{9}{5}, \, \displaystyle\frac{12}{7}, \, \text{und } \displaystyle\frac{15}{11} \) ein ganzzahliges Ergebnis liefert?
\[ \text{A)} 90 \quad \text{B) } 180 \quad \text{C) } 240 \quad \text{D) } 270 \quad \text{E) } 360 \]
Lösung 1:
Die gesuchte ganze Zahl sei x.
\[
{\large
\begin{array}{l l }
\displaystyle\frac{x}{\frac{9}{5}} =\displaystyle \frac{5 \cdot x}{9} \in \mathbb{Z} \\
\displaystyle\frac{x}{\frac{12}{7}} = \displaystyle\frac{7 \cdot x}{12} \in \mathbb{Z} \\
\displaystyle\frac{x}{\frac{15}{11}} = \displaystyle\frac{11 \cdot x}{15} \in \mathbb{Z} \\
\end{array}
}
\]
Demnach muss die Zahl x ein Vielfache von 9, 12 und 15 sein.
Der kleinste Wert für x ist somit:
\( x = (9,12,15)_{kgV} = 180\)
Lösung 2:
\[\begin{array}{l l }
x = \text{kgV} \left( \frac{9}{5}, \frac{12}{7}, \frac{15}{11} \right) = \frac{\text{kgV}(9,12,15)}{\text{ggT}(5,7,11)}\\
x=\frac{180}{1} = 180
\end{array}\]
\({\textbf{Antwort: B}}\)
Frage 55:
Wie lautet die größte Zahl, die sowohl 151 als auch 171 teilt und dabei jeweils einen Rest von 11 lässt?
\[ \text{A)} 40 \quad \text{B) } 36 \quad \text{C) } 30 \quad \text{D) } 24 \quad \text{E) } 20 \]
Lösung:
Die gesuchte Zahl sei x.
Da die Reste bei der Division von 151 und 171 durch x gleich 11 sind, bedeutet dies, dass nach Abzug von 11—also die Zahlen 140 und 160—ohne Rest durch x teilbar sein müssen. Die größte Zahl (x), die sowohl 140 als auch 160 vollständig teilen kann, ist somit der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen.
Daraus ergibt sich:
\[\begin{array}{l l }x=ggT(140,160)=20\end{array}\]
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Warnung: (Praktischer WEG)
Bei der Ermittlung des ggT und kgV zweier Zahlen kann folgender praktischer Kurzweg genutzt werden: (Wir wollen zum Beispiel den ggT und das kgV von 36 und 48 bestimmen)
1. Man schreibt einen Bruch, bei dem eine der gegebenen Zahlen den Zähler und die andere den Nenner bildet: \( \Large{ \frac{36}{48}} \)
2. Dieser Bruch wird vollständig gekürzt, um ein Verhältnis zu bilden: \( \Large{ \frac{36}{48}= \frac{3}{4} } \)
3. In dem resultierenden Verhältnis liefert die Überkreuzmultiplikation der Terme das kgV dieser beiden Zahlen. Teilt man den ersten Term durch den dritten Term (oder den zweiten Term durch den vierten Term), erhält man den ggT dieser beiden Zahlen.
\[\begin{array}{l l }
kgV(36,48)=36 \cdot 4 = 144 \quad \text{(Innenterme-Produkt)} \\
kgV(36,48)=48 \cdot 3 = 144 \quad \text{(Außenterme-Produkt)} \\
\\
ggT(36,48)=36 \div 3 = 12 \quad \text{(erster Term geteilt durch dritten Term)} \\
ggT(36,48)=48 \div 4 = 12 \quad \text{(zweiter Term geteilt durch vierten Term)} \\
\end{array}\]
Hieraus erhalten wir:
\[\begin{array}{l l }kgV(36,48)=144\\ggT(36,48)=12\end{array}\]