Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit durch 2:
Gerade Zahlen sind durch 2 teilbar.
Beispielsweise sind 230, 272, 1994, 456 und 118 gerade Zahlen. Diese Zahlen sind durch 2 teilbar.
Der Rest bei der Division einer Zahl durch 2 entspricht dem Rest, den die Einerstelle dieser Zahl bei der Division durch 2 hinterlässt. Ist eine Zahl ungerade, so beträgt der Rest bei der Division durch 2 immer 1; ist die Zahl gerade, so ist der Rest gleich 0.
Beispielsweise lassen die Zahlen 2001, 123, 1995, 987 und 456789 bei der Division durch 2 den Rest 1;
Die Zahlen 2000, 102, 124, 376 und 99998 lassen bei der Division durch 2 den Rest 0.
Teilbarkeit durch 3:
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 ist.
Beispielsweise beträgt die Quersumme der Zahl 123456 \( 1+2 +3 +4 +5 +6 =21\). Da 21 ein Vielfaches von 3 ist, ist diese Zahl durch 3 teilbar.
Der Rest bei der Division einer Zahl durch 3 entspricht dem Rest, den ihre Quersumme bei der Division durch 3 hinterlässt.
Beispielsweise beträgt die Quersumme von 23518 gleich 19. Da 19 bei der Division durch 3 den Rest 1 lässt, beträgt der Rest der Zahl 23518 bei der Division durch 3 ebenfalls 1.
Beispiele:
- Bestimmen wir alle Ziffern, die für a eingesetzt werden können, wenn die fünfstellige Zahl 25a31 durch 3 ganzzahlig teilbar ist.
\(\to\) Die Quersumme der Zahl 25a31 muss ein Vielfaches von 3 sein. Es gilt also:
\[2 + 5 + a + 3 + 1 = 3k \quad(k \in Z)\]
Daraus ergibt sich \(11 + a = 3k\). Damit die Summe \(11 + a\) ein Vielfaches von 3 wird, kommen für die Ziffer a die Werte 1, 4 und 7 infrage. (Da a eine Ziffer ist, kann sie nur ganzzahlige Werte von 0 bis 9 annehmen).
- Die zweistellige Zahl ab und die fünfstellige Zahl ab8cd sind durch 3 ganzzahlig teilbar. Bestimmen wir alle möglichen Werte für die Summe der Ziffern c und d.
\(\to\) Da \(ab\) und \(ab8cd\) durch 3 teilbar sind, gilt \(a+b=3k \quad (k \in Z)\) und \(a+b+8+c+d=3p \quad (p \in Z)\). Subtrahiert man die kleinere Gleichung von der größeren, erhält man \(8+c+d=3(p- k)\). Damit die Summe \(8 + c + d\) ein Vielfaches von 3 ist, muss die Summe c + d die Werte 1, 4, 7, 10, 13 oder 16 annehmen.
- Die vierstellige Zahl 238a lässt bei der Division durch 3 den Rest 2. Bestimmen wir die größtmögliche Ziffer für a.
\(\to\) Da \(238a\) bei der Division durch \(3\) den Rest \(2\) lässt, gilt \(2 + 3 + 8 + a = 3k+2 \quad (k \in Z)\). Daraus folgt \(13- 2+a=3k \Rightarrow 11+a=3k\). Damit die Summe \(11 + a\) ein Vielfaches von \(3\) wird, ist der größtmögliche Wert für die Ziffer a gleich \(7\).
- Es seien a und b gerade Ziffern. Die fünfstellige Zahl 2ab30 lässt bei der Division durch 3 den Rest 1. Bestimmen wir unter der Bedingung a < b die Anzahl der möglichen geordneten Paare (a, b).
\( \to \) Da \(2 + a + b + 3 + 0 = 3k + 1 \quad (k \in Z) \), folgt daraus \(4+a+b=3k\). Demnach kann die Summe \(a+b\) die Werte \(2, 5, 8, 11, 14 \quad \text{oder} \quad 17\) annehmen. Da a und b jedoch gerade Ziffern sind, muss auch ihre Summe eine gerade Zahl sein. Folglich kommen für die Summe \(a + b\) nur die Werte 2, 8 oder 14 in Betracht. Unter Berücksichtigung von a < b ergeben sich die vier Paare (0, 2), (0, 8), (2, 6) und (6, 8).
Hinweis: Bei der Überprüfung der Teilbarkeit durch 3 können Ziffern oder Zifferngruppen, deren Summe ein Vielfaches von 3 ergibt, bei der Berechnung der Quersumme einfach weggelassen werden. Dies verhindert, dass der Summenwert unnötig groß wird.
Beispiel:
Bestimmen wir den Rest der Zahl \(796824983\) bei der Division durch 3.
\[ \begin{array}{c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c} 7 & 9 & 6 & 8 & 2 & 4 & 9 & 8 & 3 \\ \uparrow & & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & \\ 7 + 8 = 15 & & & & 4 + 8 = 12 \\ \end{array} \]
Wenn wir bei der Ermittlung der Quersumme die Ziffern 3, 6 und 9 ignorieren und zudem jene vier Ziffern weglassen, deren Summen 15 (= 7 + 8) und 12 (= 4 + 8) ergeben, bleibt nur die Ziffer 2 übrig. Demnach beträgt der Rest dieser Zahl bei der Division durch 3 genau 2.
Teilbarkeit durch 4:
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern (Zehner- und Einerstelle) gebildete zweistellige Zahl ein Vielfaches von 4 ist.
Beispielsweise bilden die letzten beiden Ziffern der Zahlen 140352, 7424, 35408 und 1996 jeweils die zweistelligen Zahlen 52, 24, 08 und 96. Da diese Zahlen durch 4 teilbar sind, sind auch die Ausgangszahlen durch 4 teilbar.
Der Rest bei der Division einer Zahl durch 4 entspricht dem Rest, den die aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl bei der Division durch 4 hinterlässt.
Beispielsweise bilden die letzten beiden Ziffern von $$20514$$ die zweistellige Zahl 14. Da 14 bei der Division durch 4 den Rest 2 lässt, beträgt der Rest der Zahl 20514 bei der Division durch 4 ebenfalls 2. Ebenso bilden die letzten beiden Ziffern von $$384217$$ die Zahl 17. Da 17 bei der Division durch 4 den Rest 1 lässt, ist der Rest der Zahl 384217 bei der Division durch 4 ebenfalls gleich 1.
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl 7a35b ist sowohl durch 3 als auch durch 4 ganzzahlig teilbar. Bestimmen wir die Summe aller verschiedenen Werte, die für die Ziffer a eingesetzt werden können.
Damit die Zahl \(7a35b\) durch 4 teilbar ist, muss die zweistellige Zahl 5b durch 4 teilbar sein. Für die Ziffer b kommen somit nur die Werte 2 oder 6 infrage. Untersuchen wir nun die möglichen Werte für die Ziffer a in beiden Fällen.
Da die gegebene Zahl durch 3 teilbar ist, muss ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 sein.
Für \(b=2\) erhalten wir die Zahl $$7a352$$. Aus ihrer Quersumme ergibt sich die Bedingung, dass die Summe a+5 ein Vielfaches von 3 sein muss. In diesem Fall kann die Ziffer a die Werte 1, 4 oder 7 annehmen.
Für \(b=6\) erhalten wir die Zahl $$7a356$$. Aus der entsprechenden Quersumme folgt die Bedingung \(a=3k \quad (k \in Z) \). In diesem Fall kann die Ziffer a die Werte 0, 3, 6 oder 9 annehmen. Die Summe aller möglichen Werte für die Ziffer a beträgt somit \( 1 + 4 +7+0+3+6+9=30\).
Teilbarkeit durch 5:
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre Einerstelle eine 0 oder eine 5 ist.
Beispielsweise sind die Zahlen 1990 und 2005 durch 5 teilbar. Der Rest bei der Division einer Zahl durch 5 entspricht dem Rest, den ihre Einerstelle bei der Division durch 5 hinterlässt.
Beispielsweise betragen die Reste der Zahlen 101, 1993, 384217 und 2619 bei der Division durch 5 jeweils 1, 3, 2 und 4.
Beispiel:
Die vierstellige Zahl 18ab ist sowohl durch 3 als auch durch 5 ganzzahlig teilbar. Bestimmen wir unter der Bedingung \(a < b\) den größtmöglichen Wert für die Ziffer a.
Da die gegebene Zahl durch 5 teilbar ist, muss die Einerstelle b den Wert 0 oder 5 annehmen. Wegen der Bedingung a < b kommt für b nur der Wert 5 in Betracht. Da diese Zahl auch durch 3 teilbar ist, muss ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 sein. Daraus folgt:
Da $$1+8+a+5=3k \quad (k \in Z)$$ gilt, sind die möglichen Werte für die Ziffer a gleich 1, 4 und 7. Aufgrund der Bedingung a < 5 ist der größtmögliche Wert für a somit 4.
Beispiel:
Die vierstellige Zahl 87ab lässt bei der Division durch 5 den Rest 2. Bestimmen wir den kleinstmöglichen Wert für die Ziffer a, damit diese Zahl durch 4 teilbar ist.
Damit die Zahl durch 4 teilbar ist, muss die aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl \(ab\) ein Vielfaches von 4 sein. Daraus folgt, dass \(87ab\) eine gerade Zahl sein muss. Damit in diesem Fall der Rest bei der Division durch 5 gleich 2 ist, muss für die Einerstelle b der Wert 2 eingesetzt werden. Das kleinste zweistellige Vielfache von 4, das auf 2 endet, ist 12. Folglich ist der kleinstmögliche Wert für die Ziffer a gleich 1.
Teilbarkeit durch 6:
Gerade Zahlen, die durch 3 teilbar sind, sind auch durch 6 teilbar.
Beispielsweise ist die Quersumme von 234 gleich 9 (ein Vielfaches von 3) und die Zahl ist gerade; ebenso ist die Quersumme von 38472 gleich 24 (ein Vielfaches von 3) und die Zahl ist gerade. Daher sind beide Zahlen durch 6 teilbar.
Der Rest bei der Division einer Zahl durch 6 entspricht dem verbleibenden Wert, nachdem das größtmögliche Vielfache von 6 von der Zahl subtrahiert wurde.
Beispiel:
Bestimmen wir den Rest der Zahl \(22643\) bei der Division durch 6.
Die Quersumme dieser Zahl lässt bei der Division durch 3 den Rest 2. Demnach kann eine durch 6 teilbare gerade Zahl ermittelt werden, indem ein entsprechender Term der Form \(3k + 2 \quad (k \in Z) \) von \(22643\) subtrahiert wird.
Betrachten wir die Zerlegung \(22641 + 2\). Die Zahl 22641 ist zwar durch 3 teilbar, jedoch nicht durch 6, da sie ungerade ist. Durch Subtraktion von 3 erhalten wir die nächstkleisere gerade Zahl, die durch 3 teilbar ist. Es ergibt sich somit:
$$22643 = 22638 + 5$$
Da 22638 eine gerade und durch 3 teilbare Zahl ist, ist sie vollständig durch 6 teilbar. Folglich beträgt der Rest der Zahl 22643 bei der Division durch 6 genau 5.
Beispiel:
Bestimmen wir den Rest der Zahl 568 bei der Division durch 6.
Die Quersumme von 568 lässt bei der Division durch 3 den Rest 1. Demnach kann eine durch 6 teilbare gerade Zahl ermittelt werden, indem ein entsprechender Term der Form \(3k + 1 \quad (k \in Z) \) von 568 subtrahiert wird. Es gilt also:
Da $$568 = 564 + 4$$ ist, ist die Zahl 564 durch 6 teilbar. Folglich beträgt der Rest der Zahl 568 bei der Division durch 6 genau 4.
Beispiel:
Bestimmen wir die Summe aller Ziffern, die für a eingesetzt werden können, damit die vierstellige Zahl 574a durch 6 ganzzahlig teilbar ist.
Unter der Bedingung $$5+7+4+a=3k \quad (k \in Z) $$ und da die Ziffer a gerade sein muss, kommen für a nur die Werte 2 und 8 (= 2 + 6) infrage. Somit ergibt sich die Summe dieser Werte zu 2 + 8 = 10.
Beispiel:
Bestimmen wir, wie viele Ziffern für a eingesetzt werden können, damit die vierstellige Zahl 687a ohne Rest durch 4 und 6 teilbar ist.
Die Zahl ist durch 6 teilbar, wenn \[6+8+7+a=3k \quad (k \in Z)\] erfüllt ist und die Ziffer a gerade ist. Da sie gleichzeitig auch durch 4 teilbar sein muss, muss die aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl 7a ein Vielfaches von 4 sein. Dies ist der Fall, wenn a den Wert 2 oder 6 annimmt. Für a = 2 ist die Zahl jedoch nicht durch 3 teilbar. Folglich ist die Zahl nur für a = 6 sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar, sodass genau eine Ziffer existiert.
Teilbarkeit durch 7:
Es seien \(r_0, r_1, r_2, \cdots, r_n\) die einzelnen Ziffern einer \((n+1)\)-stelligen Zahl. Damit diese Zahl durch 7 teilbar ist, muss für ein \( k \in Z\) folgende Bedingung erfüllt sein:
$$(1\cdot r_0 + 3\cdot r_1+2\cdot r_2) – (1\cdot r_3 + 3\cdot r_4+2\cdot r_5)+ \cdots= 7k$$
Beispiel:
Zeigen wir, dass die Zahl 252 durch 7 teilbar ist.
\[
\begin{array}{c c c c}
2 & 5 & 2 & \Rightarrow 1 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 2 = 21 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
2 & 3 & 1 \\
\end{array}
\]
Da 21 ein Vielfaches von 7 ist, ist die Zahl 252 durch 7 teilbar.
Beispiel:
Zeigen wir, dass die Zahl 172046 durch 7 teilbar ist.
\[
\begin{array}{c c c c c c c c}
1 & 7 & 2 & 0 & 4 & 6 &\Rightarrow (1 \cdot 6 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 0 )- (1 \cdot 2 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 1)= \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 &\\
\end{array}
\]
Beispiel:
Zeigen wir, dass die Zahl 17482591 durch 7 teilbar ist.
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
1 & 7 & 4 & 8 & 2 & 5 & 9 & 1\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &\downarrow &\\
3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1\\
\end{array}
\]
\[
\Rightarrow (1 \cdot 1 + 3 \cdot 9 + 2 \cdot 5)- (1\cdot 2 + 3 \cdot 8 + 2 \cdot 4)+ (1\cdot 7 + 3 \cdot 1)= \\
38-34+10=14 \]
Da 14 ein Vielfaches von 7 ist, ist die Zahl 17482591 durch 7 teilbar.
Der Rest bei der Division einer beliebigen Zahl durch 7 wird mit genau demselben Verfahren ermittelt. Der am Ende für das Ergebnis bestimmte Rest entspricht dem Rest der ursprünglichen Zahl bei der Division durch 7.
Beispiel:
Bestimmen wir den Rest der Zahl 2518 bei der Division durch 7.
\[
\begin{array}{c c c c}
2 & 5 & 1 & 8 & \Rightarrow (1 \cdot 8 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5) – 1 \cdot 2 =21-2=19. \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{array}
\]
Da 19 bei der Division durch 7 den Rest 5 lässt, beträgt der Rest der Zahl 2518 bei der Division durch 7 ebenfalls 5.
Teilbarkeit durch 8:
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus ihren letzten drei Ziffern (Hunderter-, Zehner- und Einerstelle) gebildete dreistellige Zahl ein Vielfaches von 8 ist.
Beispielsweise bilden die letzten drei Ziffern der Zahlen 2024, 1992 und 384112 jeweils die dreistelligen Zahlen 024, 992 und 112. Da diese durch 8 teilbar sind, sind auch die Ausgangszahlen durch 8 teilbar.
Der Rest bei der Division einer Zahl durch 8 entspricht dem Rest, den die aus den letzten beiden Ziffern gebildete dreistellige Zahl bei der Division durch 8 hinterlässt.
Beispielsweise lauten die letzten drei Ziffern von 19012 genau 012. Da 12 bei der Division durch 8 den Rest 4 lässt, beträgt der Rest ebenfalls 4.
Die letzten drei Ziffern der Zahl 384122 bilden die dreistellige Zahl 122. Da 122 bei der Division durch 8 den Rest 2 lässt, beträgt der Rest der Ausgangszahl ebenfalls 2.
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl 3205a ist eine gerade Zahl, die bei der Division durch 5 den Rest 2 lässt. Bestimmen wir den Rest dieser Zahl bei der Division durch 8.
Da die gegebene Zahl gerade ist und bei der Division durch 5 den Rest 2 lässt, muss für die Einerstelle a = 2 gelten. Die Zahl lautet somit 32052. Der Rest dieser Zahl bei der Division durch 8 entspricht dem Rest der letzten drei Ziffern, also von 052. Da 52 bei der Division durch 8 den Rest 4 ergibt, ist der gesuchte Rest ebenfalls gleich 4.
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl 39a08 ist durch 8 teilbar. Bestimmen wir die Anzahl der Ziffern, die für a eingesetzt werden können.
Da die Zahl 39a08 durch 8 teilbar ist, muss die aus den letzten drei Ziffern gebildete dreistellige Zahl a08 ein Vielfaches von 8 sein. In diesem Fall kommen für die Ziffer a die Werte 0, 2, 4, 6 und 8 infrage. Folglich gibt es genau 5 Ziffern, die für a eingesetzt werden können.
Teilbarkeit durch 9:
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme ein Vielfaches von 9 ist.
Beispielsweise beträgt die Quersumme der Zahl 11827296 $$(1+1+8+2+7+2+9+6=36)$$. Da 36 ein Vielfaches von 9 ist, ist diese Zahl durch 9 ohne Rest teilbar.
Der Rest bei der Division einer Zahl durch 9 entspricht dem Rest, den ihre Quersumme bei der Division durch 9 hinterlässt.
Beispielsweise beträgt die Quersumme der Zahl 217996 gleich 34. Da 34 bei der Division durch 9 den Rest 7 lässt, beträgt der Rest der Zahl 217996 bei der Division durch 9 ebenfalls 7.
Beispiele:
- Die fünfstellige Zahl 3a627 ist durch 9 ganzzahlig teilbar. Bestimmen wir die möglichen Werte für die Ziffer a.
Die Quersumme der Zahl 3a627 muss ein Vielfaches von 9 sein. Es gilt also:
$$3+a+6+2+7 = 9k \quad (k \in Z)$$
$$\Rightarrow 18+a=9k$$. Daraus folgt, dass für die Ziffer a die Werte \(0\) und \(9\) eingesetzt werden können.
- Die vierstellige Zahl 4a5b ist durch 9 ganzzahlig teilbar. Bestimmen wir alle möglichen Werte für die Summe a + b.
Da die Quersumme der Zahl 4a5b ein Vielfaches von 9 sein muss, gilt $$4+a+5+b= 9k \quad (k \in Z)$$
$$\Rightarrow 9+ (a+b)= 9k$$. Demnach kann die Summe a+b die Werte 0, 9 oder 18 annehmen.
- Bestimmen wir den Rest der 11-stelligen Zahl 34343434343 bei der Division durch 9.
Die Quersumme dieser Zahl berechnet sich zu \((3 \cdot 6 + 4 \cdot 5 = 38)\). Da 38 bei der Division durch 9 den Rest 2 lässt, beträgt der Rest der Zahl 34343434343 bei der Division durch 9 ebenfalls 2.
- Die fünfstellige Zahl 65a38 lässt bei der Division durch 9 den Rest 4. Bestimmen wir alle Ziffern, die für a eingesetzt werden können.
Die Quersumme der Zahl 65a38 muss um 4 größer als ein Vielfaches von 9 sein. Es gilt folglich: $$6+5+a+3+8=9k+4 \quad (k \in Z) $$
$$\Rightarrow 22+a=9k+4 \Rightarrow 18+a=9k$$. Somit können für die Ziffer a die Werte 0 und 9 eingesetzt werden.
Hinweis:
Bei der Überprüfung der Teilbarkeit durch 9 können Ziffern oder Ziffernkombinationen, deren Teilsumme ein Vielfaches von 9 ergibt, bei der Berechnung der Gesamtequersumme einfach ignoriert werden. Dies erleichtert die Berechnung, da der Summenwert klein bleibt.
Beispiel:
Bestimmen wir den Rest der 25-stelligen Zahl 7272727272727272727272727 bei der Division durch 9.
\(\Rightarrow\) Da die Summe von aufeinanderfolgenden Ziffernpaaren aus 7 und 2 in der gegebenen Zahl genau 9 ergibt, bleibt nur die Ziffer 7 übrig, wenn wir die ersten 24 Ziffern dieser Zahl unberücksichtigt lassen. Folglich beträgt der Rest dieser Zahl bei der Division durch 9 genau 7.
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl 346ab ist eine ungerade Zahl, die bei der Division durch 5 den Rest 4 lässt. Da der Rest dieser Zahl bei der Division durch 9 gleich 2 ist, bestimmen wir das Produkt der Ziffern a und b.
\(\Rightarrow\) Da der Rest der gegebenen Zahl bei der Division durch 5 gleich 4 ist, muss die Einerstelle dieser Zahl 4 oder 9 sein. Da es sich um eine ungerade Zahl handelt, gilt b = 9. Da der Rest dieser Zahl bei der Division durch 9 gleichzeitig 2 beträgt, muss die Quersumme der Zahl 346a9 um 2 größer als ein Vielfaches von 9 sein. Wenn wir die Ziffern 3 und 6, deren Summe 9 ergibt, sowie die Einerstelle 9 unberücksichtigt lassen, erhalten wir:
\[ 4+a = 9k+2 \quad (k \in Z) \Rightarrow 2+a =9k.\] Folglich ist a = 7, und das Produkt der Ziffern a und b ergibt sich zu \(7 \cdot 9 = 63\).
Teilbarkeit durch 10:
Zahlen, deren Einerstelle eine 0 ist, sind durch 10 teilbar. Beispielsweise sind die Zahlen 190, 2000 und 1235789460 durch 10 teilbar. Die Einerstelle einer beliebigen ganzen Zahl entspricht genau ihrem Rest bei der Division durch 10.
Beispielsweise betragen die Reste der Zahlen 235, 1996, 18223 und 217940 bei der Division durch 10 jeweils 5, 6, 3 und 0.
Beispiel:
Die durch 6 teilbare fünfstellige Zahl 3a27b lässt bei der Division durch 10 den Rest 4. Bestimmen wir die Summe aller Ziffern, die für a eingesetzt werden können.
Da der Rest der gegebenen Zahl bei der Division durch 10 gleich 4 ist, muss für die Einerstelle b = 4 gelten. Da diese Zahl gleichzeitig durch 6 teilbar ist, muss ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 sein. Wenn wir hierbei die Ziffern 3, 2 und 7, deren Teilsumnen ein Vielfaches von 3 bilden, unberücksichtigt lassen, gilt:
$$a+b = a+4=3k \quad (k \in Z) $$. Demnach kommen für die Ziffer a die Werte 2, 5 (= 2 + 3) und 8 (= 5 + 3) infrage. Die Summe dieser Werte beträgt $$2+5+8=15 $$.
Teilbarkeit durch 11:
Es seien \(r_0, r_1, r_2, \cdots , r_n\) die einzelnen Ziffern. Damit eine \((n + 1)\)-stellige Zahl \(r_n, r_{n-1}, \cdots , r_2, r_1, r_0\) durch 11 teilbar ist, muss für eine ganze Zahl \(k \in Z \) gelten:
$$( r_0+r_2+r_4+ \cdots ) – (r_1+r_3+r_5+ \cdots )= 11\cdot k$$ oder $$( r_1+r_3+r_5+ \cdots ) – (r_0+r_2+r_4+ \cdots )= 11\cdot k$$
Zeigen wir beispielsweise, dass die Zahl 8272671 durch 11 teilbar ist.
Wenden wir die oben genannte Regel an, indem wir den Ziffern der Zahl nacheinander abwechselnd ein Pluszeichen (+) und ein Minuszeichen (-) zuweisen – entweder von ganz rechts oder von ganz links beginnend.
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
8 & 2 & 7 & 2 & 6 & 7 & 1 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
+ & – & + & – & + & – & + \\
\end{array}
\]
\[
\to \, (8 + 7 + 6 + 1) – (2 + 2 + 7) = 22 – 11 = 11
\]
oder
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
8 & 2 & 7 & 2 & 6 & 7 & 1 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
– & + & – & + & – & + & – \\
\end{array}
\]
\[
\to \, (2 + 2 + 7 ) – (8 + 7 + 6+1) = 11 – 22 = -11
\]
Da 11 und -11 Vielfache von 11 sind, ist die Zahl 8272671 ohne Rest durch 11 teilbar.
Hieraus ist ersichtlich, dass der Beginn der Vorzeichenzuordnung mit (+) oder (-) das Ergebnis lediglich hinsichtlich des Vorzeichens verändert. Folglich kann die Ziffernmarkierung wahlweise mit (+) oder mit (-) begonnen werden.
Ein weiteres Beispiel:
Zeigen wir, dass die Zahl 3851650594 durch 11 teilbar ist.
Markieren wir die Ziffern der Zahl abwechselnd mit (+) und (-).
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
3 & 8 & 5 & 1 & 6 & 5 & 0 & 5 & 9 & 4 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow& \downarrow & \downarrow \\
+ & – & + & – & + & – & + & -&+&- \\
\end{array}
\]
\[
\to \, (3 + 5 + 6+0+9 ) – (8 + 1 + 5+5+4) = 23-23= 0
\]
Da 0 ein Vielfaches von 11 ist, ist die Zahl 3851650594 vollständig durch 11 teilbar.
Um den Rest bei der Division einer ganzen Zahl durch 11 zu bestimmen, werden deren Ziffern von rechts nach links, beginnend mit der Einerstelle, abwechselnd mit wechselnden Vorzeichen (+1, -1, +1, -1, …) multipliziert und anschließend addiert. Ist die resultierende Summe eine positive Zahl kleiner als 11, entspricht dieser Wert dem Rest der Division. Wenn die Summe kleiner als 0 oder größer als oder gleich 11 ist, werden Vielfache von 11 addiert oder subtrahiert, bis ein positiver Wert kleiner als 11 erreicht wird. Dieser Endwert ist der Rest der Zahl bei der Division durch 11.
Beispiel:
Untersuchen wir die Zahlen 32741, 7251803 und 9170;
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
3 & 2 & 7 & 4 & 1 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & + & \\
\end{array}
\]
\[
\to \, (3 + 7 + 1) – (2 + 4) = 5 \\
\]
Da das Ergebnis 5 ist, beträgt der Rest der Zahl 32741 bei der Division durch 11 genau 5.
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
7 & 2 & 5 & 1&8 & 0& 3 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & + &-&+ \\
\end{array}
\]
\to \, (7 + 5 + 8 + 3) – (2 + 1 + 0) = 20
\]
\[
\text{Da } 20 > 11 \text{ ist,}
\]
\[
20 + 11 \cdot (-1) = 9 \quad \text{und} \quad 9 < 11.
\]
Folglich beträgt der Rest der Zahl 7251803 bei der Division durch 11 genau 9;
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
9 & 1 & 7 & 0 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
– & + & – & + & \\
\end{array}
\]
\[
\to \, (1+ 0 ) – (9 + 7) = -15 \\
\]
\[
\text{Da } -15 < 0 \text{ ist,}
\]
\[
-15 + 11 \cdot 2 = 7 \quad \text{wird erhalten}
\]
und der Rest der Zahl 9170 bei der Division durch 11 beträgt somit 7;
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl 39a71 ist durch 11 teilbar. Bestimmen wir die Ziffer, die für a eingesetzt werden kann.
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
3 & 9 & a & 7 & 1 &\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & +&\\
\end{array}
\]
\[
\to \, (3+a+ 1 ) – (9 + 7) = 11\cdot k \quad (k \in Z)\\
\]
\[
\Rightarrow a-12= 11\cdot k\\
\]
\[
\begin{array}{ll}
\text{Wenn wir } k = -1 \text{ wählen,} & \Rightarrow a – 12 = -11 \Rightarrow a = 1 \quad \text{(ist eine Ziffer)} \\
\text{Wenn wir } k = 0 \text{ wählen,} & \Rightarrow a – 12 = 0 \Rightarrow a = 12 \quad \text{(ist keine Ziffer)} \\
\text{Wenn wir } k = 1 \text{ wählen,} & \Rightarrow a – 12 = 11 \Rightarrow a = 23 \quad \text{(ist keine Ziffer)}
\end{array}
\]
Da außer für k = -1 für keinen anderen Wert von k eine gültige einstellige Ziffer für a existiert, ist die gesuchte Ziffer für a gleich 1.
Beispiel:
Da die Zahl 2a4576 bei der Division durch 11 den Rest 5 hinterlässt, muss die Zahl \(2a4576 – 5 = 2a4571\) ohne Rest durch 11 teilbar sein. Folglich gilt für ein \(k \in Z\):
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
2 & a & 4 & 5 & 7 & 1&\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & +&-&\\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l l}
\to (2+4+7)-(a+5+1) = 11\cdot k\\
\Rightarrow 7-a=11\cdot k
\end{array}
\]
Für \(k=0\) erhalten wir \(7-a=0\, \Rightarrow a=7\). Für andere Werte von $k$ lässt sich keine gültige einzelne Ziffer a finden.
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl a3b73 lässt bei der Division durch 11 den Rest 8. Bestimmen wir, wie viele verschiedene Werte die Summe der Ziffern a und b annehmen kann.
Da die Zahl nach Abzug von 8 durch 11 teilbar ist, ist die Zahl \(a3b73 – 8 = a3b65\) ohne Rest durch 11 teilbar. Es gilt folglich:
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
a & 3 & b & 6 & 5 &\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & +&\\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l l}
\to (a+b+5)-(3+6) = 11\cdot k\\
\Rightarrow a+b-4=11\cdot k
\end{array}
\]
Für \(k = -1\) \(\Rightarrow a+b= -7\) (Die Summe zweier Ziffern kann nicht negativ sein.)
Für \(k = 0\) \(\Rightarrow a + b = 4\)
Für \(k = 1\) \(\Rightarrow a + b = 15\)
Für \(k = 2\) \(\Rightarrow a + b = 26\) (Die Summe zweier einzelner Ziffern kann nicht größer als 18 sein.)
Demnach gibt es zwei verschiedene Werte, die die Summe der Ziffern a und b annehmen kann, nämlich 4 und 15.
Beispiel:
Die sechstellige Zahl 7a836b lässt bei der Division durch 11 den Rest 7. Bestimmen wir die Gesamtsumme aller verschiedenen möglichen Werte für a + b.
\(\to\) Wenn wir die Ziffern der gegebenen Zahl von rechts nach links beginnend mit der Einerstelle abwechselnd mit plus eins, minus eins, plus eins, minus eins, plus eins, minus eins multiplizieren und die Ergebnisse addieren, muss diese Summe um 7 größer als ein Vielfaches von 11 sein. Demnach gilt für eine ganze Zahl k:
\begin{array}{l l l l l l l l}
7 &a & 8 & 3 & 6 & b &\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
– & + & – & +& -&+\\
\end{array}
\]
Für \(k=- 1 \) \(\Rightarrow a+b=- 8\) (Nicht möglich)
Für \(k=0\) \(\Rightarrow a+b=3\) (Möglich)
Für \(k= 1\) \(\Rightarrow a+b= 14\) (Möglich)
Für \(k=2 \) \(\Rightarrow a+b= 25\) (Nicht möglich)
Daraus ergibt sich die Gesamtsumme der verschiedenen möglichen Werte für a + b zu \(3+14=17\).
Hinweis: Wenn eine Zahl durch jede einzelne von mehreren zueinander teilerfremden Zahlen teilbar ist, dann ist sie auch durch deren Produkt teilbar. Demnach gilt:
- Eine Zahl, die durch 2 und 3 teilbar ist, ist durch 6 teilbar,
- Eine Zahl, die durch 3 und 4 teilbar ist, ist durch 12 teilbar,
- Eine Zahl, die durch 2 und 9 teilbar ist, ist durch 18 teilbar,
- Eine Zahl, die durch 3 and 8 teilbar ist, ist durch 24 teilbar,
- Eine Zahl, die durch 4 und 9 teilbar ist, ist durch 36 teilbar,
- Eine Zahl, die durch 3 und 10 teilbar ist, ist durch 30 teilbar,
- Eine Zahl, die durch 5 und 6 teilbar ist, ist durch 30 teilbar,
-
Eine Zahl, die durch 3 und 10 teilbar ist, ist durch 30 teilbar (Eine Zahl, die durch 5 und 6 teilbar ist, ist durch 30 teilbar),
- Eine Zahl, die durch 3, 4 und 5 teilbar ist, ist durch 60 teilbar.
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl a235b ist durch 12 teilbar. Bestimmen wir die Menge der Werte, die für die Ziffer a eingesetzt werden können.
Da die gegebene Zahl durch 12 teilbar ist und da \(12 = 3 \cdot 4\) gilt, wobei 3 und 4 zueinander teilerfremd sind, muss sie sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar sein. Demnach muss die aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl entweder 52 oder 56 sein (damit sie durch 4 teilbar ist). Da die Zahl durch 3 teilbar ist, muss ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 sein.
Für die Zahl a2352 gilt folglich:
\(a+2+3+5+2= 3\cdot k \quad (k\in Z) \)
\(\Rightarrow a+ 12= 3\cdot k \Rightarrow a + 0 = 3\cdot k’\).
Für a kämen die Ziffern 0, 3, 6 und 9 infrage. Wenn man jedoch 0 für a einsetzt, wäre die Zahl nicht mehr fünfstellig. In diesem Fall sind die möglichen Werte für a also 3, 6 und 9.
Für die Zahl a2356 gilt:
\(a+2+3+5+6= 3\cdot k \quad (k \in Z)\)
\(\Rightarrow a+19= 3\cdot k \Rightarrow a+1 = 3\cdot k“\).
Die Ziffern, die für a eingesetzt werden können, sind 2, 5 und 8. Demnach ergibt sich die Lösungsmenge für die Ziffer a zu { 2, 3, 5, 6, 8, 9 }.
Beispiel:
Die fünfstellige Zahl a235b ist durch 12 teilbar. Bestimmen wir die Menge der Werte, die für die Ziffer a eingesetzt werden können.
\(\to\) Da die gegebene Zahl durch 12 teilbar ist,
und da \(12 = 3 \cdot 4\) gilt und 3 und 4 zueinander teilerfremd sind, muss sie auch durch 3 und 4 teilbar sein. Demnach muss die aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl entweder 52 oder 56 sein (damit sie durch 4 teilbar ist). Da die Zahl durch 3 teilbar ist, muss ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 sein.
Für die Zahl a2352 gilt folglich:
\(a+2+3+5+2= 3\cdot k \quad (k \in Z) \quad \Rightarrow a+12= 3k\).
Für a kämen die Ziffern 0, 3, 6 und 9 infrage. Wenn man jedoch 0 für a einsetzt, wäre die Zahl nicht mehr fünfstellig. In diesem Fall sind die möglichen Werte für a also 3, 6 und 9.
Für die Zahl a2356 gilt:
\(a+2+3+5+6= 3\cdot k \quad (k \in Z) \quad \Rightarrow a+19= 3\cdot k \). Die Ziffern, die für a eingesetzt werden können, sind 2, 5 und 8. Demnach ergibt sich die Lösungsmenge für die Ziffer a zu { 2, 3, 5, 6, 8, 9 }.
Teilbarkeit durch 25:
Zahlen, deren letzte beide Ziffern (Zehner- und Einerstelle) eine zweistellige Zahl bilden, die ein Vielfaches von 25 ist, sind durch 25 teilbar.
Beispielsweise sind die Zahlen 300, 1425, 26750 und 1975 durch 25 teilbar.
Frage 32:
Es seien a und b Ziffern, wobei ab eine zweistellige Zahl darstellt.
\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &ab \;\;\\
\quad &\vdots\\
-\;\; \\
\hline
&\quad 2 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad b \\
\hline
\quad 3
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]
Wie groß ist die Summe aller möglichen Werte, die die Zahl ab annehmen kann?
\[ \text{A)} 29 \quad \text{B) } 41 \quad \text{C) } 43 \quad \text{D) } 55 \quad \text{E) } 64 \]
Lösung:
Gemäß der gegebenen Division muss der Rest kleiner als der Divisor sein, folglich gilt b > 2. Wenn wir die Divisionsgleichung aufstellen, erhalten wir:
\[
ab=3\cdot b +2 \Rightarrow 10\cdot a + b = 3\cdot b+ 2
\Rightarrow 10\cdot a = 2\cdot b + 2 \Rightarrow 5\cdot a= b+1
\]
Suchen wir nun nach den Ziffern a und b, die diese Gleichung erfüllen, um die Werte für ab zu ermitteln.
\[
\text{Für } a= 1 \Rightarrow b= 4 \quad \text{und} \quad ab \rightarrow 14
\]
\[
\text{Für } a= 2 \Rightarrow b= 9 \quad \text{und} \quad ab \rightarrow 29
\]
\[
\text{Für } a= 3 \Rightarrow b= 14 \quad \text{(keine einzelne Ziffer)}
\]
Folglich beträgt die Summe der Werte, die ab annehmen kann, \(14 + 29 = 43\).
\({\textbf{Antwort: C}}\)
Frage 33:
\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &x \;\;\\
\quad &\vdots\\
-\;\; \\
\hline
&\quad y \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 11 \\
\hline
\quad 13
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]
In der oben dargestellten Division lässt die natürliche Zahl x bei der Division durch 10 den Rest 8. Wie groß ist demnach der Rest, wenn das Produkt x $\cdot$ y durch 9 geteilt wird?
\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 3 \quad \text{E) } 2 \]
Lösung:
Da der Rest von x bei der Division durch 10 gleich 8 ist, muss die Einerstelle der natürlichen Zahl x eine 8 sein. Zudem muss der Rest y kleiner als der Divisor 11 sein. Stellen wir die entsprechende Divisionsgleichung auf, so erhalten wir:
\(x=11\cdot 13 + y \Rightarrow\) \( x = 143+ y \)
Damit die Einerstelle von x gleich 8 ist, muss y = 5 sein. Daraus folgt x = 148. Der Rest der Zahl x $\cdot$ y = 740 bei der Division durch 9 entspricht dem Rest ihrer Quersumme bei der Division durch 9. Somit beträgt der Rest von 7 + 4 + 0 = 11 bei der Division durch 9 genau 2.
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 34:
\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &65\dots \;\;\\
\quad &\vdots\\
-\;\; \\
\hline
&\quad .. \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 3x \\
\hline
\quad 1\dots
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]
In der obigen Division steht x für eine Ziffer. Welcher der folgenden Werte kann x demnach nicht annehmen?
\[ \text{A)} 2 \quad \text{B) } 3 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 6 \]
Lösung:
Setzen wir versuchsweise 2 für x ein und prüfen wir den Quotienten.
\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &65\dots \;\;\\
\quad &64\;\;\;\;\;\;\; \\
-\;\; \\
\hline
&\quad 1.. \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 32 \\
\hline
\quad 2.
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]
Wie man sieht, wird die erste Ziffer des Quotienten (die am weitesten links stehende, zuerst berechnete Ziffer) zu einer 2, wenn man x durch 2 ersetzt. In der vorgegebenen Divisionsaufgabe lautet die erste Ziffer des Quotienten jedoch 1. Aus diesem Grund muss x einen Wert größer als 2 haben. Folglich kann x nicht gleich 2 sein.
\({\textbf{Antwort: A}}\)
Frage 35:
Da B1 eine zweistellige Zahl ist, wird folgende Division vorgegeben:
\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad A \;\;\\
-\quad \vdots \;\; \\
\hline
\quad 4 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad B1 \\
\hline
\quad 6
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]
Wie groß ist demnach der Rest, wenn die natürliche Zahl A durch 12 geteilt wird?
\[ \text{A)} 7 \quad \text{B) } 8 \quad \text{C) } 9 \quad \text{D) } 10 \quad \text{E) } 11 \]
Lösung:
Stellen wir die Divisionsgleichung für diese Operation auf:
\(A=6\cdot B1 +4 \Rightarrow A=6\cdot (10\cdot B+ 1)+4\)
\(A= 60\cdot B+10 \) wird erhalten.
Da \(60\cdot B\) ohne Rest durch 12 teilbar ist, beträgt der Rest der natürlichen Zahl A bei der Division durch 12 genau 10.
\({\textbf{Antwort: D}}\)
Frage 36:
\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad 2 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad B+1 \\
\hline
\quad 3
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad \text{und} \;\; \;\; \;\; \;\; \;\;
\end{array}
\begin{array}{C}
\quad &B \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad 1 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 5 \\
\hline
\quad C-1
\\
\\
\end{array}
\end{array} \]
Was ist gemessen an den obigen Divisionen der Wert von C ausgedrückt in Abhängigkeit von A?
\[ \text{A)} \frac{A-7}{15} \quad \text{B) } \frac{A+7}{15} \quad \text{C) } \frac{A-5}{7} \quad \text{D) } \frac{A+11}{15} \quad \text{E) } \frac{A-3}{15} \]
Lösung:
Stellen wir die Divisionsgleichungen für die gegebenen Operationen auf:
\[
A=3\cdot (B+1)+2 \quad \text{und} \quad B=5\cdot (C-1)+1
\]
\[
A=3\cdot B +5 \quad \text{und} \quad B=5\cdot C-4
\]
Wenn wir den Wert für B, \(B=5\cdot C-4\), in die Gleichung \(A=3\cdot B +5\) einsetzen:
\[
A=3\cdot (5\cdot C-4) +5 \Rightarrow A=15\cdot C-7
\]
Daraus ergibt sich durch Umstellung nach C:
\[
C= \frac{A+7}{15}
\]
\({\textbf{Antwort: B}}\)
Frage 37:
Die dreistellige Zahl a2b ist ohne Rest durch 12 teilbar. Wie viele verschiedene Werte kann a demnach annehmen?
\[ \text{A)} 3 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 7 \quad \text{D) } 8 \quad \text{E) } 9 \]
Lösung:
Da \(12 = 3 \cdot 4\) gilt und 3 und 4 zueinander teilerfremd sind, müssen Zahlen, die durch 12 teilbar sind, auch durch 3 und 4 teilbar sein. Damit die Zahl a2b durch 4 teilbar ist, kann b demnach durch 0, 4 oder 8 ersetzt werden. Damit die Zahl a2b durch 3 teilbar ist, muss die Quersumme a + 2 + b ein Vielfaches von 3 sein. Bestimmen wir nun die Werte für a unter diesen Bedingungen:
Für \(b = 0 \Rightarrow a \in \{1, 4, 7\}\)
Für \(b = 4 \Rightarrow a \in \{3, 6, 9\}\)
Für \(b = 8 \Rightarrow a \in \{2, 5, 8\}\)
Folglich lautet die Menge der Werte, die a annehmen kann, \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}\). Es können somit 9 verschiedene Werte für a eingesetzt werden.
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 38:
Die dreistellige Zahl 3ab, deren Ziffern alle voneinander verschieden sind, ist durch 15 teilbar. Wie groß ist die Summe aus dem größten und dem kleinsten Wert, den die Zahl 3ab annehmen kann?
\[ \text{A)} 665 \quad \text{B) } 675 \quad \text{C) } 690 \quad \text{D) } 705 \quad \text{E) } 735 \]
Lösung:
Da \(15 = 3 \cdot 5\) gilt (wobei 3 und 5 zueinander teilerfremd sind), müssen Zahlen, die durch 15 teilbar sind, auch durch 3 und 5 teilbar sein. Damit die Zahl 3ab durch 5 teilbar ist, muss demnach b = 0 oder b = 5 gelten.
Damit diese Zahl durch 3 teilbar ist, muss die Quersumme 3 + a + b ein Vielfaches von 3 sein. Suchen wir nun unter Berücksichtigung verschiedener Werte für a nach der größten und der kleinsten Zahl, die diese Bedingungen erfüllen, wobei alle Ziffern unterschiedlich sein müssen:
Für b = 0: die größte Zahl ist 390, die kleinste Zahl ist 360
Für b = 5: die größte Zahl ist 375, die kleinste Zahl ist 315
Die Summe aus der absolut größten und der kleinsten dieser vier Zahlen beträgt somit 390 + 315 = 705
\({\textbf{Antwort: D}}\)
Frage 39:
Die vierstellige Zahl 53ab lässt sowohl bei der Division durch 4 als auch durch 5 den Rest 2. Wie groß ist demnach die Summe der Werte, die für a eingesetzt werden können?
\[ \text{A)} 11 \quad \text{B) } 14 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 18 \quad \text{E) } 20 \]
Lösung:
Da die Zahl 53ab bei der Division durch 4 und 5 den Rest 2 lässt, ist die Zahl nach Abzug von 2 ohne Rest durch 4 und 5 teilbar.
Da der Rest der Zahl 53ab bei der Division durch 5 gleich 2 ist, kann der Wert von b entweder 2 oder 7 sein. Da die Zahl abzüglich 2 sowohl durch 4 als auch durch 5 teilbar ist, muss diese resultierende Zahl eine gerade Zahl sein. Daher kann b nur den Wert 2 annehmen. In diesem Fall lautet die gegebene Zahl 53a2 und die Zahl abzüglich 2 lautet 53a0.
Damit die Zahl 53a0 durch 4 teilbar ist, können für a demnach die Werte 0, 2, 4, 6 und 8 eingesetzt werden, und die Summe dieser Werte beträgt 20.
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 40:
Wie groß ist die Differenz zwischen der größten dreistelligen Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern, die durch 6 teilbar ist, und der kleinsten dreistelligen Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern, die durch 4 teilbar ist?
\[ \text{A)} 878 \quad \text{B) } 880 \quad \text{C) } 882 \quad \text{D) } 884 \quad \text{E) } 886 \]
Lösung:
Die beiden den Bedingungen entsprechenden Zahlen lauten 984 und 104. Die Differenz zwischen diesen beiden Zahlen beträgt somit 880.
\({\textbf{Antwort: B}}\)
Frage 41:
Die fünfstellige Zahl 7a0b4, deren Ziffern alle voneinander verschieden sind, lässt bei der Division durch 8 den Rest 2. Wie groß ist für den größtmöglichen Wert der Zahl 7a0b4 die Summe a + b?
\[ \text{A)} 17 \quad \text{B) } 16 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 14 \quad \text{E) } 12 \]
Lösung:
Gemäß den Angaben in der Aufgabe muss die Zahl abzüglich 2, also 7a0b2, eine Zahl sein, die ohne Rest durch 8 teilbar ist. (Hinweis: Wenn 7a0b4 den Rest 2 lässt, bedeutet das ebenso, dass die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl 0b4 den Rest 2 lässt, sodass \(0b4 – 2 = 0b2\) ein Vielfaches von 8 sein muss).
Damit diese Zahl durch 8 teilbar ist, muss die dreistellige Zahl 0b2 ein Vielfaches von 8 sein. Für b kann daher 3 oder 7 eingesetzt werden. Da alle Ziffern der Zahl voneinander verschieden sein müssen, scheidet die 7 aus (da sie bereits als erste Ziffer vorkommt). Somit hat die Zahl die Form 7a034.
Damit diese Zahl ihren maximalen Wert annimmt, müssen wir a = 9 wählen. Demnach beträgt die den Bedingungen entsprechende Summe a + b genau 9 + 3 = 12.
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 42:
Es seien a und b Ziffern. Die sechsstellige Zahl 672a5b ist eine gerade Zahl, die sowohl bei der Division durch 5 als auch durch 9 den Rest 1 lässt. Wie groß ist demnach a?
\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 2 \quad \text{E) } 1 \]
Lösung:
Da die gegebene Zahl eine gerade Zahl ist, die bei der Division durch 5 den Rest 1 lässt, muss der Wert von b gleich 6 sein. Da der Rest dieser Zahl bei der Division durch 9 ebenfalls 1 beträgt, ist ihre Quersumme um 1 größer als ein Vielfaches von 9. Folglich gilt für ein \(k \in Z \):
\(6 + 7 + 2 + a + 5 + 6 \equiv 9k+1 \Rightarrow 26 + a \equiv 9k + 1 \Rightarrow 25 + a \equiv 9k \Rightarrow 7+a \equiv 9k‘ \)
Für k‘ = 1 erhalten wir somit a = 2.
\({\textbf{Antwort: D}}\)
Frage 43:
Die fünfstellige Zahl baa4b lässt bei der Division durch 5 den Rest a. Da diese Zahl durch 4 teilbar ist, wie groß ist die Summe der Werte, die a annehmen kann?
\[ \text{A)} 12 \quad \text{B) } 10 \quad \text{C) } 7 \quad \text{D) } 6 \quad \text{E) } 4 \]
Lösung:
Da die Zahl baa4b durch 4 teilbar ist, können für b die Werte 0, 4 und 8 eingesetzt werden. Wenn jedoch b = 0 wäre, wäre die Zahl nicht mehr fünfstellig, weshalb für b nur die Werte 4 oder 8 infrage kommen.
Da die für a möglichen Werte den Resten dieser Zahl bei der Division durch 5 entsprechen, ergeben sich für a in Abhängigkeit von b folgende Werte: Für b = 4 erhalten wir a = 4, und für b = 8 erhalten wir a = 3 (da die Einerstelle 8 ist, beträgt der Rest bei der Division durch 5 genau 3). Demnach beträgt die Summe der Werte, die a annehmen kann, 4 + 3 = 7.
\({\textbf{Antwort: C}}\)
Frage 44:
Da eine ganze Zahl A durch 111 teilbar ist, durch welche der folgenden Zahlen ist sie unweigerlich immer teilbar?
\[ \text{A)} 2 \quad \text{B) } 3 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 6 \]
Lösung:
Es sei das Ergebnis von A dividiert durch 111 gleich x.
\[\frac{A}{111} = x \in Z \Rightarrow A = 111 \cdot x\]
Da die Zahl 111 stets durch 3 teilbar ist, ist die Zahl A = 111 $\cdot$ x ebenfalls immer durch 3 teilbar.
\({\textbf{Antwort: B}}\)
Frage 45:
Die zweistellige Zahl xy ist durch 9 teilbar. Wie groß ist demnach der Rest bei der Division der vierstelligen Zahl 7x6y durch 9?
\[ \text{A)} 4 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 7 \quad \text{E) } 8 \]
Lösung:
Da die Zahl xy durch 9 teilbar ist, stellt die Summe ihrer Ziffern x + y ein Vielfaches von 9 dar. Da der Rest der Zahl 7x6y bei der Division durch 9 dem Rest ihrer Quersumme bei der Division durch 9 entspricht, gilt:
7 + 6 + x + y = 13 + (x + y) = 4 + 9 + (x + y). Folglich beträgt der Rest dieser Zahl bei der Division durch 9 genau 4.
\({\textbf{Antwort: A}}\)
Frage 46:
Die Zahl 2a55a ist eine fünfstellige gerade Zahl, die bei der Division durch 3 den Rest 2 lässt. Wie groß ist demnach der Rest, wenn die zwanzigstellige Zahl aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa durch 9 geteilt wird?
\[ \text{A)} 4 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 7 \quad \text{E) } 8 \]
Lösung:
Da der Rest der Zahl 2a55a bei der Division durch 3 gleich 2 ist, gilt:
\(2+a+5+5+a = 3\cdot k +2 \Rightarrow 12+2\cdot a =3\cdot k +2 \Rightarrow 10+2a= 3\cdot k \quad (k \in Z) \).
Demnach sind die für a möglichen Werte 1, 4 und 7. Da die gegebene Zahl eine gerade Zahl ist, muss a = 4 sein. Demzufolge entspricht der Rest der zwanzigstelligen Zahl
44444444444444444444 bei der Division durch 9 (welcher dem Rest ihrer Quersumme bei der Division durch 9 entspricht) dem Rest des Produkts 20 $\cdot$ 4 bei der Division durch 9. Da 20 $\cdot$ 4 = 80 gilt und die Quersumme daraus 8 + 0 = 8 beträgt (bzw. 80 = 9 $\cdot$ 8 + 8), ist der Rest dieser Zahl bei der Division durch 9 gleich 8.
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 47:
Die durch 11 teilbare 7-stellige Zahl a25b38c lässt bei der Division durch 10 den Rest 4.
Wie viele verschiedene Werte kann die Differenz a – b demnach annehmen?
\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 3 \quad \text{E) } 2 \]
Lösung:
Da die gegebene Zahl bei der Division durch 10 den Rest 4 lässt, lautet die Einerstelle (c) dieser Zahl 4. Da die Zahl a25b384 durch 11 teilbar ist, führt die Anwendung der Teilbarkeitsregel für 11 zu folgendem Ansatz:
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
a & 2 & 5 & b & 3 & 8 & 4 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & + & – & + \\
\end{array}
\]
\[
\to (a+5+3+4)-(2+b+8)= 11\cdot k\Rightarrow a-b+2=11\cdot k \quad (k \in Z)
\]
Für \(k = -1 \quad \Rightarrow a-b= -13 \rightarrow \) nicht möglich.
Für \(k = 0 \quad \Rightarrow a-b= -2 \rightarrow \) möglich.
Für \(k = 1 \quad \Rightarrow a-b= 9 \rightarrow \) möglich.
Für \(k = 2 \quad \Rightarrow a-b= 20 \rightarrow \) nicht möglich.
Es ist zu beachten, dass der kleinste mögliche Wert für die Differenz zweier Ziffern -9 und der größte mögliche Wert 9 beträgt. Folglich kann die Differenz a – b genau zwei verschiedene Werte annehmen.
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 48:
Die fünfstellige Zahl abcd8 lässt bei der Division durch 11 den Rest 5, und es gilt d – a = 3. Wie groß ist der Wert der Differenz b – c?
\[ \text{A)} -2 \quad \text{B) } -1 \quad \text{C) } 0 \quad \text{D) } 1 \quad \text{E) } 2 \]
Lösung:
Da die Zahl abcd8 bei der Division durch 11 den Rest 5 lässt, ist die Zahl nach Abzug von 5 (also die Zahl abcd3) ohne Rest durch 11 teilbar.
Wenden wir demnach das Verfahren gemäß der Teilbarkeitsregel für 11 an:
\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
a & b & c & d & 3 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
+ & – & + & – & + \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\to (a+c+3)-(b+d)= 11\cdot k \quad (k \in Z)\\
\Rightarrow a-d+3+c-b=11\cdot k \\
\Rightarrow -(d-a)+3+c-b= 11\cdot k \\
\Rightarrow -3+3+c-b= 11\cdot k \\
\Rightarrow c-b = 11\cdot k \Rightarrow b-c= -11 \cdot k
\end{array}
\]
Für \(k = 1 \quad \Rightarrow b-c = -11 \rightarrow \) nicht möglich \\
Für \(k = 0 \quad \Rightarrow b-c = 0 \rightarrow \) möglich \\
Für \(k = -1 \quad \Rightarrow b-c = 11 \rightarrow \) nicht möglich
Demnach beträgt der Wert der Differenz b – c genau 0.
\({\textbf{Antwort: C}}\)
Frage 49:
Wobei a und b Ziffern sind,
\[\frac{a0b}{30}+ \frac{3}{5}\]
Wenn dieser Ausdruck einer natürlichen Zahl entspricht, wie groß ist dann b?
\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 3 \quad \text{E) } 2 \]
Lösung:
\[\frac{a0b}{30}+ \frac{3}{5} = \frac{a0b+18}{30} \in N\]
Folglich muss die Zahl a0b + 18 durch 30 teilbar sein. Da \(30 = 3 \cdot 10\) gilt, muss diese Zahl sowohl durch 3 als auch durch 10 teilbar sein. Demnach muss die Einerstelle der Zahl a0b + 18 gleich 0 sein. Dies erfordert, dass b den Wert 2 hat.
\({\textbf{Antwort: E}}\)
Frage 50:
Die vierstellige Zahl \(aaa0\) ist unweigerlich immer durch welche der folgenden Zahlen teilbar?
\[ \text{A)} 8 \quad \text{B) } 12 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 18 \quad \text{E) } 20 \]
Lösung:
Da die letzte Ziffer der Zahl \(aaa0\) eine 0 ist, ist diese Zahl immer durch 5 und 10 teilbar. Da die Quersumme dieser Zahl 3a beträgt, ist sie ebenfalls immer durch 3 teilbar. Da eine Zahl, die durch zwei zueinander teilerfremde Zahlen teilbar ist, auch durch deren Produkt teilbar ist (und da 3 und 5 zueinander teilerfremd sind), ist die Zahl aaa0 somit auch immer durch 15 teilbar.
\({\textbf{Antwort: C}}\)