Positive und negative Zahlen
Zahlen, die streng größer als null sind, heißen positiv; Zahlen, die streng kleiner als null sind, nennt man negativ.
- Die Summe zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen behält ihr gemeinsames Vorzeichen. Die Summe zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen übernimmt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
- Das Produkt oder der Quotient zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist stets positiv; das Produkt oder der Quotient zweier Zahlen mit ungleichen Vorzeichen ist stets negativ.
- Jede von Null verschiedene reelle Zahl, die mit einem geraden Exponenten potenziert wird, ergibt ein positives Resultat. Bei einem ungeraden Exponenten bleibt eine positive Basis positiv, während eine negative Basis ein negatives Ergebnis liefert.
- Das Vorzeichen der Differenz zweier Zahlen wird nicht durch deren einzelne Vorzeichen bestimmt, sondern lässt sich direkt aus ihrer Größenrelation wie folgt ableiten:
\begin{equation}a>b \Rightarrow a-b>0, \quad a<b \Rightarrow a-b<0\end{equation}
$$\Rightarrow \text{Sei } a – b = x$$
$$\text{Dann gilt:}$$
$$ \text{Wenn } a > b, \text{ ist } x \text{ positiv.} $$
$$ \text{Wenn } a < b, \text{ ist } x \text{ negativ.} $$
Beispiel:
Seien $a$, $b$ und $c$ ganze Zahlen. Unter den Bedingungen $a \cdot b = 28$ und $b \cdot c = 35$ bestimmen wir den kleinsten und größten Wert für die Summe $a+b+c$.
$$a \cdot b = 28 \implies 1 \cdot 28 = 2 \cdot 14 = 4 \cdot 7$$
$$a \cdot b = 28 \implies (-1) \cdot (-28) = (-2) \cdot (-14) = (-4) \cdot (-7)$$
$$b \cdot c = 35 \implies 1 \cdot 35 = 5 \cdot 7$$
$$b \cdot c = 35 \implies (-1) \cdot (-35) = (-5) \cdot (-7)$$
Da $b$ in beiden Gleichungen als gemeinsamer Teiler auftritt, kommen für $b$ die ganzzahligen Werte $1$, $-1$, $7$ oder $-7$ in Frage. Entsprechend ergeben sich für $a$ die Werte $28$, $-28$, $4$ oder $-4$;
für $c$ lauten die Werte analog $35$, $-35$, $5$ oder $-5$. Daraus ermitteln wir die Extremwerte für die Summe $a + b + c$ wie folgt:
Der maximale Wert beträgt: $$1+28+35=64$$ Der minimale Wert beträgt: $$ (-1)+(-28)+(-35)=-64 $$