Polarkoordinaten

 

Ein ebenes Koordinatensystem, das durch zwei sich im Ursprung rechtwinklig schneidende Zahlengeraden gebildet wird, nennen wir ein kartesisches Koordinatensystem. Ein beliebiger Punkt P in dieser Ebene wird durch ein geordnetes Paar (x, y) eindeutig bestimmt.

Alternativ betrachten wir einen festen Punkt O, den man als Pol (Ursprung) bezeichnet, sowie einen vom Pol ausgehenden Strahl Ox, den man Polarachse nennt. Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt P der Ebene mit dem Pol O, so bezeichnen wir den counterclockwise gemessenen Winkel zwischen der Strecke OP und der Polarachse Ox mit \(\theta\).

Gilt \(|OP| = r\), lässt sich der Punkt P durch die Kenntnis von \(r\) und \(\theta\) exakt festlegen. Diese Werte \(r\) und \(\theta\) heißen Polarkoordinaten des Punktes P, geschrieben als P(r, \(\theta\)).

 

 

Beispiele:

 

• 

 

 

• 

 

• 

 

 

Aus dem rechtwinkligen Dreieck zAO in der nebenstehenden Abbildung ergibt sich:

\[
|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \qquad \tan \theta = \frac{b}{a}
\]

\[
\cos \theta = \frac{a}{|z|} \Rightarrow a = |z| \cos \theta
\]

\[
\sin \theta = \frac{b}{|z|} \Rightarrow b = |z| \sin \theta
\]

Setzt man diese Ausdrücke für a und b in die algebraische Form \( z = a + bi \) ein, erhält man die polare (trigonometrische) Darstellung komplexer Zahlen.

 

 

\[
z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)
\]

 

Hierbei kann die abkürzende Schreibweise \( z = |z| \text{cis} \theta \) verwendet werden. Eine komplexe Zahl lässt sich somit leicht in Polarkoordinaten überführen, wenn ihr Betrag und ihr Argument bekannt sind.

 

Beispiel:

 

Für \( z = -\sqrt{3} + i \):

\[
\arg(z) = 150^\circ + 360^\circ \cdot k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

\[
\arg(z) = -210^\circ \quad (\text{für } k = -1)
\]

\[
\text{Arg}(z) = 150^\circ \quad (\text{Hauptwert des Arguments für } k = 0)
\]

Beispiel:

 

Stellen Sie die komplexe Zahl \( z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) in Polarkoordinaten dar.

 

\[
|z| = \sqrt{ (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} } = 2
\]

Klammert man den Betrag \( |z| \) aus der Zahl \( z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) aus, erhält man:

\[
z = 2\left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
\]

Da \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) gilt, folgt:

\[
\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad
\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 45^\circ
\]

Daraus ergibt sich die Polardarstellung:

\[
z = 2(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ) = 2\,\text{cis}\,45^\circ
\]

 

Beispiel:

 

Stellen Sie die komplexe Zahl \( z = -\sqrt{3} + i \) in Polarkoordinaten dar.

 

\[
|z| = \sqrt{ (-\sqrt{3})^{2} + 1^{2} } = 2
\]

Ausklammern des Betrags \( |z| = 2 \) liefert:

\[
z = 2\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} \right)
\]

Wegen \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) gilt:

 

 

 

 

 

 

\[
\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\qquad \text{und } \quad
\sin\theta = \frac{1}{2}
\]

\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = \frac{5\pi}{6} \quad (150^\circ)
\]

Daraus folgt:

\[
z = 2\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}\right)
= 2\,\text{cis}\,\frac{5\pi}{6}
\]

 

Beispiel:

 

 

Stellen Sie die komplexe Zahl \( z = -1 – i \) in Polarkoordinaten dar.

 

\[
|z| = \sqrt{ (-1)^{2} + (-1)^{2} } = \sqrt{2}
\]

Ausklammern des Betrags \( |z| = \sqrt{2} \) aus \( z = -1 – i \) ergibt:

 

\[
z = \sqrt{2}\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

 

Da \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) ist, gilt:

 

 

\[
\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad
\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}
\]

\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 225^\circ \quad \left(\frac{5\pi}{4}\right)
\]

Daraus folgt:

\[z = \sqrt{2}(\cos 225^\circ + i\sin 225^\circ ) = \sqrt{2} \,\text{cis}\,225^\circ \]

 

Beispiel:

 

Stellen Sie die komplexe Zahl \( z = 3 \ – \ 3\sqrt{3}\, i \) in Polarkoordinaten dar.

 

\[
|z| = \sqrt{ 3^{2} + (-3\sqrt{3})^{2} } = 6
\]

Ausklammern des Betrags \( |z| = 6 \) ergibt:

\[
z = 6\left( \frac{3}{6} \ – \ \frac{3\sqrt{3}}{6} i \right)
= 6\left( \frac{1}{2} + i\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)
\]

Wegen \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) gilt:

\[
\cos\theta = \frac{1}{2}, \qquad
\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 300^\circ \quad \left(\frac{5\pi}{3}\right)
\]

Daraus folgt:

\[
z = 6(\cos 300^\circ + i\sin 300^\circ)
= 6\,\text{cis}\,300^\circ
\]

 

Beispiel:

 

Stellen Sie die komplexe Zahl \( z = -7i \) in Polarkoordinaten dar.

 

\[
|z| = \sqrt{0^{2} + (-7)^{2}} = 7
\]

Ausklammern des Betrags \( |z| \) liefert:

\[
z = 7(0 – i)
\]

Wegen \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) gilt:

\[
\cos\theta = 0, \qquad \sin\theta = -1
\]

\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 270^\circ \quad \left(\frac{3\pi}{2}\right)
\]

Daraus folgt:

\[
z = 7(\cos 270^\circ + i\sin 270^\circ)
= 7\,\text{cis}\,270^\circ
\]

 

Beispiel:

 

Stellen Sie die komplexe Zahl \( z = -5 \) in Polarkoordinaten dar.

 

\[
|z| = \sqrt{ (-5)^{2} + 0^{2} } = 5
\]

Ausklammern des Betrags \( |z| = 5 \) ergibt:

\[
z = 5(-1 + 0i)
\]

Wegen \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) gilt:

\[
\cos\theta = -1, \qquad \sin\theta = 0
\]

\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = \pi \quad (180^\circ)
\]

 

Daraus folgt:

\[
z = 5(\cos\pi + i\sin\pi)
= 5\,\text{cis}\,\pi
\]

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die algebraische Form der komplexen Zahl, die in Polarkoordinaten durch \( (\sqrt{2}, 45^\circ) \) gegeben ist.

 

\[
z = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)
\]

\[
= \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)
= 1 + i
\]

 

AUFGABE 22

 

Welchen Wert (in Grad) besitzt der Hauptwert des Arguments der komplexen Zahl \( z = 1 + \cos 36^\circ + i\sin 36^\circ \)?

\[ A) \ 9^\circ \quad B) \ 18^\circ \quad C) \ 36^\circ \quad D) \ 54^\circ \quad E) \ 72^\circ \]

 

Lösung:

 

\[
z = 1 + \cos 36^\circ + i\sin 36^\circ
\]

Mithilfe der Halbwinkelformeln folgt:
\[
z = 1 + (-1 + 2\cos^{2}18^\circ) + i\,2\sin18^\circ\cos18^\circ
\]

\[
z = 2\cos18^\circ(\cos18^\circ + i\sin18^\circ)
\]

Daraus lässt sich ablesen:
\[
|z| = 2\cos18^\circ, \qquad \text{Arg}(z) = \theta = 18^\circ
\]

\( \textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 23

 

Wie lautet das Argument der komplexen Zahl \( z = 1 + \cos 4\alpha + 2\cos 2\alpha + i\sin 4\alpha \)?

\[ A) \ \alpha \quad B) \ 2\alpha \quad C) \ 3\alpha \quad D) \ 4\alpha \quad E) \ 5\alpha \]

 

Lösung:

 

Wir transformieren den Ausdruck für \( z = 1 + \cos 4\alpha + 2 \cos 2\alpha + i \sin 4\alpha \) in die Polform \( z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \).

\[
z = 1 + \cos 4\alpha + 2 \cos 2\alpha + i \sin 4\alpha
\]
\[
= 2 \cos^2 2\alpha + 2 \cos 2\alpha + i \, 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha
\]
\[
= 2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + 1 + i \sin 2\alpha)
\]
\[
= 2 \cos 2\alpha (2 \cos^2 \alpha + i \, 2 \sin \alpha \cos \alpha)
\]
\[
= 2 \cos 2\alpha \cdot 2 \cos \alpha (\cos \alpha + i \sin \alpha)
\]
\[
= 4 \cos 2\alpha \cos \alpha (\cos \alpha + i \sin \alpha)
\]

Daraus ergibt sich:
\[
|z| = 4 \cos 2\alpha \cos \alpha \quad \text{und} \quad \text{arg}(z) = \theta = \alpha
\]

 

\( \textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 24

 

Es sei \( \alpha \) ein spitzer Winkel. Welchen Wert besitzt der Hauptwert des Arguments der komplexen Zahl \( z = \tan \alpha – i \)?

\[ A) \ \alpha \quad B) \ 2\alpha \quad C) \frac{\pi}{2} + \alpha \quad D) \pi + \alpha \quad E) \ \frac{3\pi}{2} + \alpha \]

 

Lösung:

 

Wir formen die komplexe Zahl \( z = \tan \alpha \ – \ i \) in Polarkoordinaten um.

\[
z = \tan \alpha \ – \ i \Rightarrow z = \displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \ – \ i
\]
\[
= \displaystyle \frac{\sin \alpha \ – \ i \cos \alpha}{\cos \alpha}
\]
\[
= \sec \alpha \left[ \cos\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha \right) \ – \ i \sin\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha \right) \right]
\]

Unter Verwendung von \( \cos(-\theta) = \cos \theta \) und \( -\sin \theta = \sin(-\theta) \) folgt:
\[
= \sec \alpha \left[ \cos\left( \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) \right]
\]

Demnach gilt:
\[
|z| = \sec \alpha \quad \text{und} \quad \text{arg}(z) = \theta = \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}
\]

Da \( \alpha \) ein spitzer Winkel ist, gilt:
\[
\alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} < 0
\]
Da dieser Winkel negativ ist, entspricht er nicht dem gesuchten Hauptwert des Arguments im Intervall \([0, 2\pi)\).

Durch Addition von \(2\pi\) ergibt sich der Hauptwert zu:
\[
\text{Arg}(z) = 2\pi + \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} = \displaystyle \frac{3\pi}{2} + \alpha
\]

 

\( \textbf{Antwort: E} \)

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die geometrische Ortskurve der komplexen Zahlen \( z \) in der Zahlenebene, für die \( \text{Arg}(z \ – \ 1 + i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \) gilt.

 

Es sei \( z = x + yi \).

 

\[
\text{Arg}(z \ – \ 1 + i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \text{Arg}(x + yi \ – \ 1 + i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4}
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}(x \ – \ 1 + (y + 1)i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4}
\]

Da das Argument der komplexen Zahl \( x \ – \ 1 + (y + 1)i \) im zweiten Quadranten liegt, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
\[
x \ – \ 1 < 0 \quad \text{und} \quad y + 1 > 0 \Rightarrow x < 1 \quad \text{und} \quad y > -1
\]

Zudem gilt:
\[
\tan \displaystyle \frac{3\pi}{4} = \displaystyle \frac{y + 1}{x \ – \ 1} \Rightarrow -1 = \displaystyle \frac{y + 1}{x \ – \ 1}
\]
\[
\Rightarrow y + 1 = -x + 1 \Rightarrow y = -x \quad (\text{für } x < 1 \ \text{und} \ y > -1)
\]

Demnach erhalten wir:

Die geometrische Ortskurve der Zahlen \( z \) beschreibt die Halbgerade AP (ohne den Anfangspunkt A).

Schreibt man die Gleichung als \( \text{Arg}(z \ – \ (1 – i)) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \), erkennt man, dass der Punkt A der komplexen Zahl \( 1 – i \) entspricht.

 

Fazit:

 

Es sei A der Punkt, welcher der komplexen Zahl \( a + bi \) entspricht.

Die geometrische Ortskurve der komplexen Zahlen \( z \), welche die Gleichung \( \text{Arg}(z – (a + bi)) = \alpha \) erfüllen, bildet die in der Abbildung gezeigte Halbgerade AP (wobei der Punkt A selbst ausgeschlossen ist).

 

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die geometrische Ortskurve der komplexen Zahlen \( z \), welche die Bedingung \( \text{Arg}(z + 2 \ – \ i) = \displaystyle \frac{5\pi}{4} \) erfüllen.

Die Gleichung lässt sich wie folgt umformen:
\[
\text{Arg}(z + 2 \ – \ i) = \displaystyle \frac{5\pi}{4} \Rightarrow \text{Arg}(z \ – \ (-2 + i)) = \displaystyle \frac{5\pi}{4}
\]

Ist A der Bildpunkt der komplexen Zahl \( -2 + i \), so beschreibt die Menge aller \( z \) die Halbgerade AP, die im Punkt A startet und einen Winkel von \( \displaystyle \frac{5\pi}{4} \) zur positiven reellen Achse einnimmt.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die geometrische Darstellung aller komplexen Zahlen \( z \) mit der Eigenschaft \( \text{Arg}(z \ – \ 2) – \text{Arg}(z + i) = \pi \).

Es seien \( z = x + yi \), \( \text{Arg}(z – 2) = \alpha_1 \) und \( \text{Arg}(z + i) = \alpha_2 \).

\[
\text{Arg}(z \ – \ 2) = \alpha_1 \Rightarrow \text{Arg}(x + yi – 2) = \alpha_1 \Rightarrow \text{Arg}(x \ – \ 2 + yi) = \alpha_1
\]
und
\[
\text{Arg}(z + i) = \alpha_2 \Rightarrow \text{Arg}(x + yi + i) = \alpha_2 \Rightarrow \text{Arg}(x + (y + 2)i) = \alpha_2
\]

Wegen \( \alpha_1 \ – \ \alpha_2 = \pi \) unterscheidet sich die Richtung der beiden Zeiger um genau \(180^\circ\). Dies führt zu zwei mathematisch möglichen Quadranten-Kombinationen:
\[
\pi < \alpha_1 < \displaystyle \frac{3\pi}{2} \quad \text{und} \quad 0 < \alpha_2 < \displaystyle \frac{\pi}{2}
\]
oder
\[
\displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha_1 < 2\pi \quad \text{und} \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha_2 < \pi
\]

Fall 1: Liegt das Argument des Punktes \( x – 2 + yi \) im Intervall \( \alpha_1 \in \left( \pi , \displaystyle \frac{3\pi}{2} \right) \), befindet sich dieser im dritten Quadranten:

 

 

\[
x \ – \ 2 < 0 \quad \text{und} \quad y < 0 \Rightarrow x < 2 \quad \text{und} \quad y < 0
\]
In diesem Fall muss der Winkel \( \alpha_2 \in \left( 0 , \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) \) im ersten Quadranten liegen:
\[
x > 0 \quad \text{und} \quad y + 1 > 0 \Rightarrow x > 0 \quad \text{and} \quad y > -1
\]
Zusammenfassend ergibt dies die Definitionsmenge:
\[
0 < x < 2 \quad \text{und} \quad -1 < y < 0
\]

Durch Anwendung des Tangens auf die Winkeldifferenz folgt:
\[
\tan(\alpha_1 – \alpha_2) = \tan \pi
\]
\[
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{y}{x \ – \ 2} \ – \ \displaystyle \frac{y + 1}{x}}{1 + \displaystyle \frac{y}{x \ – \ 2} \cdot \displaystyle \frac{y + 1}{x}} = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{y}{x \ – \ 2} \ – \ \displaystyle \frac{y + 1}{x} = 0
\]
\[
\Rightarrow \displaystyle \frac{xy \ – \ xy \ – \ x + 2y + 2}{(x \ – \ 2)x} = 0 \Rightarrow -x + 2y + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow y = \displaystyle \frac{x \ – \ 2}{2} \quad (\text{für } 0 < x < 2 \text{ und } -1 < y < 0)
\]

Somit beschreibt die Ortskurve von \( z \) die offene Strecke (AB) zwischen den Punkten \( B(0, -1) \) und \( A(2, 0) \).

Fall 2: Für \( \displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha_1 < 2\pi \) und \( \displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha_2 < \pi \):
Befindet sich \( x – 2 + yi \) im vierten Quadranten, gilt \( x – 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \).
Befindet sich \( x + (y + 1)i \) im zweiten Quadranten, gilt \( x < 0 \).
Da \( x > 2 \) und \( x < 0 \) einen Widerspruch darstellen, existiert in diesem Bereich keine Lösung (\( \varnothing \)).

Es gilt folglich \( \alpha_1 – \alpha_2 \neq \pi \) für diesen Bereich.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die geometrische Ortskurve der komplexen Zahlen \( z \), welche die Gleichung \( \text{Arg}(\overline{z}) + \text{Arg}(z + 2i) = \displaystyle \frac{\pi}{2} \) erfüllen.

Es seien \( z = x + yi \), \( \text{Arg}(\overline{z}) = \alpha_1 \) und \( \text{Arg}(z + 2i) = \alpha_2 \).

\[
\text{Arg}(\overline{z}) = \alpha_1 \Rightarrow \text{Arg}(x \ – \ yi) = \alpha_1
\]
und
\[
\text{Arg}(z + 2i) = \alpha_2 \Rightarrow \text{Arg}(x + yi + 2i) = \alpha_2 \Rightarrow \text{Arg}(x + (y + 2)i) = \alpha_2
\]

Aufgrund von \( \alpha_1 + \alpha_2 = \displaystyle \frac{\pi}{2} \) müssen beide Winkel im ersten Quadranten liegen:
\[
0 < \alpha_1 < \displaystyle \frac{\pi}{2} \quad \text{und} \quad 0 < \alpha_2 < \displaystyle \frac{\pi}{2}
\]

Damit \( x – yi \) im ersten Quadranten liegt (\( \alpha_1 \)), gilt:
\[
x > 0 \quad \text{und} \quad -y > 0 \Rightarrow x > 0 \quad \text{und} \quad y < 0
\]

Damit \( x + (y + 2)i \) im ersten Quadranten liegt (\( \alpha_2 \)), gilt:
\[
x > 0 \quad \text{und} \quad y + 2 > 0 \Rightarrow x > 0 \quad \text{und} \quad y > -2
\]

Die Zusammenfassung dieser Bedingungen liefert den zulässigen Wertebereich:
\[
x > 0 \quad \text{und} \quad -2 < y < 0
\]

Unter Verwendung des Kotangens-Additionstheorems gilt:
\[
\cot(\alpha_1 + \alpha_2) = \cot \displaystyle \frac{\pi}{2}
\]
\[
\Rightarrow \displaystyle \frac{\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \ – \ 1}{\cot \alpha_1 + \cot \alpha_2} = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{-y} \cdot \displaystyle \frac{x}{y + 2} \ – \ 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow \displaystyle \frac{x^2}{-y(y+2)} – 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -y^2 – 2y \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = 1 \quad (\text{wobei } x > 0 \text{ und } -2 < y < 0)
\]

Die Ortskurve aller komplexen Zahlen \( z \) bildet somit einen Halbkreis, wie in der folgenden Skizze dargestellt:

 

 

AUFGABE 25

 

Für die komplexe Zahl \( z \) gelte die Gleichung:
\[ \text{Arg} \left( \displaystyle \frac{z + i}{i} \right) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \]

Welchen Wert nimmt der Ausdruck \( \text{Re}(z) \ – \ \text{Im}(z) \) an?

\[ A) \ -1 \quad B) \ 0 \quad C) \ 1 \quad D) \ 2 \quad E) \ 3 \]

 

Lösung:

 

Es sei \( z = x + yi \). Dann entspricht der gesuchte Ausdruck \( \text{Re}(z) \ – \ \text{Im}(z) = x \ – \ y \).

\[
\text{Arg} \left( \displaystyle \frac{z + i}{i} \right) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \text{Arg} \left( \displaystyle \frac{x + yi + i}{i} \right) = \displaystyle \frac{3\pi}{4}
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}\left( \frac{x + (y + 1)i}{i} \right) = \text{Arg}\left( \frac{x}{i} + y + 1 \right) = \text{Arg}(y + 1 \ – \ xi) = \displaystyle \frac{3\pi}{4}
\]

Das Argument der komplexen Zahl \( (y + 1) – xi \) beträgt \( \displaystyle \frac{3\pi}{4} \). Wir stellen diese Zahl in der Gaußschen Zahlenebene grafisch dar:

Aus den geometrischen Verhältnissen der nebenstehenden Skizze folgt:

\[
\tan 45^\circ = \displaystyle \frac{-x}{-(y \ – \ 1)} \Rightarrow 1 = \frac{-x}{-y – 1} \Rightarrow 1 = \frac{x}{y+1}
\]
\[
\Rightarrow x = y + 1 \Rightarrow x – y = 1
\]

 

 

 

 

 

\( \textbf{Antwort: C} \)