Polynome in mehreren Variablen
Seien $x, y$ und $z$ variable Elemente. Ausdrücke der Form
\[
P(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^3 – xy + x + y + 1
\]
werden als Polynome in zwei Variablen (bivariate Polynome) bezeichnet, während Ausdrücke der Form
\[
P(x, y, z) = x^2 yz^2 – xy^2 + xz + x – z + 3
\]
als Polynome in drei Variablen (trivariate Polynome) definiert sind.
In einem Polynom mit mehreren Variablen entspricht der Grad eines einzelnen Terms der Summe der Exponenten aller in diesem Term vorkommenden Variablen. Der Gesamtgrad des Polynoms ist gleich dem maximalen Grad aller seiner Terme.
Um die Koeffizientensumme eines Multivariablenpolynoms zu bestimmen, setzt man für alle Variablen den Wert $1$ ein. Der konstante Term (das Absolutglied) wird ermittelt, indem man für alle Variablen den Wert $0$ (Null) einsetzt.
Beispiele:
$\bullet \quad$ Der Grad des Polynoms $P(x, y) = x^4 y^2 + x^5 – y^4 + xy + 3$ bestimmt sich aus dem führenden Term $x^4 y^2$:
\[ 4 + 2 = 6 \] \[\deg[P(x, y)] = 6. \]
$\bullet \quad$ Der Grad des Polynoms $P(x, y, z) = x^3 y^2 z + xyz – xy + x + z + 5$ bestimmt sich aus dem führenden Term $x^3 y^2 z$:
\[ 3 + 2 + 1 = 6 \] \[\deg[P(x, y, z)] = 6. \]
$\bullet \quad$ Für das Polynom $P(x, y, z) = x^2 yz – 2x^2 + 3yz + z + 3$ ergibt sich die Koeffizientensumme durch:
\[
P(1,1,1) = 1 – 2 + 3 + 1 + 3 = 6
\]
$\bullet \quad$ Das Absolutglied (der konstante Term) lautet entsprechend:
\[
P(0,0,0) = 3.
\]
AUFGABE 7
\[
P(x, y) = \frac{xy^3 + y^3 + xy + y^2 + y + 1}{y^2 + 1}
\]
Da der obige Ausdruck ein Polynom in zwei Variablen darstellt, wie groß ist die Koeffizientensumme des Polynoms $P(x – 1, y + 1)$?
\[
\text{A)} 6 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 2
\]
Lösung:
Die Koeffizientensumme des transformierten Polynoms $P(x – 1, y + 1)$ erhält man, indem man für die Variablen $x = 1$ und $y = 1$ einsetzt:
\[ P(1 – 1, \;\; 1 + 1) = P(0, 2). \]
Wenn man nun in die gegebene Funktionsgleichung des bivariaten Polynoms
\[
P(x, y) = \frac{xy^3 + y^3 + xy + y^2 + y + 1}{y^2 + 1}
\]
für $x = 0$ und für $y = 2$ einsetzt, erhält man direkt den Wert $P(0,2) = 3$.
\(\textbf{Antwort: D} \)