Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems
Die Menge aller Punkte in der Ebene, die alle Ungleichungen eines Systems gleichzeitig erfüllen, wird als Graph des Ungleichungssystems bezeichnet.
Um den Graphen eines Ungleichungssystems zu zeichnen, stellt man zunächst die Graphen der einzelnen im System enthaltenen Ungleichungen in demselben Koordinatensystem dar.
Die Schnittmenge (der Überlappungsbereich) dieser einzelnen Regionen bildet den Graphen des gesamten Ungleichungssystems.
Beispiel:
\[
\left.
\begin{aligned}
y \geq x^2 + 1\\
\\
y + x^2 – 4 < 0\\
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow \quad \text{Wir zeichnen den Graphen des folgenden Ungleichungssystems.}
\]
\[
\left.
\begin{aligned}
y \geq x^2 + 1 \\
\\
y +x^2 – 4 < 0\\
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow \left. \begin{aligned} y \geq x^2 + 1 \\ \\ y < -x^2 + 4 \\ \end{aligned} \right\}
\]
Beispiel:
\[
\left.
\begin{aligned}
y \geq x^2 – 1\\
\\
y < x + 1 \\
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow \quad \text{Wir zeichnen den Graphen des folgenden Ungleichungssystems.}
\]
Hinweis:
Der Graph eines zusammengesetzten Ungleichungssystems der Form \( f(x) < y < g(x) \) entspricht genau dem Bereich, der zwischen den Kurven (oder Geraden) \( y = f(x) \) und \( y = g(x) \) liegt.
Beispiel:
\[
\left.
\begin{aligned}
x^2 – 1 \leq y \leq x^2 \\
\\
y \geq 0 \\
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow \quad \text{Wir zeichnen den Graphen des folgenden Ungleichungssystems.}
\]
Dieses System setzt sich aus folgenden Bedingungen zusammen:
\(\bullet \) \(\quad\) Es schränkt den Bereich auf \( y \geq 0 \) ein, sodass nur die obere Halbebene betrachtet wird.
\(\bullet \quad\) Es beschreibt den Bereich zwischen der unteren Grenze \( y = x^2 – 1 \) und der oberen Grenze \( y = x^2 \).
Die schraffierte Fläche ist somit die Region, die die gemeinsame Bedingung
\[
x^2 – 1 \leq y \leq x^2 \quad \text{und} \quad y \geq 0
\]
erfüllt. Dieser parabolische Bandbereich wird ausschließlich im Bereich \( y \geq 0 \) dargestellt.
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