Operationen mit Polynomen
Addition und Subtraktion von Polynomen:
Die Addition oder Subtraktion von Polynomen erfolgt ausschließlich durch das Zusammenfassen der Koeffizienten von Termen mit gleichem Grad (gleichgradige Terme).
Seien $\deg[P(x)] = n$ und $\deg[Q(x)] = m$.
Wenn $n > m$ gilt, dann folgt:
\[
\deg[P(x) \pm Q(x)] = n
\]
Wenn $n = m$ gilt, dann folgt:
\[
\deg[P(x) \pm Q(x)] \leq n
\]
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Polynome:
\[
P(x) = 2x^4 + x^2 + 3x + 5,
\]
\[
Q(x) = x^3 – 2x^2 + x – 3
\]
$\bullet \quad P(x) + Q(x) = (2 + 0)x^4 + (0 + 1)x^3 + (1 – 2)x^2 + (3 + 1)x + 5 – 3$
\[
= 2x^4 + x^3 – x^2 + 4x + 2
\]
$\bullet \quad P(x) – Q(x) = (2 – 0)x^4 + (0 – 1)x^3 + (1 – (-2))x^2 + (3 – 1)x + 5 – (-3)$
\[
= 2x^4 – x^3 + 3x^2 + 2x + 8
\]
Daraus ergibt sich ersichtlich:
\[
\deg[P(x) \pm Q(x)] = 4
\]
Beispiel:
Gegeben sind die Polynome:
\[
P(x) = x^7 + x^5 + 2x^2 + x + 3,
\]
\[
Q(x) = x^7 + x^5 + x^3 + x + 1
\]
$\bullet \quad Q(x) – P(x) = x^3 – 2x^2 – 2$
Da sich die Terme mit dem höchsten Grad gegenseitig aufheben, reduziert sich der Grad:
\[
\deg[Q(x) – P(x)] = 3
\]
Multiplikation von Polynomen:
Die Multiplikation von Polynomen basiert auf der konsequenten Anwendung des Distributivgesetzes (Ausmultiplizieren).
Seien $\deg[P(x)] = n$, $\deg[Q(x)] = m$ und $r \in \mathbb{N}$:
\[
\deg[P(x) \cdot Q(x)] = n + m
\]
\[
\deg[P(Q(x))] = m \cdot n
\]
\[
\deg[(P(x))^r] = r \cdot n
\]
Beispiel:
Wenn $P(x) = 2x^2 + x + 1$ und $Q(x) = x^3 + x$ gegeben sind, gilt:
\[
P(x) \cdot Q(x) = (2x^2 + x + 1) \cdot (x^3 + x)
\]
\[
= 2x^5 + 2x^3 + x^4 + x^2 + x^3 + x
\]
\[
= 2x^5 + x^4 + 3x^3 + x^2 + x
\]
\[
\deg[P(x) \cdot Q(x)] = 2 + 3 = 5
\]
Beispiel:
Seien $\deg[P(x)] = 3$ und $\deg[Q(x)] = 5$. Wir bestimmen den Grad von:
\[
\deg[(P(x))^4 \cdot P(Q(x))]
\]
Unter Anwendung der Gradgesetze gilt:
\[
= \deg[(P(x))^4] + \deg[P(Q(x))]
\]
\[
= 4 \cdot \deg[P(x)] + \deg[P(x)] \cdot \deg[Q(x)]
\]
\[
= 4 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 27
\]
AUFGABE 10
\[
\frac{3x^4 + ax^3 – 3x^2 + 2x + b}{x^2 + x – 1}
\]
Wenn die gekürzte Form dieses Bruchs den Ausdruck $3x^2 – x + 1$ ergibt, wie groß ist dann die Summe $a + b$?
\[
\text{A)} 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]
Lösung:
Wir können den Bruch auflösen, indem wir mit dem Nenner multiplizieren:
\[
3x^4 + ax^3 – 3x^2 + 2x + b = (x^2 + x – 1) \cdot (3x^2 – x + 1)
\]
Um $a$ (den Koeffizienten von $x^3$) und $b$ (das Absolutglied) zu bestimmen, reicht es aus, gezielt diejenigen Produkte zu betrachten, die diese Potenzen erzeugen:
– Für den $x^3$-Term: $(x^2 \cdot (-x)) + (x \cdot 3x^2) = -x^3 + 3x^3 = 2x^3 \Rightarrow a = 2$
– Für das Absolutglied: $-1 \cdot 1 = -1 \Rightarrow b = -1$
Daraus ergibt sich die Summe zu $a + b = 2 + (-1) = 1$.
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 11
Wie lautet der Koeffizient des Terms vierten Grades ($x^4$) in der algebraischen Ausmultiplikation von $(2x^3 + x^2 – x + 3)^2$?
\[
\text{A)} -3 \quad
\text{B) } -2 \quad
\text{C) } -1 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]
Lösung:
Wir schreiben das Produkt als Multiplikation zweier identischer Klammern auf:
\[ (2x^3 + x^2 – x + 3)^2 = (2x^3 + x^2 – x + 3)(2x^3 + x^2 – x + 3) \]
Anstatt den gesamten Ausdruck mühsam auszumultiplizieren, bestimmen wir selektiv alle Glieder, die in der Summe $x^4$ ergeben:
\[
(2x^3 \cdot (-x)) + (x^2 \cdot x^2) + ((-x) \cdot 2x^3) = -2x^4 + x^4 – 2x^4 = -3x^4
\]
Der gesuchte Koeffizient vor dem Glied vierten Grades lautet folglich $-3$.
\(\textbf{Antwort: A} \)
Schriftliche Polynomdivision:
Seien $P(x)$ und $Q(x)$ zwei Polynome mit der Bedingung $\deg[P(x)] \geq \deg[Q(x)]$ und $Q(x) \neq 0$.
\[
\begin{array}{r|l}
P(x) & Q(x) \\
B(x) \cdot Q(x) & \rule{25mm}{0.35mm} \\
– \rule{35mm}{0.35mm} & B(x) \\
K(x) &
\end{array}
\]
Nach dem mathematischen Divisionsalgorithmus gilt:
\[
P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x) \quad \text{mit} \quad \deg[K(x)] < \deg[Q(x)]
\]
Hierbei ist $P(x)$ das Polynom (der Dividend), $Q(x)$ der Divisor (Teiler), $B(x)$ das Quotientenpolynom und $K(x)$ das Restpolynom, Gilt $K(x) = 0$, spricht man von einer Teilbarkeit ohne Rest (Gleichung geht auf).
Zudem gilt für $\deg[Q(x)] = n$ und $\deg[B(x)] = m$:
\[
\deg[P(x)] = m + n
\]
Beispiel:
Gegeben seien $\deg[P(x)] = 4$ und $\deg[Q(x)] = 3$. Wir ermitteln den Grad von:
\[
\deg \left[ \frac{5 P(x)}{P(x) + Q(x)} \right]
\]
Nach den Rechenregeln für den Polynomgrad ergibt sich:
\[
\deg[5P(x)] – \deg[P(x) + Q(x)] = 4 – 4 = 0
\]
Bei der Durchführung der schriftlichen Polynomdivision werden folgende Schritte abgearbeitet:
1. Sortieren Sie die Terme des Dividenden und des Divisors nach fallenden Potenzen (höchster Exponent zuerst).
2. Teilen Sie den Term mit dem höchsten Exponenten des Dividenden durch den Term mit dem höchsten Exponenten des Divisors, um das erste Glied des Quotienten zu erhalten.
3. Multiplizieren Sie den gesamten Divisor mit diesem neuen Glied des Quotienten und schreiben Sie das Ergebnis passend unter den Dividenden (gleichgradige Terme untereinander anordnen).
4. Subtrahieren Sie dieses Produkt vom aktuellen Dividenden, um ein neues Restpolynom zu erzeugen.
5. Wiederholen Sie das Verfahren so lange, bis der Grad des verbleibenden Restpolynoms strikt kleiner ist als der Grad des Divisors.
Beispiel:
\[
\begin{array}{r|l}
2x^3 + x^2 – 2x + 1 & x^2 + x + 1 \\
2x^3 + 2x^2 + 2x & \rule{35mm}{0.35mm} \\
– \rule{45mm}{0.35mm} & 2x-1 \\
-x^2 – 4x + 1&\\
-x^2-x-1\\
– \rule{45mm}{0.35mm} \\
-3x+2
\end{array}
\]
In diesem Fall gilt:
– Dividend: $P(x) = 2x^3 + x^2 – 2x + 1 \Rightarrow \deg[P(x)] = 3$
– Divisor: $Q(x) = x^2 + x + 1 \Rightarrow \deg[Q(x)] = 2$
– Quotient: $B(x) = 2x – 1 \Rightarrow \deg[B(x)] = 1$
– Rest: $K(x) = -3x + 2 \Rightarrow \deg[K(x)] = 1$
Es gilt sichtlich $\deg[P(x)] = \deg[Q(x)] + \deg[B(x)]$ sowie $\deg[K(x)] < \deg[Q(x)]$.
Beispiel:
\[
\begin{array}{r|l}
-4x^4+ 2x^3-3x^2+x-1 & 2x^2+x-1 \\
-4x^4-2x^3+2x^2 \phantom{aaaaaaa} & \rule{35mm}{0.35mm} \\
– \rule{65mm}{0.35mm} & -2x^2+2x- \frac{7}{2} \\
4x^3-5x^2+x-1&\\
4x^3+2x^2-2x\phantom{aa}\\
– \rule{45mm}{0.35mm} \\
-7x^2+3x-1\\
-7x^2- \frac{7}{2}x+ \frac{7}{2} \\
– \rule{45mm}{0.35mm} \\
\frac{13}{2} x- \frac{9}{2}
\end{array}
\]
Polynomdivision mittels Horner-Schema:
Das Horner-Schema stellt ein verkürztes Rechenverfahren dar, welches angewendet werden kann, wenn ein Polynom $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ durch ein lineares Polynom ersten Grades der Form $Q(x) = x – c$ geteilt wird.
Mit dem Quotienten $B(x) = b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_0$ und dem Restwert $K$ baut sich die Berechnungstabelle anhand der Nullstelle $c$ und den Koeffizienten von $P(x)$ wie folgt auf:
\[
\begin{array}{c|cccccc}
& a_n& a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_1 & a_0 \\
c & \downarrow & c \cdot b_{n-1} & c \cdot b_{n-2} & \dots & c \cdot b_1 & c \cdot b_0 \\
\hline
& a_n = b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3} & \dots & b_0 & || \quad K \\
\end{array}
\]
Die Koeffizienten berechnen sich rekursiv:
– $b_{n-1} = a_n$
– $b_{n-2} = a_{n-1} + c \cdot b_{n-1}$
– $\dots$
– $K = a_0 + c \cdot b_0$
Beispiel:
Wir bestimmen das Quotientenpolynom $B(x)$ und den Restwert $K$ für die Division von $P(x) = 3x^4 – x^3 – 2x^2 + x + 12$ durch $Q(x) = x – 2$.
Die Nullstelle des Teilers lautet $x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Wir listen alle Koeffizienten nach fallenden Potenzen auf ($3, -1, -2, 1, 12$):
\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 3 & -1 & -2 & 1 & 12 \\
2 &\downarrow & 6 & 10 & 16 & 34 \\
\hline
& 3 & 5 & 8 & 17 & || \quad 46 \\
\end{array}
\]
Der letzte Wert ($46$) ist der gesuchte Rest ($K = 46$), und die vorderen Werte bilden die Koeffizienten des Quotientenpolynoms:
\[
B(x) = 3x^3 + 5x^2 + 8x + 17
\]
Beispiel:
Wir teilen $P(x) = x^5 + x^3 – 2x^2 + 1$ durch $Q(x) = x + 1$.
Die Nullstelle lautet $x = -1$. Wichtig ist das Eintragen einer $0$ für fehlende Potenzglieder ($x^4$ und $x^1$):
\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
& 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
-1 & \downarrow & -1 & 1 & -2 & 4 & -4 \\
\hline
& 1 & -1 & 2 & -4 & 4 & || \quad -3 \\
\end{array}
\]
– Restwert: $K = -3$
– Quotient: $B(x) = x^4 – x^3 + 2x^2 – 4x + 4$
Hinweis (Warnung):
Soll ein Polynom $P(x)$ durch einen linearen Term mit führendem Koeffizienten ungleich Eins dividiert werden ($Q(x) = ax + b$), formt man diesen zu $a(x + \frac{b}{a})$ um. Man führt das Horner-Schema mit der Nullstelle $-\frac{b}{a}$ durch und dividiert im Nachgang alle Koeffizienten des intermediären Quotienten durch den Faktor $a$, um $B(x)$ zu erhalten. Der Restwert bleibt hiervon unberührt.
Beispiel:
Gesucht sind Quotient und Rest für die Division von $P(x) = 4x^4 + 5x^2 + 3x – 2$ durch $Q(x) = 2x – 1$.
Ansatz für die Nullstelle: $2(x – \frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Koeffizientenfolge: $4, 0, 5, 3, -2$.
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
& 4 & 0 & 5 & 3 & -2 \\
\frac{1}{2} & \downarrow & 2 & 1 & 3 & 3 \\
\hline
& 4 & 2 & 6 & 6 & || \quad 1 \\
\end{array}
\]
Division der resultierenden Quotientenreihe durch den Entzerrungsfaktor $2$ ergibt: $B(x) = 2x^3 + x^2 + 3x + 3$ bei einem Rest von $K = 1$.
Hinweis (Warnung):
Um die Polynomdivision bei einem quadratischen Produkt der Form $Q(x) = (ax + b)(cx + d)$ mittels Horner-Schema zu lösen, geht man sukzessive vor: Zuerst wird das Polynom $P(x)$ durch den ersten Linearfaktor geteilt, und das daraus resultierende Quotientenpolynom wird anschließend durch den zweiten Linearfaktor dividiert.
Beispiel:
Wir dividieren $P(x) = 2x^5 – x^4 – x^3 + x^2 + 1$ durch $Q(x) = x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)$.
Die jeweiligen Nullstellen lauten $x = 1$ und $x = 2$.
\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
& 2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & \downarrow & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\hline
& 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & || \quad 2 = K_1\\
2 & \downarrow& 4 & 10 & 20 & 42 & \\
\hline
& 2 & 5 & 10 & 21 & || \quad 43 = K_2 & \\
\end{array}
\]
– Quotient: $B(x) = 2x^3 + 5x^2 + 10x + 21$
– Zusammengesetzter Gesamtrest: $K(x) = K_2(x – 1) + K_1 = 43(x – 1) + 2 = 43x – 41$
AUFGABE 12
Wenn $B(x)$ das Quotientenpolynom bezeichnet, das bei der Division von $P(x) = 2x^6 + x^4 – 2x + 3$ durch $x^2 – 1$ entsteht, wie lautet der Wert von $B(1)$?
\[
\text{A)} 11 \quad
\text{B) } 10 \quad
\text{C) } 9 \quad
\text{D) } 8 \quad
\text{E) } 7
\]
Lösung:
Wir zerlegen den Divisor in lineare Faktoren: $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$. Sukzessives Horner-Schema liefert:
\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
& 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\
x = 1 & \downarrow & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 1 \\
\hline
& 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 1& || \quad 4 \\
x = -1 & \downarrow & -2 & 0 & -3 & 0 & -3 \\
\hline
& 2 & 0 & 3 & 0 & 3 & || \quad -2 \\
\end{array}
\]
Die extrahierten Koeffizienten für das Quotientenpolynom lauten $2, 0, 3, 0, 3$. Da das Einsetzen von $B(1)$ mathematisch genau der Summe aller Koeffizienten entspricht, berechnen wir:
\[
B(1) = 2 + 0 + 3 + 0 + 3 = 8
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Direkte Restbestimmung (Der Restsatz):
Möchte man ausschließlich den Rest einer Polynomdivision bestimmen, ohne den gesamten Quotienten berechnen zu müssen, nutzt man die grundlegende Identitätsgleichung:
\[ P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x) \]
Um das Restglied $K(x)$ direkt zu isolieren, wählen wir Werte für $x$, welche den Divisor zu Null machen ($Q(x) = 0$).
\[ P(x) = \underbrace{0 \cdot B(x)}_{0} + K(x) \Rightarrow P(x) = K(x) \]
1. Restbestimmung bei Division durch lineare Faktoren ($ax + b$):
Wir setzen den Teiler gleich Null: $ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$. Durch Einsetzen dieser Nullstelle in das Ausgangspolynom erhält man den konstanten Restwert:
\[
K = P\left(-\frac{b}{a}\right)
\]
Beispiel:
Wir leiten die Restberechnungsmodelle für verschiedene modifizierte Polynome bei einer Division durch $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ her:
– Der Rest von $P(x)$ geteilt durch $(x+1)$ entspricht $K = P(-1)$
– Der Rest von $P(x+2)$ geteilt durch $(x+1)$ entspricht $K = P(-1 + 2) = P(1)$
– Der Rest von $P(3x+1)$ geteilt durch $(x+1)$ entspricht $K = P(3(-1) + 1) = P(-2)$
– Der Rest von $P(2x^2 – 3x + 1)$ geteilt durch $(x+1)$ entspricht $K = P(2(-1)^2 – 3(-1) + 1) = P(6)$
Beispiel:
Wir bestimmen den Rest der Division von $P(x) = 8x^3 + 4x^2 + 2x – 1$ durch $2x – 1$.
Nullstellenansatz: $2x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Der Wert wird in $P(x)$ eingesetzt:
\[
K = P\left(\frac{1}{2}\right) = 8\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) – 1 = 1 + 1 + 1 – 1 = 2
\]
Beispiel:
Gesucht ist der Rest der Division von $P(x+2)$ durch $x – 1$, falls das Grundpolynom durch $P(x) = x^3 + x^2 + x + 5$ definiert ist.
Wir setzen den Teiler gleich Null: $x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Durch Einsetzen in das gesuchte Polynom erhalten wir die Struktur $K = P(1+2) = P(3)$. Nun bestimmen wir $P(3)$ über die Ausgangsfunktion:
\[
K = P(3) = 3^3 + 3^2 + 3 + 5 = 27 + 9 + 3 + 5 = 44
\]
Beispiel:
Wir ermitteln den Rest $K$ bei der Division von $P(x,y) = (x – y + 1)^3 + (x – y – 1)^2 + x^2 + y^2 – 2xy + 1$ durch $x – y + 2$.
Die Bedingung für den Teiler lautet $x – y + 2 = 0 \Rightarrow x – y = -2$. Wir gruppieren das Polynom geschickt um, um den Term $(x-y)$ als feste Basis zu nutzen:
\[
P(x, y) = (x – y + 1)^3 + (x – y – 1)^2 + (x – y)^2 + 1
\]
Nun ersetzen wir die Differenz $(x-y)$ überall durch den Wert $-2$:
\[
K = (-2 + 1)^3 + (-2 – 1)^2 + (-2)^2 + 1 = -1 + 9 + 4 + 1 = 13
\]
AUFGABE 13
Wie hoch ist der Restwert, wenn man das Polynom $P(x) = (x^4 – 6x^2 + 9)^{19} + x^2 – 3$ durch den Ausdruck $3x – 6$ dividiert?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Teiler auflösen: $3x – 6 = 0 \Rightarrow x = 2$. Der gesuchte Restwert ist somit $K = P(2)$. Der innere Term lässt sich mittels der zweiten binomischen Formel faktorisieren: $x^4 – 6x^2 + 9 = (x^2 – 3)^2$.
\[
P(x) = [(x^2 – 3)^2]^{19} + x^2 – 3 = (x^2 – 3)^{38} + x^2 – 3
\]
Wir setzen $x = 2$ ein:
\[
K = P(2) = (2^2 – 3)^{38} + 2^2 – 3 = (1)^{38} + 1 = 2
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 14
Gegeben sei $P(x+1) = (x – 7)^5 + x^2 – 35$. Welchen Rest hinterlässt die Division von $P(x^2 + x + 1)$ durch den Faktor $x – 2$?
\[
\text{A)} -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]
Lösung:
Wir setzen $x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Durch Einsetzen dieses Wertes in den Dividenden erhalten wir die formale Restbedingung $K = P(2^2 + 2 + 1) = P(7)$.
Um $P(7)$ mithilfe des gegebenen Funktionsterms $P(x+1)$ zu bestimmen, setzen wir das Argument gleich: $x+1 = 7 \Rightarrow x = 6$:
\[
K = P(7) = (6 – 7)^5 + 6^2 – 35 = -1 + 36 – 35 = 0
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 15
Gegeben ist der mathematische Zusammenhang:
\[
\frac{P(x+3)}{x + Q(x-2)} = x^2 + x + 1
\]
Wenn die Division von $P(x)$ durch $x – 4$ den Restwert $6$ ergibt, welchen Rest liefert dann die Division von $Q(x+1)$ durch $x + 2$?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Werte ableiten:
– $x – 4 = 0 \Rightarrow P(4) = 6$
– $x + 2 = 0 \Rightarrow K = Q(-2 + 1) = Q(-1)$
Wir suchen einen Wert für $x$ in unserer Hauptgleichung, der gleichzeitig die Argumente $4$ für $P$ und $-1$ für $Q$ erzeugt. Das Setzen von $x = 1$ erfüllt diese Bedingung perfekt:
\[
\frac{P(1+3)}{1 + Q(1-2)} = 1^2 + 1 + 1 \Rightarrow \frac{P(4)}{1 + Q(-1)} = 3
\]
Wir setzen den bekannten Wert $P(4) = 6$ ein:
\[
\frac{6}{1 + K} = 3 \Rightarrow 1 + K = 2 \Rightarrow K = 1
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
2. Restbestimmung bei Division durch ein Produkt ($(ax + b)(cx + d)$):
Bei der Division durch ein quadratisches Produkt kann das Restpolynom maximal den Grad 1 besitzen und lautet allgemein:
\[
K(x) = Ax + B
\]
Wir formulieren die Identitätsgleichung:
\[
P(x) = (ax + b)(cx + d)B(x) + Ax + B
\]
Durch das Einsetzen der Nullstellen beider Linearfaktoren ($x = -\frac{b}{a}$ und $x = -\frac{d}{c}$) eliminiert sich der linke Produktterm und es entsteht ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Variablen $A$ und $B$.
Beispiel:
Der Rest der Division von $P(x)$ durch $x – 2$ beträgt $3$, und der Rest der Division von $P(x+1)$ durch $x + 3$ beträgt $1$. Wir berechnen das Restpolynom $K(x)$, wenn $P(x)$ durch $x^2 – 4$ geteilt wird.
Wir extrahieren die Nullstellenbedingungen:
– $x – 2 = 0 \Rightarrow P(2) = 3$
– $x + 3 = 0 \Rightarrow P(-3+1) = P(-2) = 1$
Wir setzen den verallgemeinerten Ansatz für den Teiler $x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$ an:
\[
P(x) = (x^2 – 4)B(x) + Ax + B
\]
Wir setzen unsere bekannten Nullstellen ein:
– Für $x = 2 \Rightarrow 2A + B = 3$
– Für $x = -2 \Rightarrow -2A + B = 1$
Das Lösen dieses Gleichungssystems ergibt durch Addition direkt $2B = 4 \Rightarrow B = 2$ und folglich $A = \frac{1}{2}$. Das Restpolynom lautet somit:
\[
K(x) = \frac{1}{2}x + 2
\]
AUFGABE 16
Sei $n \in \mathbb{N}$. Welches Restpolynom ergibt sich, wenn man $P(x) = (x – 3)^{2n} – (x – 2)^n + 1$ durch den Ausdruck $x^2 – 5x + 6$ dividiert?
\[
\text{A)} 2x-5 \quad
\text{B) } -2x+5 \quad
\text{C) } 2x+6 \quad
\text{D) } 2x-6 \quad
\text{E) } -2x+6
\]
Lösung:
Wir faktorisieren den quadratischen Divisor: $x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Die Nullstellen lauten demnach $x=2$ und $x=3$. Wir werten das Polynom $P(x)$ an diesen Stellen aus:
– $P(2) = (2-3)^{2n} – (2-2)^n + 1 = (-1)^{2n} – 0 + 1 = 1 + 1 = 2$ (da $2n$ stets gerade ist)
– $P(3) = (3-3)^{2n} – (3-2)^n + 1 = 0 – 1^n + 1 = 0$
Unter Nutzung des linearen Ansatzes $K(x) = Ax + B$ erhalten wir:
– $2A + B = 2$
– $3A + B = 0$
Die Subtraktion der beiden Gleichungen voneinander liefert sofort $A = -2$, woraus sich $B = 6$ ergibt. Das gesuchte Restpolynom lautet demnach $-2x + 6$.
\(\textbf{Antwort: E} \)
3. Restbestimmung bei Division durch Potenzglieder ($ax^n + b$):
Um den Rest bei der Division durch ein höheres, nicht-lineares Potenzglied effizient zu bestimmen, nutzt man die verallgemeinerte Nullstellenbedingung:
\[
ax^n + b = 0 \Rightarrow x^n = -\frac{b}{a}
\]
Man strukturiert das zu teilende Polynom $P(x)$ so um, dass die höheren Potenzen durch Basen von $x^n$ ausgedrückt werden. Anschließend substituiert man $x^n$ konsequent durch den Wert $-\frac{b}{a}$.
Beispiel:
Wir bestimmen das Restpolynom $K(x)$ für die Division von $P(x) = x^{16} + x^7 + x^5 + x^2 + 1$ durch den Ausdruck $x^5 – 1$.
Die Bedingung lautet $x^5 – 1 = 0 \Rightarrow x^5 = 1$. Wir zerlegen $P(x)$ systematisch in Potenzen von $x^5$:
\[
P(x) = (x^5)^3 \cdot x + (x^5) \cdot x^2 + (x^5) + x^2 + 1
\]
Nun ersetzen wir jede Basis $x^5$ durch den Wert $1$:
\[
K(x) = (1)^3 \cdot x + (1) \cdot x^2 + 1 + x^2 + 1 = 2x^2 + x + 2
\]
AUFGABE 17
Gegeben ist die Polynomfunktion $P(3x+2) = (x – 1)^{10} + x^2 + x + 1$. Welchen Rest liefert die Division von $P(x^4 + x^2 + 2)$ durch den quadratischen Ausdruck $x^2 – 2$?
\[
\text{A) } 6\quad
\text{B) } 7 \quad
\text{C) } 8 \quad
\text{D) }9 \quad
\text{E) } 10
\]
Lösung:
Wir setzen den Teiler gleich Null: $x^2 – 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2$. Im Zielpolynom ersetzen wir nun jede Instanz von $x^2$ durch den Wert $2$:
\[
\text{Restwert} = P((x^2)^2 + x^2 + 2) = P(2^2 + 2 + 2) = P(8)
\]
Um $P(8)$ über die gegebene Ausgangsfunktion berechnen zu können, setzen wir das Argument gleich: $3x + 2 = 8 \Rightarrow x = 2$:
\[
P(8) = (2 – 1)^{10} + 2^2 + 2 + 1 = 1 + 4 + 2 + 1 = 8
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
4. Restbestimmung bei Division durch ein beliebiges Polynom $Q(x)$:
Bei allgemeinen Teilerpolynomen isoliert man den Term mit dem höchsten Grad aus der Bedingung $Q(x) = 0$ und ersetzt diesen im Dividendpolynom $P(x)$. Dieses Einsetzverfahren führt man so lange rekursiv durch, bis der Grad des resultierenden Ausdrucks strikt kleiner ist als $\deg[Q(x)]$.
Beispiel:
Wir berechnen das Restpolynom $K(x)$ bei der Division von $P(x) = 2x^4 – x^3 + x + 1$ durch den Divisor $Q(x) = x^2 – x – 1$.
Es gilt $x^2 – x – 1 = 0 \Rightarrow x^2 = x + 1$. Wir spalten $P(x)$ nach Potenzen von $x^2$ auf:
\[
P(x) = 2(x^2)^2 – (x^2)x + x + 1
\]
Nun substituieren wir $x^2$ durch den Term $(x + 1)$:
\[
K_1(x) = 2(x+1)^2 – (x+1)x + x + 1 = 2(x^2 + 2x + 1) – x^2 – x + x + 1 = x^2 + 4x + 3
\]
Da der Grad des Zwischenrests $K_1(x)$ noch nicht kleiner als der Grad des Teilers ist, ersetzen wir erneut $x^2$ durch $(x + 1)$:
\[
K(x) = (x + 1) + 4x + 3 = 5x + 4
\]
Beispiel:
Wir berechnen das Restpolynom $K(x)$ bei der Division von $P(x) = x^5 + x^3 + x^2 + x – 2$ durch den Divisor $Q(x) = x^2 + x$.
Es gilt $x^2 + x = 0 \Rightarrow x^2 = -x$. Wir strukturieren die Potenzen um:
\[
P(x) = (x^2)^2 \cdot x + (x^2)x + x^2 + x – 2
\]
Erste Substitution liefert:
\[
K_1(x) = (-x)^2 \cdot x + (-x)x + (-x) + x – 2 = x^3 – x^2 – 2 = (x^2)x – x^2 – 2
\]
Wir setzen erneut $x^2 = -x$ ein:
\[
K_2(x) = (-x)x – (-x) – 2 = -x^2 + x – 2
\]
Ein letztes Ersetzen von $x^2$ führt uns zum Endergebnis:
\[
K(x) = -(-x) + x – 2 = 2x – 2
\]
Beispiel:
Wir bestimmen den Rest $K(x)$ bei der Division von $P(x) = (x^3 + x^2 – x + 2)^9 + (x^3 + x^2 + 1)^2$ durch das Polynom $x^3 + x^2 – x + 1$.
Wir setzen den Teiler gleich Null: $x^3 + x^2 – x + 1 = 0$. Daraus ergeben sich zwei nützliche Ersetzungsformen:
1. $x^3 + x^2 – x = -1$
2. $x^3 + x^2 + 1 = x$
Diese Strukturen setzen wir direkt in die geklammerten Ausdrücke von $P(x)$ ein:
\[
K(x) = (-1 + 2)^9 + (x)^2 = 1^9 + x^2 = x^2 + 1
\]
Beispiel:
Wir bestimmen das Restpolynom bei der Division von $P(x, y) = x^6 y^3 – 3x^5 y^2 + 3x^4 y + x^3 y – x^3 + 1$ durch den Ausdruck $x^2 y – x$.
Bedingung: $x^2 y – x = 0 \Rightarrow x^2 y = x$. Die vorderen drei Terme lassen sich als Binom dritten Grades zusammenfassen:
\[
P(x, y) = (x^2 y – x)^3 + (x^2 y) \cdot x + 1
\]
Durch Einsetzen unserer Restbedingung erhalten wir:
\[
\text{Restpolynom} = (x – x)^3 + (x)x + 1 = x^2 + 1
\]
Eigenschaften von Restpolynomen bei der Division:
1. Gilt in der allgemeinen Divisionsgleichung $K(x) = 0$, so ist das Polynom $P(x)$ ohne Rest durch $Q(x)$ teilbar. In diesem Fall ist $Q(x)$ ein echter Faktor (Teiler) von $P(x)$, sodass sich schreiben lässt: $P(x) = Q(x) \cdot B(x)$.
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung $P(x) = x^4 + 2x^2 – ax + b = (x+1)^2 \cdot Q(x)$. Wir bestimmen die Werte der Parameter $a$ und $b$.
Da $(x+1)^2$ ein Teiler des Polynoms ist, muss der Rest der Division verschwinden (gleich Null sein). Wir expandieren den Term: $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -2x – 1$. Dies setzen wir in $P(x)$ ein:
\[
K_1(x) = (-2x – 1)^2 + 2(-2x – 1) – ax + b = 4x^2 + 4x + 1 – 4x – 2 – ax + b = 4x^2 – ax + b – 1
\]
Wir substituieren erneut $x^2$, um die Division abzuschließen:
\[
K(x) = 4(-2x – 1) – ax + b – 1 = (-a – 8)x + (b – 5)
\]
Damit dieses Restpolynom für alle Werte identisch Null ergibt, müssen die Koeffizienten einzeln verschwinden:
– $-a – 8 = 0 \Rightarrow a = -8$
– $b – 5 = 0 \Rightarrow b = 5$
2. Ist ein Polynom durch ein zusammengesetztes Polynom $Q(x)$ ohne Rest teilbar, so ist es automatisch auch durch jeden einzelnen Faktor von $Q(x)$ ohne Rest teilbar.
Beispiel:
Wir berechnen den Koeffizienten $a$, falls das Polynom $P(x) = ax^5 – x^4 + 3x^2 – bx – 24$ ohne Rest durch den quadratischen Term $x^2 – 3x + 2$ teilbar ya.
Wir zerlegen den Teiler in Faktoren: $x^2 – 3x + 2 = (x-1)(x-2)$. Folglich gilt $P(1) = 0$ und $P(2) = 0$.
– $P(1) = a – 1 + 3 – b – 24 = 0 \Rightarrow a – b = 22$
– $P(2) = 32a – 16 + 12 – 2b – 24 = 0 \Rightarrow 32a – 2b = 28 \Rightarrow 16a – b = 14$
Durch die Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten isolieren wir die Variable $a$:
\[
15a = -8 \Rightarrow a = -\frac{8}{15}
\]
3. Der Rest der Division von $P(x)$ durch $Q(x)$ sei $K(x)$, und der Rest von $R(x)$ durch $Q(x)$ sei $M(x)$. Für ein beliebiges $n \in \mathbb{N}$ gilt:
a) Der Rest von $P(x) \pm R(x)$ geteilt durch $Q(x)$ entspricht $K(x) \pm M(x)$
b) Der Rest von $P(x) \cdot R(x)$ geteilt durch $Q(x)$ entspricht $K(x) \cdot M(x)$
c) Der Rest von $P^n(x)$ geteilt durch $Q(x)$ entspricht $K^n(x)$
Hinweis: Sollte der Grad der resultierenden Verknüpfungen den Grad von $Q(x)$ erreichen oder überschreiten, muss dieser Ausdruck erneut durch $Q(x)$ geteilt werden, um den finalen Rest zu erhalten.
Beispiel:
Der Rest der Division von $P(x)$ durch $x^2 + 1$ sei $2x + 1$, und der Rest von $Q(x)$ durch $x^2 + 1$ sei $x + 1$. Wir bestimmen die Reste für die Ausdrücke $P(x) \cdot Q(x)$ und $x^2 + x + P^2(x)$ bei einer Division durch $x^2 + 1$.
$\to$ Rest für das Produkt $P(x) \cdot Q(x)$:
\[
K(x) \cdot M(x) = (2x + 1)(x + 1) = 2x^2 + 3x + 1
\]
Wir nutzen die Teilerbedingung $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$:
\[
= 2(-1) + 3x + 1 = 3x – 1
\]
$\to$ Rest für den Ausdruck $x^2 + x + P^2(x)$:
Wir setzen die jeweiligen Reste ein und nutzen $x^2 = -1$:
\[
-1 + x + (2x + 1)^2 = -1 + x + 4x^2 + 4x + 1 = 4x^2 + 5x
\]
Ein finales Ersetzen von $x^2 = -1$ liefert das Endergebnis für den Rest:
\[
4(-1) + 5x = 5x – 4
\]
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