Quadratische Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Eine Gleichung der Form
\[
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
\]
wobei \( a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R} \) und mindestens koeffizient \( a, b \) oder \( c \) ungleich Null ist, heißt quadratische Gleichung mit zwei Variablen.
Ein System, das aus mindestens zwei Gleichungen besteht, von denen mindestens eine quadratisch mit zwei Variablen ist, wird als quadratisches Gleichungssystem mit zwei Variablen bezeichnet.
Die Menge aller reellen Zahlenpaare \( (x, y) \), die alle Gleichungen des Systems gleichzeitig erfüllen, wird als Lösungsmenge des Gleichungssystems bezeichnet.
Um solche Gleichungssysteme zu lösen, führt man das System durch Substitutions- oder Eliminationsverfahren auf eine Gleichung mit einer einzigen Variablen zurück.
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
\[
x^2 + xy + y^2 = 21
\]
\[
x + y = 3\sqrt{3}
\]
Durch Umformen der zweiten Gleichung nach \( y \) erhalten wir:
\[ x + y = 3\sqrt{3} \Rightarrow y = 3\sqrt{3} – x \]
Einsetzen dieses Ausdrucks in die erste Gleichung liefert:
\[
x^2 + xy + y^2 = 21
\]
\[
\Rightarrow x^2 + x (3\sqrt{3} – x) + (3\sqrt{3} – x)^2 = 21
\]
\[
\Rightarrow x^2 – 3\sqrt{3}x + 6 = 0
\]
Durch Faktorisieren der quadratischen Gleichung folgt:
\[
\Rightarrow (x – \sqrt{3}) (x – 2\sqrt{3}) = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \sqrt{3} \quad \text{oder} \quad x_2 = 2\sqrt{3}
\]
Wir setzen diese Werte nun in die lineare Gleichung ein, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu bestimmen.
Für \( x_1 = \sqrt{3} \) in der Gleichung \( x + y = 3\sqrt{3} \):
\[
\sqrt{3} + y = 3\sqrt{3} \Rightarrow y_1 = 2\sqrt{3}
\]
Für \( x_2 = 2\sqrt{3} \):
\[
2\sqrt{3} + y = 3\sqrt{3} \Rightarrow y_2 = \sqrt{3}
\]
Die Lösungsmenge lautet somit:
\[
L = \{ (\sqrt{3}, 2\sqrt{3}), (2\sqrt{3}, \sqrt{3}) \}
\]
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
\[
3x^2 + 2y^2 = 14
\]
\[
x^2 + y^2 = 5
\]
Wir multiplizieren beide Seiten der zweiten Gleichung mit -2 und addieren die Gleichungen, um \( y^2 \) zu eliminieren:
\[
3x^2 + 2y^2 = 14
\]
\[
+ (-2x^2 – 2y^2 = -10)
\]
\[
x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2 \quad \text{oder} \quad x_2 = 2
\]
Durch Einsetzen dieser Werte in die zweite Gleichung erhalten wir:
In \( x^2 + y^2 = 5 \) ergibt sich für \( x_1 = -2 \):
\[ 4 + y^2 = 5 \]
\[
\Rightarrow y_1 = -1 \quad \text{oder} \quad y_2 = 1
\]
Für \( x_2 = 2 \):
\[ 4 + y^2 = 5 \]
\[
\Rightarrow y_3 = -1 \quad \text{oder} \quad y_4 = 1
\]
Die Lösungsmenge ist somit:
\[
L = \{ (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1) \}
\]
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
\[
3x^2 + 2y^2 = 14
\]
\[
x^2 + y^2 = 5
\]
Wir multiplizieren beide Seiten der zweiten Gleichung mit -2:
\[\begin{aligned}
3x^2 + 2y^2 = 14 \\
+ \quad \quad -2x^2 – 2y^2 = -10 \\
\hline \\
x^2 = 4 \\
\Rightarrow x_1 = -2 \quad \text{oder} \quad x_2 = 2
\end{aligned}
\]
Durch Einsetzen dieser Werte in die zweite Gleichung erhalten wir:
In \( x^2 + y^2 = 5 \) ergibt sich für \( \quad x_1 = -2 \):
\[ \quad 4 + y^2 = 5 \]
\[
\Rightarrow y_1 = -1 \quad \text{oder} \quad y_2 = 1
\]
Für \( x_2 = 2 \):
\[ \quad 4 + y^2 = 5 \]
\[
\Rightarrow y_3 = -1 \quad \text{oder} \quad y_4 = 1
\]
Die Lösungsmenge lautet somit:
\[
L = \{ (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1) \}
\]
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
\[
|x + 2y| = 1
\]
\[
x + y = 2
\]
Aus der zweiten Gleichung folgt \( x = 2 – y \). Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhalten wir:
\[
|x + 2y| = 1 \Rightarrow |2 – y + 2y| = 1
\]
Quadrieren beider Seiten der Betragsgleichung liefert:
\[
\Rightarrow |2 + y|^2 = 1^2
\]
\[
\Rightarrow 4 + 4y + y^2 = 1
\]
\[
\Rightarrow y^2 + 4y + 3 = 0
\]
Durch Lösen dieser quadratischen Gleichung erhalten wir:
\[
\Rightarrow y = -3 \quad \text{oder} \quad y = -1
\]
Wir setzen diese Werte nun in die lineare Gleichung \( x + y = 2 \) ein:
Für \( y = -3 \):
\[
x – 3 = 2 \Rightarrow x = 5
\]
Für \( y = -1 \):
\[
x – 1 = 2 \Rightarrow x = 3
\]
Daraus ergibt sich die endgültige Lösungsmenge:
\[
L = \{ (5, -3), (3, -1) \}
\]
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