Lagebeziehung von Parabel und Gerade

 

Um die gegenseitige Lage einer Parabel \( y = ax^2 + bx + c \) und einer Geraden \( y = mx + n \) zu untersuchen, setzt man die beiden Funktionsgleichungen gleich, um sie gemeinsam zu lösen.

\[
\left.
\begin{array}
y= ax^2 + bx + c \\
y = mx+n\\
\end{array}
\right\} \quad \Rightarrow ax^2 + bx + c = mx+n \\
\\
\\
\]

\[\Rightarrow ax^2 + (b – m)x + (c – n) = 0  \]

Durch das Gleichsetzen entsteht eine quadratische Gleichung. Mithilfe der Diskriminante dieser Gleichung lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

1) Wenn \( \quad   \Delta > 0 \),

Parabel und Gerade schneiden sich in zwei verschiedenen Punkten (die Gerade ist eine Sekante).

Die reellen Lösungen \( x_1 \) und \( x_2 \) der Gleichung \( ax^2 + (b – m)x + c – n = 0 \) sind die x-Koordinaten (Abszissen) dieser beiden Schnittpunkte.

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen die Lagebeziehung der Parabel \( y = -x^2 + 3 \) und der Geraden \( y = x + 1 \).

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= -x^2 + 3 \\
y &= x + 1
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow -x^2 + 3 = x + 1\]
\[\Rightarrow x^2 + x \; – 2 = 0\]
\[\Rightarrow x_1 = -2 \quad  \text{ oder }  \quad   x_2 = 1 \]

Da die Gleichung zwei unterschiedliche reelle Lösungen besitzt, existieren zwei Schnittpunkte. Die zugehörigen y-Koordinaten bestimmen wir durch Einsetzen der x-Werte in eine der beiden Gleichungen.

Eingesetzt in die Geradengleichung \( y = x + 1 \):
\[\text{Für } x_1 = -2 \quad \Rightarrow \quad y_1 = -1 \]
\[\text{Für } x_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad y_2 = 2 \]

Die Schnittpunkte lauten somit \( (-2, -1) \) und \( (1, 2) \).

 

2) Wenn \( \quad   \Delta = 0 \),

Die Gerade berührt die Parabel (die Gerade ist eine Tangente). Die doppelte Nullstelle (\( x_1 = x_2 \)) der Gleichung \( ax^2 + (b \;-\; m)x + c\; – \;n = 0 \) ist die x-Koordinate des Berührpunktes.

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen die Lagebeziehung der Parabel \( y = x^2 – x + 1 \) und der Geraden \( y = x \).

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= x^2 – x + 1 \\
y &= x
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow x^2 – x + 1 = x\]
\[\Rightarrow x^2 – 2x + 1 = 0
\Rightarrow x_1 = x_2 = 1 \]

Da das Gleichungssystem eine doppelte Lösung liefert, berührt die Gerade die Parabel an der Stelle \( x = 1 \). Nun berechnen wir die zugehörige y-Koordinate:

\[   \text{Einsetzen von } x = 1 \text{ in } y = x \text{ ergibt } y = 1. \]

Der Berührpunkt hat somit die Koordinaten \( (1, 1) \).

 

3) Wenn \( \quad   \Delta < 0 \),

 

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen die Lagebeziehung der Parabel \( y = -x^2 + 2x – 3 \) und der Geraden \( y = x + 1 \).

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= -x^2 + 2x – 3 \\
y &= x + 1
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow -x^2 + 2x – 3 = x + 1\\ \]

\[
\Rightarrow x^2 – x + 4 = 0\\
\Rightarrow \Delta = (-1)^2 – 4(1)(4) = -15 < 0
\]

Da die Diskriminante negativ ist, existieren keine reellen Lösungen. Parabel und Gerade besitzen folglich keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

 

 

 

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