Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form:
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
mit $a, b, c \in \mathbb{R}$ und $a \neq 0$ wird als quadratische Gleichung mit einer Unbekannten bezeichnet. Die reellen Zahlen $x$, die diese Gleichung erfüllen, heißen Lösungen (oder Nullstellen) der Gleichung. Die Menge aller Lösungen bildet die Lösungsmenge.
Die Zahlen $a, b, c \in \mathbb{R}$ nennt man die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.
Sonderfälle der Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \):
1) Wenn \( b = 0 \) und \( c = 0 \) gilt:
\[
ax^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x \cdot x = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = 0
\]
In diesem Fall besitzt die Gleichung zwei identische reelle Lösungen (eine doppelte Nullstelle).
Die Lösungsmenge lautet:
\[
L = \{ 0 \}
\]
2) Wenn \( c = 0 \) und \( b \neq 0 \) gilt:
\[
ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x (ax + b) = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{oder} \quad ax + b = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 0 \quad \text{oder} \quad x_2 = -\frac{b}{a}
\]
Die Lösungsmenge lautet:
\[
L = \left\{ 0, -\frac{b}{a} \right\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $5x^2 – 3x = 0$.
\[
5x^2 – 3x = 0 \Rightarrow x (5x – 3) = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{oder} \quad 5x – 3 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 0 \quad \text{oder} \quad x_2 = \frac{3}{5}
\]
Die Lösungsmenge ist somit:
\[
L = \left\{ 0, \frac{3}{5} \right\}
\]
3) Wenn \( b = 0 \) und \( c \neq 0 \) gilt:
\[
ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a}
\]
\( \bullet \quad \) Haben $a$ und $c$ das **gleiche Vorzeichen**, so ist $-\frac{c}{a} < 0$. Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, existieren keine reellen Lösungen. Die reelle Lösungsmenge lautet in diesem Fall: \[ L = \emptyset \] \( \bullet \quad \) Haben $a$ und $c$ **verschiedene Vorzeichen**, so ist $-\frac{c}{a} > 0$. Die reellen Lösungen lauten:
\[
x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}, \quad x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}
\]
Diese Lösungen haben denselben Betrag, besitzen aber entgegengesetzte Vorzeichen. Die Summe der Lösungen beträgt $x_1 + x_2 = 0$, und die Lösungsmenge lautet:
\[
L = \left\{ \sqrt{-\frac{c}{a}}, -\sqrt{-\frac{c}{a}} \right\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 + 3 = 0$.
\[
x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3
\]
Da es im reellen Zahlenbereich keine Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist:
\[
L = \emptyset
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $3x^2 – 27 = 0$.
\[
3x^2 – 27 = 0 \Rightarrow x^2 = 9
\]
\[
\Rightarrow x_1 = -3 \quad \text{oder} \quad x_2 = 3
\]
\[
\Rightarrow L = \{-3, 3\}
\]
Lösung von Gleichungen der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \):
1) Wenn das Trinom \( ax^2 + bx + c \) leicht faktorisiert werden kann:
Liegt eine Faktorisierung der folgenden Gestalt vor:
\[
(px + m)(qx + n)
\]
dann folgt:
\[
ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow (px + m)(qx + n) = 0
\]
\[
\Rightarrow px + m = 0 \quad \text{oder} \quad qx + n = 0
\]
\[ x_1 = -\frac{m}{p} \quad \text{und} \quad x_2 = -\frac{n}{q} \]
\[ L = \left\{ -\frac{m}{p}, \; -\frac{n}{q} \right\} \]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 – 998x – 2000 = 0$.
\[
x^2 – 998x – 2000 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x – 1000) = 0
\]
\[
\Rightarrow x + 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x – 1000 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = -2 \quad \text{oder} \quad x_2 = 1000
\]
\[
\Rightarrow L = \{-2, 1000\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $5x^2 + 99x – 20 = 0$.
\[
5x^2 + 99x – 20 = 0 \Rightarrow (5x – 1)(x + 20) = 0
\]
\[
\Rightarrow 5x – 1 = 0 \quad \text{oder} \quad x + 20 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \frac{1}{5} \quad \text{oder} \quad x_2 = -20
\]
\[
\Rightarrow L = \left\{ -20, \frac{1}{5} \right\}
\]
Beispiel:
Seien $a$ und $b$ reelle Zahlen. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung:
\[
ax^2 – (a^2b + b)x + ab^2 = 0
\]
\[
\Rightarrow (ax – b)(x – ab) = 0
\]
\[
\Rightarrow ax – b = 0 \quad \text{oder} \quad x – ab = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \frac{b}{a} \quad \text{oder} \quad x_2 = ab
\]
\[
\Rightarrow L = \left\{ \frac{b}{a}, \; ab \right\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $3x^2 + \sqrt{3}x – 2 = 0$.
\[
3x^2 + \sqrt{3}x – 2 = 0 \Rightarrow (\sqrt{3}x – 1)(\sqrt{3}x + 2) = 0
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{3}x – 1 = 0 \quad \text{oder} \quad \sqrt{3}x + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{oder} \quad x_2 = \frac{-2}{\sqrt{3}}
\]
\[
\Rightarrow L = \left\{ \frac{-2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right\}
\]
2) Wenn das Trinom \( ax^2 + bx + c \) nicht ohne Weiteres faktorisiert werden kann, untersucht man den Wert \( b^2 – 4ac \).
Dieser Wert wird als die Diskriminante der Gleichung bezeichnet und mit dem Symbol \( \Delta \) (Delta) abgekürzt.
\( \bullet \quad \Delta = b^2 – 4ac > 0 \): Die Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) hat zwei voneinander verschiedene reelle Lösungen.
Diese lauten:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $2x^2 + 3x – 1 = 0$.
\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]
\[
= 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 17 > 0
\]
Da $\Delta > 0$ ist, lauten die Lösungen der Gleichung (mittels der abc-Formel):
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}
\]
\[
x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 – \sqrt{17}}{4}
\]
Die Lösungsmenge lautet:
\[
L = \left\{ \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{-3 – \sqrt{17}}{4} \right\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 – \sqrt{5}x + 1 = 0$.
\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]
\[
= (-\sqrt{5})^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 > 0
\]
Da $\Delta > 0$ ist, lauten die Lösungen:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-\sqrt{5}) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-\sqrt{5}) – \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{5} – 1}{2}
\]
Die Lösungsmenge lautet:
\[
L = \left\{ \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, \frac{\sqrt{5} – 1}{2} \right\}
\]
Hinweis:
Ist der lineare Koeffizient $b$ in der Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) eine gerade Zahl, lässt sich die Rechnung vereinfachen. Kürzt man den Zähler und Nenner der Lösungsformel durch $2$ und setzt:
\[
b‘ = \frac{b}{2}
\]
dann kann eine modifizierte Diskriminante genutzt werden:
\[
\Delta‘ = (b‘)^2 – ac
\]
In diesem Fall ergeben sich die Nullstellen vereinfacht über:
\[
x_{1,2} = \frac{-b‘ \pm \sqrt{\Delta‘}}{a}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 + 32x + 56 = 0$.
\[
b‘ = \frac{b}{2} = \frac{32}{2} = 16
\]
\[
\Delta‘ = (b‘)^2 – ac
\]
\[
= (16)^2 – 1 \cdot 56 = 200 > 0
\]
Da $\Delta‘ > 0$ ist, lauten die Lösungen:
\[
x_1 = \frac{-b‘ + \sqrt{\Delta‘}}{a} = \frac{-16 + \sqrt{200}}{1} = -16 + 10\sqrt{2}
\]
\[
x_2 = \frac{-b‘ – \sqrt{\Delta‘}}{a} = \frac{-16 – \sqrt{200}}{1} = -16 – 10\sqrt{2}
\]
Die Lösungsmenge ist:
\[
L = \left\{ -16 + 10\sqrt{2}, -16 – 10\sqrt{2} \right\}
\]
Hinweis:
Wenn in einer quadratischen Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) die Koeffizienten \( a \) und \( c \) entgegengesetzte Vorzeichen besitzen, gilt unabhängig vom Wert des Koeffizienten \( b \) immer:
\[
\Delta = b^2 – 4ac > 0
\]
Beispiele:
\( \bullet \quad -3x^2 + x + 20 = 0 \)
\( \bullet \quad x^2 – 5x – 1000 = 0 \)
\( \bullet \quad -x^2 + 100x + 998 = 0 \)
Bei all diesen Gleichungen können wir sofort voraussagen, dass $\Delta > 0$ gilt, ohne den Wert $b^2 – 4ac$ explizit auszurechnen.
b) Wenn \( \Delta = b^2 – 4ac = 0 \) gilt:
Die Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) besitzt zwei identische reelle Lösungen (eine doppelte oder zusammenfallende Nullstelle).
Diese berechnen sich durch:
\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $100x^2 – 20x + 1 = 0$.
\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]
\[
= (-20)^2 – 4 \cdot 100 \cdot 1 = 0
\]
Da $\Delta = 0$ ist, gilt für die doppelten Lösungen:
\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-20)}{2 \cdot 100} = \frac{1}{10}
\]
Die Lösungsmenge lautet:
\[
L = \left\{ \frac{1}{10} \right\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $3x^2 – 4\sqrt{3}x + 4 = 0$.
\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]
\[
= (-4\sqrt{3})^2 – 4 \cdot 3 \cdot 4 = 0
\]
Da $\Delta = 0$ ist, lauten die Nullstellen:
\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}
\]
Die Lösungsmenge ist:
\[
L = \left\{ \frac{2\sqrt{3}}{3} \right\}
\]
Beispiel:
Welche Werte muss $m$ annehmen, damit die Gleichung $4mx^2 – (3m + 1)x + 1 = 0$ zwei gleiche reelle Lösungen (eine Doppelwurzel) besitzt?
Damit zwei übereinstimmende reelle Wurzeln vorliegen, muss gelten:
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0
\]
\[
b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow (-(3m+1))^2 – 4 \cdot 4m \cdot 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow 9m^2 – 10m + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow (9m – 1)(m – 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow m_1 = \frac{1}{9} \quad \text{oder} \quad m_2 = 1
\]
AUFGABE 1
Die Gleichung $mx^2 + 2mx – x + m + 1 = 0$ besitzt zwei identische reelle Lösungen. Welchen Wert nehmen diese Lösungen an?
\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]
Lösung:
Da die Gleichung zusammenfallende Nullstellen besitzt, fordern wir:
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0
\]
Zunächst ordnen wir die Gleichung durch Zusammenfassen der Terme mit $x$:
\[
mx^2 + (2m – 1)x + m + 1 = 0
\]
Berechnung der Diskriminante:
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow (2m – 1)^2 – 4m(m + 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow 4m^2 – 4m + 1 – 4m^2 – 4m = 0 \Rightarrow -8m + 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{8}
\]
Die doppelte Nullstelle berechnet sich aus:
\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} \Rightarrow x_1 = x_2 = \frac{-(2m – 1)}{2m}
\]
Einsetzen von $m = \frac{1}{8}$:
\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = \frac{-(2 \cdot \frac{1}{8} – 1)}{2 \cdot \frac{1}{8}} = \frac{-(\frac{1}{4} – 1)}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 2
Welchen Wert muss $m$ annehmen, damit die Gleichung $3x^2 + (5m + 1)x + 2m^2 + m = 0$ eine doppelte Nullstelle besitzt?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Damit eine zweifache Nullstelle vorliegt:
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow (5m + 1)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (2m^2 + m) = 0
\]
\[
\Rightarrow 25m^2 + 10m + 1 – 24m^2 – 12m = 0
\]
\[
\Rightarrow m^2 – 2m + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow (m – 1)^2 = 0 \Rightarrow m_1 = m_2 = 1
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
c) Wenn \( \Delta = b^2 – 4ac < 0 \) gilt:
Die Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) hat keine reellen Lösungen. Ihre reelle Lösungsmenge ist leer:
\[
L = \emptyset
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $5x^2 + 7x + 3 = 0$.
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 7^2 – 4 \cdot 5 \cdot 3 = 49 – 60 = -11 < 0
\]
Da die Diskriminante negativ ist, lautet die Lösungsmenge im reellen Bereich:
\[
L = \emptyset
\]
AUFGABE 3
In welchem Intervall muss sich $m$ befinden, damit die Gleichung $mx^2 + 2\sqrt{2}x – 1 = 0$ keine reellen Lösungen besitzt?
\[
\text{A) } (3, 4) \quad
\text{B) } (-2, 0) \quad
\text{C) } (-1, 1) \quad
\text{D) } (-\infty, -2) \quad
\text{E) } (1, \infty)
\]
Lösung:
Damit die Gleichung keine reellen Wurzeln hat, muss $\Delta < 0$ erfüllt sein:
\[
\Delta = b^2 – 4ac < 0
\]
\[
\Rightarrow (2\sqrt{2})^2 – 4 \cdot m \cdot (-1) < 0
\]
\[
\Rightarrow 8 + 4m < 0
\]
\[
\Rightarrow 4m < -8 \Rightarrow m < -2
\]
Folglich gilt $m \in (-\infty, -2)$.
\(\textbf{Antwort: D} \)
Hinweis:
Wenn die Summe aller Koeffizienten einer Gleichung $n$-ten Grades mit einer Unbekannten gleich $0$ (Null) ist, so ist $1$ eine Lösung dieser Gleichung.
Ist demnach bei einer quadratischen Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) die Koeffizientensumme gleich Null (\( a + b + c = 0 \)), so lautet die erste Nullstelle stets \( x_1 = 1 \) und die zweite Nullstelle \( x_2 = \frac{c}{a} \).
In diesem Fall kann die Lösungsmenge direkt wie folgt angegeben werden:
\[
L = \left\{ 1, \frac{c}{a} \right\}
\]
Beispiel:
Gegeben ist, dass eine der Nullstellen der Gleichung $x^2 – (5m + 4)x + m^2 – m – 1 = 0$ den Wert $x_1 = -1$ hat. Bestimmen Sie die andere Nullstelle.
Da $-1$ eine Nullstelle ist, muss sie die Gleichung erfüllen. Wir setzen $x = -1$ ein:
\[
(-1)^2 – (5m + 4)(-1) + m^2 – m – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow 1 + 5m + 4 + m^2 – m – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow m^2 + 4m + 4 = 0
\]
\[
\Rightarrow (m + 2)^2 = 0 \Rightarrow m = -2
\]
Nun setzen wir $m = -2$ wieder in die ursprüngliche Gleichung ein:
\[
x^2 – (5 \cdot (-2) + 4)x + (-2)^2 – (-2) – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 – (-6)x + 4 + 2 – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 + 6x + 5 = 0
\]
Faktorisieren der Gleichung:
\[
\Rightarrow (x + 1)(x + 5) = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = -1, \quad x_2 = -5
\]
Die gesuchte andere Nullstelle lautet somit $-5$.
Beispiel:
Sei $m$ eine reelle Zahl. Wir können sofort folgern, dass eine der Nullstellen der folgenden Gleichung:
\[
(3m + 2)x^2 – (m^2 + m)x + m^2 – 2m – 2 = 0
\]
den Wert \( x_1 = 1 \) besitzt, da die Summe der Koeffizienten genau Null ergibt:
\[
(3m + 2) + [-(m^2 + m)] + (m^2 – 2m – 2) = 3m + 2 – m^2 – m + m^2 – 2m – 2 = 0
\]
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