Ausklammern und Faktorisieren durch Gruppenbildung
Wenn beim Faktorisieren eines algebraischen Ausdrucks ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) in allen Summanden existiert, wird dieser Faktor ausgeklammert.
In Fällen, in denen nicht alle Terme einen gemeinsamen Faktor teilen, kann der Ausdruck durch geschickte Gruppenbildung strukturiert und die Faktoren innerhalb der jeweiligen Teilgruppen ausgeklammert werden.
Beispiele:
\( \bullet \quad 6xy + 3xz \;- \;27xt = 3x (2y + z \;-\; 9t) \)
\(\bullet \quad -3x^3 – 6x^2 + 81x = -3x (x^2 + 2x – 27) \)
\(\bullet \quad x^3 y^2 – x^2 y + xy = xy (x^2 y – x + 1) \)
\(\bullet \quad \sqrt{a} + a + a\sqrt{a} = \sqrt{a} (1 + \sqrt{a} + a) \)
\(\bullet \quad 2^x – 2^{2x} + 2^{3x} = 2^x (1 – 2^x + 2^{2x}) \)
\(\bullet \quad 3^{66} + 3^{99} = 3^{66} (1 + 3^{33}) \)
\(\bullet \quad x^{-96} + x^{-95} = x^{-96} (1 + x) \)
\(\bullet \quad ax + bx – ay – by = x (a + b) – y (a + b) \)
\[
= (a + b) (x – y)
\]
\(\bullet \quad 21xy + 7x + 9y + 3 = 7x (3y + 1) + 3 (3y + 1) \)
\[
= (3y + 1) (7x + 3)
\]
\(\bullet \quad a^3 + 2a^2 + a + 2 = a^2 (a + 2) + (a + 2) \)
\[
= (a + 2) (a^2 + 1)
\]
\(\bullet \quad (a – b)^2 (a – c) + (b – a) (a – c)^2 \)
\[
= (a – b)^2 (a – c) – (a – b) (a – c)^2
\]
\[
= (a – b) (a – c) (a – b – (a – c))
\]
\[
= (a – b) (a – c) (c – b)
\]
\(\bullet \quad -\sqrt{xy} + \sqrt{y} + x – \sqrt{x} \)
\[
= -\sqrt{y} (\sqrt{x} – 1) + \sqrt{x} (\sqrt{x} – 1)
\]
\[
= (\sqrt{x} – 1) (\sqrt{x} – \sqrt{y})
\]
AUFGABE 1
Welcher der folgenden Ausdrücke ist kein Teiler des Terms
\[
xy (x + 3)^2 – x^2 y (x + 3) + xy (x + 3)
\]
\[
\text{A) } x \quad
\text{B) } y \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } x+3
\]
Lösung:
\[
xy (x + 3)^2 – x^2 y (x + 3) + xy (x + 3)
\]
Wir klammern den gemeinsamen Faktor \( xy(x + 3) \) aus:
\[
= xy (x + 3) (x + 3 – x + 1)
\]
\[
= 4xy (x + 3)
\]
Die Analyse der Faktoren zeigt, dass 3 kein Teiler des Terms ist.
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 2
Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Faktor des Terms
\[
ab + a^2 b + a^3 b + a^4 b
\]
Urteilen Sie anhand der Auswahlmöglichkeiten:
\[
\text{A) } a^2b \quad
\text{B) } ab^2\quad
\text{C) } a+b \quad
\text{D) } 1+a^2 \quad
\text{E) } 1+a+a^2
\]
Lösung:
Zuerst klammern wir den größten gemeinsamen Faktor \( ab \) aus:
\[
ab + a^2 b + a^3 b + a^4 b = ab (1 + a + a^2 + a^3)
\]
Anschließend wenden wir das Ausklammern durch Gruppenbildung innerhalb der Klammer an:
\[
= ab ((1 + a) + a^2 (1 + a))
\]
\[
= ab (1 + a) (1 + a^2)
\]
Somit ist \( 1 + a^2 \) ein gültiger Faktor des Gesamtausdrucks.
\(\textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 3
Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Teiler des Terms
\[
3xy – 20ab – 15xb + 4ya
\]
dar?
\[
\text{A) } x+a \quad
\text{B) } y-5b\quad
\text{C) } y+a \quad
\text{D) } y-b \quad
\text{E) } y+b
\]
Lösung:
Wir sortieren die Terme um, um Variablen geschickt zusammenzufassen:
\[
3xy \;- \; 20ab\; -\; 15xb + 4ya
\]
\[
= 3xy \;- \;15xb + 4ya \;- \;20ab
\]
Nun klammern wir jeweils paarweise aus (Faktorisierung durch Gruppenbildung):
\[
= 3x (y \;-\; 5b) + 4a (y \;- \;5b)
\]
\[
= (y \;- \;5b) (3x + 4a)
\]
Somit ist \( y – 5b \) ein Faktor des Terms.
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 4
Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Faktor des Terms
\[
2^x + 5^x + 6^x + (15)^x
\]
dar?
\[
\text{A) } 1+ 3^x \quad
\text{B) } 2^x + 3^x \quad
\text{C) } 3^x+5^x \quad
\text{D) } 1+ 5^x \quad
\text{E) } 1+2^x
\]
Lösung:
Unter Verwendung der Potenzgesetze schreiben wir den Ausdruck um:
\[
2^x + 5^x + 6^x + (15)^x = 2^x + 6^x + 5^x + (15)^x
\]
\[
= 2^x + 2^x \cdot 3^x + 5^x + 5^x \cdot 3^x
\]
Faktorisieren durch paarweises Ausklammern liefert:
\[
= 2^x (1 + 3^x) + 5^x (1 + 3^x)
\]
\[
= (1 + 3^x) (2^x + 5^x)
\]
Somit ist \( 1 + 3^x \) ein gültiger Faktor.
\(\textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 5
Gegeben seien die Bedingungen \( a + b = 3 \) und \( b + c = 4 \). Bestimmen Sie den numerischen Wert des Ausdrucks:
\[
a^2 – bc + ab – ac
\]
\[
\text{A) } 3 \quad
\text{B) } -3 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } -2 \quad
\text{E) } 0
\]
Lösung:
Wir ordnen die Terme um und klammern blockweise aus:
\[
a^2 – bc + ab – ac = a^2 – ac + ab – bc
\]
\[
= a (a – c) + b (a – c)
\]
\[
= (a – c) (a + b)
\]
Den Wert für die Differenz \( a – c \) erhalten wir durch das Subtrahieren der beiden gegebenen Gleichungen:
\[
\begin{array}{c}
a + b = 3 \\
– (b + c = 4)
\end{array}
\]
\[
a – c = -1
\]
Einsetzen der bekannten Werte in das faktorisierte Produkt ergibt:
\[
(a – c)(a + b) = (-1) \cdot 3 = -3
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
← Vorherige Seite | Nächste Seite →