Eigenschaften von Verknüpfungen
1. Abgeschlossenheit:
Gegeben sei eine Verknüpfung \( \star \) auf einer Menge A.
Wenn \( \star \) eine Funktion von \( A \times A \) nach \( A \) ist, heißt die Menge A abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung \( \star \). In diesem Fall gilt:
\[\forall x, y \in A \quad \text{gilt} \quad x \star y \in A \]
Wenn eine Verknüpfungstabelle (Cayley-Tabelle) erstellt wird und alle Elemente in der Tabelle zur Menge A gehören, ist die Menge A bezüglich dieser Verknüpfung abgeschlossen. Wenn die Verknüpfungstabelle Elemente enthält, die nicht zu A gehören, ist die Menge A bezüglich dieser Verknüpfung nicht abgeschlossen.
Beispiel:
Auf der Menge \( A = \{ 1, 2 \} \) sei eine Verknüpfung \( \star \) durch \( x \star y = y^x \) definiert. Wir untersuchen die Eigenschaft der Abgeschlossenheit dieser Verknüpfung.
\( f(x, y) = x \star y = y^x \)
\( 1 \star 1 = 1^1 = 1 \in A \)
\( 1 \star 2 = 2^1 = 2 \in A \)
\( 2 \star 1 = 1^2 = 1 \in A \)
\( 2 \star 2 = 2^2 = 4 \notin A \)
Da die Relation \( f \) hier keine Funktion von \( A \times A \) nach \( A \) ist, ist die Menge \( A \) bezüglich der Verknüpfung \(\star\) nicht abgeschlossen. Da in der Tabelle ein Element (4) existiert, das nicht zu \( A \) gehört, ist offensichtlich, dass die Menge \( A \) bezüglich der Verknüpfung \(\star\) nicht abgeschlossen ist.
\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & 1 & 2 &\\
\hline
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 4 \\
\end{array}
\]
Beispiel:
Wir untersuchen die Abgeschlossenheit der auf \( N \) definierten Verknüpfung \[ x \star y = \frac{x \cdot y + 1}{3} \].
Für \( 1 \) und \( 4 \in N \) gilt beispielsweise \( 1 \star 4 = \frac{1 \cdot 4 + 1}{3} = \frac{5}{3} \notin N \). Daher ist die Menge \( N \) bezüglich der Verknüpfung \(\star\) nicht abgeschlossen.
Beispiel:
Wir untersuchen die Abgeschlossenheit der auf \( Z \) definierten Verknüpfung
\[ x \circ y = x^2 + y^2 \]
Da \( x \circ y \in Z \) für alle \(\forall x, y \in Z\) gilt, ist die Menge \( Z \) bezüglich der Verknüpfung \(\circ\) abgeschlossen.
2. Kommutativgesetz (Vertauschbarkeit):
Auf einer Menge \( A \) sei eine Verknüpfung \(\star\) definiert. Wenn für alle \(\forall x, y \in A\) gilt: \( x \star y = y \star x \), dann ist die Verknüpfung \(\star\) kommutativ. Wenn eine Verknüpfungstabelle erstellt wird und diese symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale ist, besitzt die Verknüpfung das Kommutativgesetz.
Beispiel:
Wir untersuchen die Kommutativität der auf der Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) definierten Verknüpfung \(\star\):
\[ a \star b = ab + a + b + 1 \]
Da \[ x \star y = xy + x + y + 1 \] und \[ y \star x = yx + y + x + 1 \] gilt, folgt \[ x \star y = y \star x \]. Somit ist die Verknüpfung kommutativ.
Beispiel:
Wir untersuchen die Kommutativität der auf der Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) definierten Verknüpfung \( o \):
\[ a \circ b = \frac{ab}{a^2 + b^2} \]
Da \[ x \circ y = \frac{xy}{x^2 + y^2} \] und
\[ y \circ x = \frac{yx}{y^2 + x^2} \]
gilt, folgt \( x \circ y = y \circ x \). Daher ist die Verknüpfung \( o \) kommutativ.
Beispiel:
Wir untersuchen die Kommutativität der auf \( \mathbb{R}^2 \) definierten Verknüpfung \( o \):
\[ (a, b) \circ (c, d) = (2ac,\, 2b + d) \]
Da \[ (x, y) \circ (z, t) = (2xz,\, 2y + t) \] und
\[ (z, t) \circ (x, y) = (2zx,\, 2t + y) \]
zeigen, dass \( (x, y) \circ (z, t) \neq (z, t) \circ (x, y) \), ist die Verknüpfung \( o \) nicht kommutativ.
Beispiel
\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & a & b & c & d\\
\hline
a & c & d & a & b \\
b & d & a & b & c \\
c & a & b & c & d \\
d & b & c & d & a
\end{array}
\]
Da die Tabelle der Verknüpfung \(\star\) symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale ist, ist sie kommutativ.
\[
\begin{array}{c|cccc}
o & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 3 & 4 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 1 & 2 \\
4 & 4 & 1 & 1 & 3
\end{array}
\]
Da die Tabelle der Verknüpfung \( o \) nicht symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale ist, ist sie nicht kommutativ.
3. Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz):
Auf einer Menge \( A \) sei eine Verknüpfung \(\star\) definiert. Wenn für alle \(\forall x, y, z \in A\) gilt:
\[ x \star y \star z = x \star (y \star z) = (x \star y) \star z \] dann ist die Verknüpfung \(\star\) assoziativ.
Beispiel:
Wir untersuchen das Assoziativgesetz der auf \( \mathbb{R} \) definierten Verknüpfung \( o \):
\[ a \circ b = a + b + 3 \]
Da \[ x \circ (y \circ z) = x + (y + z + 3) + 3 = x + y + z + 6 \]
und \[(x \circ y) \circ z = (x + y + 3) + z + 3 = x + y + z + 6 \]
gilt, folgt \( x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z \). Die Verknüpfung \( o \) ist folglich assoziativ.
Beispiel:
Wir untersuchen das Assoziativgesetz der auf \(\mathbb{R}\) definierten Verknüpfung \(\circ\) mit \(a \circ b = ab + 3\).
\[
x \circ (y \circ z) = x(y \circ z) + 3
= x(yz + 3) + 3
= xyz + 3x + 3
\]
\[
(x \circ y) \circ z = (x \circ y)z + 3
= (xy + 3)z + 3
= xyz + 3z + 3
\]
Wegen \(x \circ (y \circ z) \neq (x \circ y) \circ z\) besitzt die Verknüpfung \(\circ\) kein Assoziativgesetz.
Beispiel:
Wir untersuchen, ob die auf der Menge \(A = \{a, b, c, d\}\) definierte Verknüpfung \(\star\) assoziativ ist.
\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & a & b & c & d\\
\hline
a & b & c & d & a \\
b & c & d & a & b \\
c & d & a & b & c \\
d & a & b & c & d
\end{array}
\]
Wir wählen beispielhaft \(x = a\), \(y = b\) und \(z = c\).
\[
x \star (y \star z)
= a \star (b \star c)
= a \star a = b
\]
\[
(x \star y) \star z
= (a \star b) \star c
= c \star c = b
\]
Ebenso kann durch die Wahl anderer Elemente für \(x, y, z\) gezeigt werden, dass stets \[x \star (y \star z) = (x \star y) \star z\] gilt. Daher ist die Verknüpfung assoziativ.
Hinweis:
Um das Assoziativgesetz einer auf einer $n$-elementigen Menge $A$ definierten Verknüpfung \(\star\) vollständig zu überprüfen, müssen \(n^3\) Verknüpfungen berechnet werden.
Im obigen Beispiel gilt \(s(A) = 4\), weshalb \(4^3 = 64\) Kombinationen überprüft werden müssten.
4. Neutrales Element (Einheitselement):
Auf einer Menge \(A\) sei eine Verknüpfung \(\star\) definiert. Wenn ein Element \(e \in A\) existiert, sodass für alle \( \forall x \in A \) gilt:
\[
x \star e = e \star x = x
\]
dann wird \(e\) als das neutrale Element der Verknüpfung \(\star\) bezeichnet.
Das aus der Gleichung \(x \star e = x\) resultierende Element heißt rechtsneutrales Element, während das aus \(e \star x = x\) resultierende Element als linksneutrales Element bezeichnet wird.
Eine Verknüpfung besitzt genau dann ein eindeutiges neutrales Element, wenn das rechtsneutrale und das linksneutrale Element existieren und identisch sind. Wenn ein neutrales Element existiert, ist es eindeutig (konstant).
Beispiel:
Wir bestimmen das neutrale Element der auf \( \mathbb{Z} \) definierten Verknüpfung
\[
x \circ y = x + y + 2xy
\]
sofern es existiert.
\[
x \circ e = x
\quad \Rightarrow \quad
x + e + 2xe = x
\quad \Rightarrow \quad
(1 + 2x)e = 0
\quad \Rightarrow \quad
e = 0 \in \mathbb{Z}.
\]
Das rechtsneutrale Element ist somit \( e = 0 \).
\[
e \circ x = x
\quad \Rightarrow \quad
e + x + 2ex = x
\quad \Rightarrow \quad
(1 + 2x)e = 0
\quad \Rightarrow \quad
e = 0 \in \mathbb{Z}.
\]
Das linksneutrale Element ist somit \( e = 0 \).
Demnach ist das neutrale Element der Verknüpfung \(\circ\) auf \(\mathbb{Z}\) gleich \( e = 0 \).
Beispiel:
Wir bestimmen das neutrale Element der auf \( \mathbb{N} \) definierten Verknüpfung
\[
x \Delta y = x + y + 3
\]
sofern es existiert.
\[
x \Delta e = x
\quad \Rightarrow \quad
x + e + 3 = x
\quad \Rightarrow \quad
e = -3 \notin \mathbb{N}
\]
Da \(e = -3\) keine natürliche Zahl ist, existiert kein rechtsneutrales Element.
\[
e \Delta x = x
\quad \Rightarrow \quad
e + x + 3 = x
\quad \Rightarrow \quad
e = -3 \notin \mathbb{N}
\]
Ebenso existiert kein linksneutrales Element.
Folglich besitzt die Verknüpfung \(\Delta\) auf \(\mathbb{N}\) kein neutrales Element.
Beispiel:
Wir untersuchen das neutrale Element der Verknüpfung \(x \star y = 2x + xy\) auf der Menge \(\mathbb{R}^+\).
\[
x \star e = x \;\;\Rightarrow\;\; 2x + x e = x
\]
\[
\Rightarrow x + x e = 0
\]
\[
\Rightarrow x (1 + e) = 0
\]
Hierbei gilt \(1 + e = 0 \Rightarrow e = -1 \notin \mathbb{R}^+\). Ein gültiges rechtsneutrales Element existiert in der gegebenen Menge also nicht.
\[
e \star x = x \;\;\Rightarrow\;\; 2e + e x = x
\]
\[
\Rightarrow (2 + x) e = x
\]
\[
\Rightarrow e = \frac{x}{2 + x}
\]
Da \(e\) von \(x\) abhängt (also nicht konstant ist), existiert kein linksneutrales Element. Folglich besitzt die Verknüpfung \(\star\) auf \(\mathbb{R}^+\) kein neutrales Element.
Beispiel:
Wir bestimmen das neutrale Element der auf \( \mathbb{Z}^- \) definierten Verknüpfung
\[
x \circ y = x^2 – y^2
\]
sofern es existiert.
\[
x \circ e = x \Rightarrow x^2 – e^2 = x
\]
\[
\Rightarrow e^2 = x^2 – x
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{e^2} = \sqrt{x^2 – x}
\]
\[
\Rightarrow |e| = \sqrt{x^2 – x}
\]
Da \(e \in \mathbb{Z}^-\) gefordert ist, folgt:
\[
\Rightarrow -e = \sqrt{x^2 – x} \Rightarrow e = -\sqrt{x^2 – x}
\]
Da \(e\) nicht konstant ist (sondern von \(x\) abhängt), gibt es kein rechtsneutrales Element. Ohne das linksneutrale Element prüfen zu müssen, steht fest, dass die Verknüpfung \(\circ\) auf \(\mathbb{Z}^-\) kein neutrales Element besitzt.
Hinweis:
Ist eine Verknüpfung \(\star\) kommutativ, so gilt:
\[
x \star e = e \star x = x
\]
In diesem Fall genügt es, zur Bestimmung des neutralen Elements entweder nur das rechtsneutrale oder nur das linksneutrale Element zu berechnen.
Beispiel:
Es sei die Verknüpfung \(x \star y = \frac{xy}{2}\) auf \( \mathbb{R} \) gegeben.
\[
x \star y = y \star x \;\;\Rightarrow\;\; \frac{xy}{2} = \frac{yx}{2}
\]
Da die Verknüpfung kommutativ ist, betrachten wir nur das rechtsneutrale Element:
\[
x \star e = x \;\;\Rightarrow\;\; \frac{x e}{2} = x
[/]
\[
\Rightarrow x e = 2x \;\;\Rightarrow\;\; x (e – 2) = 0
\]
\[
\Rightarrow e = 2
\]
Damit ist das neutrale Element der Verknüpfung \(\star\) auf \(\mathbb{R}\) gleich \(e = 2\).
Beispiel:
Wir bestimmen das neutrale Element der auf \(\mathbb{R}\) definierten Verknüpfung
\[
x \circ y = x^3 + y^3
\]
sofern es existiert.
\[
x \circ y = y \circ x \;\;\Rightarrow\;\; x^3 + y^3 = y^3 + x^3
\]
Da die Verknüpfung kommutativ ist, untersuchen wir nur das rechtsneutrale Element:
\[
x \circ e = x \;\;\Rightarrow\;\; x^3 + e^3 = x
\]
\[
\Rightarrow e^3 = x – x^3
\]
\[
\Rightarrow e = \sqrt[3]{x – x^3}.
\]
Da \(e\) von \(x\) abhängt und nicht konstant ist, besitzt die Verknüpfung \(\circ\) kein neutrales Element.
Hinweis:
In einer Verknüpfungstabelle entspricht das neutrale Element demjenigen Element, an dem sich die Zeile, die identisch mit der Kopfzeile ist, und die Spalte, die identisch mit der Kopfspalte ist, schneiden.
Gibt es keine solche Zeile oder Spalte, besitzt die Verknüpfung kein neutrales Element.
Beispiel:
Die Tabelle der Verknüpfung \(\star\) auf \(A = \{a, b, c, d\}\) lautet wie folgt. Wir bestimmen das neutrale Element:
\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & a & b & c & d\\
\hline
a & b & c & d & a \\
b & c & d & a & b \\
c & d & a & b & c \\
d & a & b & c & d
\end{array}
\]
Das neutrale Element der Verknüpfung \(\star\) ist \(d\).
Beispiel:
Die Tabelle der Verknüpfung \(\star\) auf \( A = \{ 0, 1, 2 \} \) lautet wie folgt.
\[
\begin{array}{c|ccc}
\star & 0 & 1 & 2\\
\hline
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 & 5 \\
\end{array}
\]
Da in dieser Tabelle keine Zeile mit der Kopfzeile und keine Spalte mit der Kopfspalte übereinstimmt, besitzt diese Verknüpfung kein neutrales Element.
Beispiele:
\(\bullet \quad x + e = e + x = x \Rightarrow e = 0 \). Daher ist das neutrale Element der Addition auf den Zahlenmengen \( e = 0 \).
\( \bullet \quad \) \[ x – e = x \Rightarrow e = 0 \] und \[
e – x = x \Rightarrow e = 2x
\] Da Links- und Rechtsneutralität nicht übereinstimmen, besitzt die Subtraktion auf den Zahlenmengen kein neutrales Element.
\(\bullet \quad x \cdot e = e \cdot x = x \Rightarrow e = 1 \). Daher ist das neutrale Element der Multiplikation auf den Zahlenmengen \( e = 1 \).
$\bullet$
\[
\frac{x}{e} = x \Rightarrow e = 1
\]
\[
\frac{e}{x} = x \Rightarrow e = x^2
\]
Aus diesem Grund besitzt die Division auf den Zahlenmengen kein neutrales Element.
$\bullet$ Für jede Menge \( A \) gilt:
\[
A \cup \varnothing = \varnothing \cup A = A
\]
\[
A \cap U = U \cap A = A
\]
In der Mengenlehre ist das neutrale Element für die Vereinigung (\(\cup\)) die leere Menge (\( \varnothing \)) und für den Schnitt (\(\cap\)) die Allmenge bzw. das Universum (\( U \)).
5. Inverses Element (Symmetrisches Element):
Das neutrale Element einer auf der Menge A definierten Verknüpfung \(\star\) sei \(e\). Wenn für ein \(x \in A\) ein Element \( x^{-1} \in A \) existiert, sodass
\[
x \star x^{-1} = x^{-1} \star x = e
\]
gilt, dann heißt \( x^{-1} \) das inverse Element von \( x \) bezüglich der Verknüpfung \(\star\).
Das aus \( x \star x^{-1} = e \) resultierende Element \( x^{-1} \) ist das rechtsinverse Element, und das aus \( x^{-1} \star x = e \) resultierende Element ist das linksinverse Element von \( x \).
Ein Element \( x \) besitzt genau dann ein inverses Element bezüglich \(\star\), wenn das rechtsinverse und das linksinverse Element existieren und gleich sind.
Beispiel:
Wir suchen das inverse Element von \( 2 \) bezüglich der auf \( \mathbb{R} \) definierten Verknüpfung
\[
x \star y = x + y – 3xy
\]
sofern es existiert.
Zuerst bestimmen wir das neutrale Element. Da die Verknüpfung kommutativ ist, genügt die Betrachtung des rechtsneutralen Elements:
\[
x \star e = x \;\;\Rightarrow\;\; x + e – 3xe = x
\]
\[
\Rightarrow (1 – 3x) e = 0
\]
\[
\Rightarrow e = 0
\]
Wegen der Kommutativität sind Links- und Rechtsinverses gleich:
\[
x \star x^{-1} = x^{-1} \star x = e
\]
Es reicht also aus, das rechtsinverse Element zu berechnen:
\[
x \star x^{-1} = e
\]
\[
2 \star 2^{-1} = 0
\]
\[
\Rightarrow 2 + 2^{-1} – 3 \cdot 2 \cdot 2^{-1} = 0
\]
\[
\Rightarrow -5 \cdot 2^{-1} = -2
\]
\[
\Rightarrow 2^{-1} = \frac{2}{5}
\]
Das inverse Element von 2 lautet somit $\frac{2}{5}$.
Beispiel:
Wir bestimmen das inverse Element von \( 3 \) sowie das nicht-invertierbare Element für die Verknüpfung
\[
x \circ y = \frac{x + y – xy + 6}{7}
\]
auf \( \mathbb{R} \).
Zuerst berechnen wir das neutrale Element. Da die Verknüpfung kommutativ ist, betrachten wir das rechtsneutrales Element:
\[
x \circ e = x \Rightarrow \frac{x + e – xe + 6}{7} = x
\]
\[
\Rightarrow x + e – xe + 6 = 7x
\]
\[
\Rightarrow (1 – x)(e + 6) = 0
\]
\[
\Rightarrow e + 6 = 0 \Rightarrow e = -6
\]
Aus der Faktorzerlegung folgt: Wenn \( 1 – x = 0 \Rightarrow x = 1 \), verliert die Gleichung ihre Abhängigkeit von $e$. Das Element $1$ besitzt folglich kein Inverses. Der Gegenbeweis zeigt:
\[
x \circ x^{-1} = e \Rightarrow 1 \circ 1^{-1} \overbrace{=}^{?} -6
\]
\[
\Rightarrow \frac{1 + 1^{-1} – 1 \cdot 1^{-1} + 6}{7} \overbrace{=}^{?} -6
\]
\[
\Rightarrow \frac{7}{7} \neq -6 \quad \Rightarrow 1 \neq -6
\]
Nun bestimmen wir das inverse Element von \( 3 \). Aufgrund der Kommutativität gilt:
\[
x \circ x^{-1} = e \Rightarrow 3 \circ 3^{-1} = -6
\]
\[
\Rightarrow \frac{3 + 3^{-1} – 3 \cdot 3^{-1} + 6}{7} = -6
\]
\[
\Rightarrow 9 – 2 \cdot 3^{-1} = -42
\]
\[
\Rightarrow -2 \cdot 3^{-1} = -51 \Rightarrow 3^{-1} = \frac{51}{2}
\]
Beispiel:
Wir bestimmen das inverse Element von \( 1 \) und das nicht-invertierbare Element bezüglich der Verknüpfung
\[
x \Delta y = 2x + 2y + 2xy + 1
\]
auf \( \mathbb{R} \).
Zuerst bestimmen wir das neutrale Element von \( \Delta \). Da die Verknüpfung kommutativ ist, betrachten wir das rechtsneutrales Element:
\[
x \Delta e = x \Rightarrow 2x + 2e + 2xe + 1 = x
\]
\[
\Rightarrow (1 + x)(2e + 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow 2e + 1 = 0 \Rightarrow e = -\frac{1}{2}
\]
Der Faktor \( 1 + x = 0 \Rightarrow x = -1 \) zeigt das Element ohne Inverses auf. Überprüfung:
\[
x \Delta x^{-1} = e \Rightarrow 1 \Delta (-1)^{-1} \overbrace{=}^{?} – \frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1)^{-1} + 2 \cdot (-1) \cdot (-1)^{-1} + 1 \overbrace{=}^{?} – \frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow -1 \neq -\frac{1}{2}
\]
Nun berechnen wir das inverse Element von \( 1 \):
\[
x \Delta x^{-1} = e \Rightarrow 1 \Delta 1^{-1} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1^{-1} + 2 \cdot 1 \cdot 1^{-1} + 1 = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow 4 \cdot 1^{-1} = -\frac{1}{2} – 2 – 1
\]
\[
\Rightarrow 4 \cdot 1^{-1} = -\frac{7}{2} \Rightarrow 1^{-1} = -\frac{7}{8}
\]
Beispiel:
Wir bestimmen das inverse Element von \( 5 \) für die Verknüpfung
\[
x \circ y = x + y – 2
\]
auf \( \mathbb{Z}^+ \), sofern es existiert.
Zuerst ermitteln wir das neutrale Element. Da die Verknüpfung kommutativ ist, betrachten wir nur das rechtsneutrales Element:
\[
x \circ e = x \Rightarrow x + e – 2 = x
\]
\[
\Rightarrow e = 2
\]
Nun berechnen wir das inverse Element von \( 5 \):
\[
x \circ x^{-1} = e \Rightarrow 5 \circ 5^{-1} = 2
\]
\[
\Rightarrow 5 + 5^{-1} – 2 = 2
\]
\[
\Rightarrow 5^{-1} = -1 \notin \mathbb{Z}^+
\]
Da \(-1\) kein Element der positiven ganzen Zahlen ist, besitzt das Element \( 5 \) in der Menge \( \mathbb{Z}^+ \) kein gültiges inverses Element.
Beispiel:
Die Tabelle der Verknüpfung \( \star \) auf \( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) ist unten angegeben. Wir bestimmen das inverse Element von \( 2 \).
\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
1 & 3 & 4 & 1 & 2 \\
2 & 4 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 3 & 4 & 1 \\
\end{array}
\]
Das neutrale Element der Verknüpfung \( \star \) ist \( 3 \).
\[ x \star x^{-1} = e\]
\[\Rightarrow 2 \star 2^{-1} = 3 \]
In der Zeile der 2 suchen wir die 3, welche sich in der Spalte der 4 befindet:
\[ \Rightarrow 2^{-1} = 4 \]
Beispiel:
Wir bestimmen das inverse Element von \( (1,2) \) bezüglich der auf \( \mathbb{R}^2 \) definierten Verknüpfung
\[
(x, y) \circ (a, b) = (xa, y + b + 1)
\]
Da die Verknüpfung kommutativ ist, bestimmen wir das rechtsneutrales Element:
\[
(x, y) \circ (e_1, e_2) = (x, y)
\]
\[
\Rightarrow (xe_1, y + e_2 + 1) = (x, y)
\]
\[
\Rightarrow xe_1 = x \quad \text{und} \quad y + e_2 + 1 = y
\]
\[
\Rightarrow e_1 = 1 \quad \text{und} \quad e_2 = -1
\]
Das neutrale Element lautet folglich \( (e_1, e_2) = (1, -1) \).
Nun bestimmen wir das inverse Element:
\[
(x, y) \circ (x^{-1}, y^{-1}) = (e_1, e_2)
\]
\[
\Rightarrow (1,2) \circ (1^{-1}, 2^{-1}) = (1, -1)
\]
\[
\Rightarrow (1 \cdot 1^{-1} , 2 + 2^{-1} + 1) = (1 , -1)
\]
\[
\Rightarrow 1 \cdot 1^{-1} = 1 \quad \text{und} \quad 2 + 2^{-1} + 1 = -1
\]
\[
\Rightarrow 1^{-1} = 1 \quad \text{und} \quad 2^{-1} = -4
\]
Das inverse Element von \( (1,2) \) bezüglich der Verknüpfung \( \circ \) lautet somit \( (1, -4) \).
6. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
Auf einer Menge A seien die Verknüpfungen \( \circ \) und \( \star \) definiert. Für alle \(\forall x, y, z \in A\) gilt:
Wenn \[ x \star (y \circ z) = (x \star y) \circ (x \star z) \] erfüllt ist, ist die Verknüpfung \( \star \) bezüglich \( \circ \) linksdistributiv.
Wenn \[ (x \circ y) \star z = (x \star z) \circ (y \star z) \] erfüllt ist, ist die Verknüpfung \( \star \) bezüglich \( \circ \) rechtsdistributiv.
Besitzt die Verknüpfung \( \star \) sowohl Links- als auch Rechtsdistributivität bezüglich \( \circ \), so ist sie vollständig distributiv über \( \circ \).
Beispiel:
Gegeben sind die Verknüpfungen auf \( \mathbb{R} \) mit
\[ x \star y = 2x + y \] und \[ x \circ y = x + y + 3 \]
Wir untersuchen, ob das Distributivgesetz für \( \star \) über \( \circ \) gilt.
Für alle \(\forall x, y, z \in \mathbb{R}\):
\[
x \star (y \circ z) = x \star (y + z + 3)
\]
\[
= 2x + y + z + 3
\]
Sowie:
\[
(x \star y) \circ (x \star z) = (2x + y) \circ (2x + z)
\]
\[
= (2x + y) + (2x + z) + 3
\]
\[
= 4x + y + z + 3
\]
Wegen \[ x \star (y \circ z) \neq (x \star y) \circ (x \star z) \]
liegt keine Linksdistributivität vor. Das Distributivgesetz gilt hier folglich nicht.
Beispiel:
Gegeben sind die Verknüpfungen auf \( \mathbb{R} \) mit
\[ x \star y = x + y + 1 \] und \[ x \circ y = 2x – y \]
Wir untersuchen die Distributivität.
Für alle \(\forall x, y, z \in \mathbb{R}\):
\[
x \star (y \circ z) = x \star (2y – z)
\]
\[
= x + 2y – z + 1
\]
Sowie:
\[
(x \star y) \circ (x \star z) = (x + y + 1) \circ (x + z + 1)
\]
\[
= 2(x + y + 1) – (x + z + 1)
\]
\[
= x + 2y – z + 1
\]
Wegen \[ x \star (y \circ z) = (x \star y) \circ (x \star z) \] ist die Verknüpfung linksdistributiv.
Nun prüfen wir die Rechtsdistributivität:
\[
(x \circ y) \star z = (2x – y) \star z
\]
\[
= 2x – y + z + 1
\]
Sowie:
\[
(x \star z) \circ (y \star z) = (x + z + 1) \circ (y + z + 1)
\]
\[
= 2(x + z + 1) – (y + z + 1)
\]
\[
= 2x + z – y + 1
\]
Wegen \[ (x \circ y) \star z = (x \star z) \circ (y \star z) \] ist die Verknüpfung rechtsdistributiv.
Somit ist das Distributivgesetz für \( \star \) über \( \circ \) erfüllt.
Beispiel:
Gegeben sind die Tabellen der Verknüpfungen \( \star \) und \( \circ \) auf der Menge \( A = \{ 0, 1, 2, 3 \} \). Wir untersuchen das Distributivgesetz.
\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
3 & 3 & 0 & 1 & 2 \\
\end{array}
\quad \quad \quad
\begin{array}{c|cccc}
\circ & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 3 & 0 & 1 & 2 \\
3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{array}
\]
Wir wählen als Gegenbeispiel \( x = 1, y = 2, z = 3 \):
\[
x \star (y \circ z) = 1 \star (2 \circ 3)
\]
\[
= 1 \star 2 = 3
\]
Dagegen ergibt die Verteilung:
\[
(x \star y) \circ (x \star z) = (1 \star 2) \circ (1 \star 3)
\]
\[
= 3 \circ 0 = 0
\]
Da die Ergebnisse voneinander abweichen, liegt keine Linksdistributivität und somit kein Distributivgesetz vor.
7. Absorbierendes Element (Nullelement):
Gegeben sei eine Verknüpfung \( \star \) auf einer Menge A. Wenn ein Element \( y \in A \) existiert, sodass für alle \(\forall x \in A\) gilt:
\[
x \star y = y \star x = y
\]
dann wird \( y \) als das absorbierende Element der Verknüpfung \( \star \) bezeichnet.
Ein Element mit \( x \star y = y \) heißt rechtsabsorbierend, während ein Element mit \( y \star x = y \) als linksabsorbierend definiert ist. Rechts- und linksabsorbierende Elemente müssen für die allgemeine Gültigkeit identisch sein.
Das absorbierende Element ist stets eindeutig. Bei kommutativen Verknüpfungen genügt der Nachweis auf einer Seite.
Beispiel:
Wir untersuchen, ob für die Verknüpfung auf \( \mathbb{R} \) ein absorbierendes Element existiert:
\[
x \star y = \frac{xy}{2} + x + y
\]
Da die Verknüpfung kommutativ ist, reicht die rechtsseitige Betrachtung:
\[
x \star y = y \Rightarrow \frac{xy}{2} + x + y = y
\]
\[
\Rightarrow x \left( \frac{y}{2} + 1 \right) = 0
\]
Damit diese Bedingung für alle $x$ erfüllt ist, muss die Klammer null ergeben:
\[
\Rightarrow \frac{y}{2} + 1 = 0 \Rightarrow y = -2
\]
Das absorbierende Element lautet somit \( y = -2 \).
Beispiel:
Wir untersuchen das absorbierende Element für die Verknüpfung auf \( \mathbb{Z}^- \):
\[
x \circ y = \frac{xy}{x + y+1}
\]
Aufgrund der Kommutativität betrachten wir:
\[
x \circ y = y \Rightarrow \frac{xy}{x + y + 1} = y
\]
\[
\Rightarrow xy = xy + y^2 + y
\]
\[
\Rightarrow 0 = y^2 + y
\]
\[
\Rightarrow y = 0 \quad \text{oder} \quad y = -1
\]
Wegen der Definition auf der Menge der negativen ganzen Zahlen (\( y \in \mathbb{Z}^- \)) entfällt \( y = 0 \). Somit ist \( y = -1 \) das absorbierende Element.
Hinweis:
Wenn eine Verknüpfung ein absorbierendes Element besitzt, ist dieses Element nicht invertierbar.
Beispiel:
Für alle \(\forall x \in \mathbb{R}\) gilt:
\[
x \cdot 0 = 0 \cdot x = 0
\]
Demnach ist \( 0 \) das absorbierende Element der Multiplikation. Wir zeigen, dass \( 0 \) kein inverses Element besitzt:
\[
x \cdot x^{-1} = e \Rightarrow 0 \cdot 0^{-1} = 1
\]
\[
\Rightarrow 0^{-1} = \frac{1}{0} \notin \mathbb{R}
\]
Da die Division durch null nicht definiert ist, besitzt die Null kein multiplikatives Inverses.
Beispiel:
Wir untersuchen das absorbierende Element für die Verknüpfung auf \( \mathbb{R} \):
\[
x \star y = xy + 1
\]
Aufgrund der Kommutativität gilt:
\[
x \star y = y \Rightarrow xy + 1 = y
\]
\[
\Rightarrow y(1 – x) = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{1 – x}
\]
Da das Ergebnis von \(x\) abhängt und nicht konstant ist, existiert kein absorbierendes Element.
Hinweis:
Liegt eine Verknüpfungstabelle vor, bei der eine komplette Zeile und die dazugehörige Spalte ausschließlich aus einem einzigen, identischen Element bestehen, so stellt dieses Element das absorbierende Element dar.
Beispiel:
\[
\begin{array}{c|ccc}
\star & a & b & c\\
\hline
a & b & a & c \\
b & a & a & a \\
c & b & a & c \\
\end{array}
\]
Es gibt keine vollständig uniforme Zeilen- und Spaltenkreuzung; es existiert kein absorbierendes Element.
\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & a & b & c & d\\
\hline
a & a & a & a & a \\
b & a & b & b & b \\
c & a & b & c & c \\
d & a & b & c & d \\
\end{array}
\]
Sowohl die Zeile als auch die Spalte von \( a \) bestehen durchgehend aus \( a \). Somit ist \( a \) das absorbierende Element.
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