Abschnittsweise definierte Funktion

 

Eine Funktion, die in verschiedenen Teilbereichen ihres Definitionsbereichs durch unterschiedliche Funktionsvorschriften definiert ist, nennt man abschnittsweise definierte Funktion (oder stückweise definierte Funktion).

 

Beispiel:

 

Bei der abschnittsweise definierten Funktion
\[
f(x) =
\begin{cases}
g(x), & \text{wenn } x \le r,\\
h(x), & \text{wenn } x > r,
\end{cases}
\]
gilt $f(x) = g(x)$ für den Bereich $x \le r$ und $f(x) = h(x)$ für den Bereich $x > r$.

 

Beispiel:

 

Gegeben sei die abschnittsweise definierte Funktion:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{wenn } x \le 1,\\
x + 1, & \text{wenn } 1 < x < 3,\\
2x, & \text{wenn } x \ge 3.
\end{cases}
\]
Wir berechnen die Funktionswerte $f(0)$, $f(2)$ und $f(5)$.

\[
\text{Für } x = 0 \text{ gilt } x \le 1 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = x^2
\quad\Longrightarrow\quad f(0) = 0
\]

\[
\text{Für } x = 2 \text{ gilt } 1 < x < 3
\quad\text{folglich}\quad f(x) = x + 1
\quad\Longrightarrow\quad f(2) = 3
\]

\[
\text{Für } x = 5 \text{ gilt } x \ge 3
\quad\text{folglich}\quad f(x) = 2x
\quad\Longrightarrow\quad f(5) = 10
\]

 

Beispiel:

 

Gegeben ist:
\[
f(3x + 1) =
\begin{cases}
2x + 1, & \text{wenn } x \ge -\tfrac{1}{3},\\
-x + 1, & \text{wenn } x < -\tfrac{1}{3}.
\end{cases}
\]
Wir bestimmen die Ausdrücke für $f(0)$ und $f(x)$.

Um den Wert $f(0)$ zu berechnen, setzen wir auf beiden Seiten der Gleichung $x = -\tfrac{1}{3}$ ein:
\[
f(3x + 1) = 2x + 1 \]
\[f\bigl(3\cdot(-\frac{1}{3}) + 1\bigr) = 2\cdot\bigl(-\frac{1}{3}\bigr) + 1
= \frac{1}{3}\]
\[f(0) = \frac{1}{3}
\]

Um den allgemeinen Ausdruck $f(x)$ zu finden, substituieren wir $x$ auf beiden Seiten durch $\tfrac{x – 1}{3}$:
\[
f\!\Bigl(3\,\bigl(\tfrac{x – 1}{3}\bigr) + 1\Bigr) =
\begin{cases}
2\!\bigl(\frac{x – 1}{3}\bigr) + 1, & \text{wenn } \frac{x – 1}{3} \ge -\frac{1}{3},\\
-\!\bigl(\frac{x – 1}{3}\bigr) + 1, & \text{wenn } \frac{x – 1}{3} < -\frac{1}{3},
\end{cases}
\]
Vereinfachung der Terme und Intervalle:
\[
\begin{cases}
\frac{2x + 1}{3}, & \text{wenn } x \ge 0,\\
\frac{-x + 4}{3}, & \text{wenn } x < 0,
\end{cases}
\]
Daraus ergibt sich die endgültige Funktionsvorschrift:
\[
f(x) =
\begin{cases}
\dfrac{2x + 1}{3}, & \text{wenn } x \ge 0,\\
\dfrac{-x + 4}{3}, & \text{wenn } x < 0.
\end{cases}
\]

 

Beispiel:

 

Gegeben ist die Funktion:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{wenn } x < 0,\\
1 + x, & \text{wenn } x \ge 0.
\end{cases}
\]
Wir bestimmen die verkettete Funktion $(f \circ f)(x)$.

Fall 1: Für $x < 0$ ist $f(x) = x^2$. Die Verkettung lautet $(f \circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = f(x^2)$.
\[
x < 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x^2 > 0
\quad\Rightarrow\quad
f\bigl(x^2\bigr) = 1 + x^2
\]

Fall 2: Für $x \ge 0$ ist $f(x) = 1 + x$. Die Verkettung lautet $(f \circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = f(1 + x)$.
\[
x \ge 0
\;\;\Longrightarrow\;\;
1 + x \ge 0
\quad\Rightarrow\quad
f(1 + x) = 1 + (1 + x) = 2 + x
\]

Zusammenfassung der beiden Fälle:
\[
(f \circ f)(x) =
\begin{cases}
1 + x^2, & \text{wenn } x < 0,\\
2 + x, & \text{wenn } x \ge 0.
\end{cases}
\]

 

Beispiel:

 

Gegeben sind die Funktionen:
\[
f(x) =
\begin{cases}
1 – x, & \text{wenn } x < 1,\\
x^2 + 1, & \text{wenn } x \ge 1,
\end{cases}
\quad\text{und}\quad
g(x) =
\begin{cases}
x + 1, & \text{wenn } x < 0,\\
1 – x^2, & \text{wenn } x \ge 0.
\end{cases}
\]
Wir bestimmen die Summenfunktion $(f + g)(x)$ durch Schnittmengenbildung der Intervalle.

Bereich 1: Für $x < 0$:
\[
x < 0
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = 1 – x, \quad g(x) = x + 1
\quad\Rightarrow\quad
(f + g)(x) = (1 – x) + (x + 1) = 2
\]

Bereich 2: Für $x \ge 1$:
\[
x \ge 1
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = x^2 + 1, \quad g(x) = 1 – x^2
\quad\Rightarrow\quad
(f + g)(x) = (x^2 + 1) + (1 – x^2) = 2
\]

Bereich 3: Für den verbleibenden Mittelteil $0 \le x < 1$:
\[
0 \le x < 1
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = 1 – x, \quad g(x) = 1 – x^2
\quad\Rightarrow\quad
(f + g)(x) = (1 – x) + (1 – x^2) = 2 – x – x^2
\]

Daraus resultiert die abschnittsweise Summenfunktion:
\[
(f + g)(x) =
\begin{cases}
2, & \text{wenn } x < 0,\\
2 – x – x^2, & \text{wenn } 0 \le x < 1,\\
2, & \text{wenn } x \ge 1.
\end{cases}
\]

 

Beispiel:

 

Gegeben sind die Funktionen:
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x + 1, & \text{wenn } x \le 0,\\
1 – x, & \text{wenn } 0 < x < 2,\\
1, & \text{wenn } x \ge 2,
\end{cases}
\quad \text{und} \quad
g(x) =
\begin{cases}
2, & \text{wenn } x \le -2,\\
1 – 2x, & \text{wenn } x > -2.
\end{cases}
\]
Wir bestimmen den Ausdruck für $(f – g)(x)$ ausschließlich im Intervall $-1 < x < 0$.

\[
\text{Im Intervall } -1 < x < 0 \text{ gilt für die Einzelkomponenten:}
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = 2x + 1 \quad \text{und} \quad g(x) = 1 – 2x
\]
\[
(f-g)(x) = f(x) – g(x) = (2x + 1) – (1 – 2x) = 4x
\]

 

Beispiel:

 

Wir suchen die Umkehrfunktion der folgenden Funktion:
\[
f(x) =
\begin{cases}
\sqrt{x} + 1, & \text{wenn } x \ge 0,\\
x^2, & \text{wenn } x < 0.
\end{cases}
\]

Teil 1: Für $x \ge 0$ bildet die Funktion den Definitionsbereich auf folgende Zielmenge ab:
\[
f: [0,\infty)\to[1,\infty), \quad y = \sqrt{x} + 1 \]
\[ \Rightarrow
y – 1 = \sqrt{x}
\quad\Longrightarrow\quad
(y – 1)^2 = x = f^{-1}(y)
\]
Somit gilt für diesen Abschnitt:
\[
f^{-1} : [1,\infty) \to [0,\infty),
\quad
f^{-1}(x) = (x – 1)^2
\]

Teil 2: Für $x < 0$ gilt:
\[
f: (-\infty,0)\to(0,\infty), \quad y = x^2 \]
\[ \Rightarrow\quad
\sqrt{y} = \sqrt{x^2} = |x|
\]
Da in diesem Abschnitt $x < 0$ vorausgesetzt ist, gilt $|x| = -x$, folglich:
\[
\sqrt{y} = -x \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{y} = x = f^{-1}(y)
\]
Daraus ergibt sich für den zweiten Abschnitt:
\[
f^{-1} : (0,\infty) \to (-\infty,0),
\quad
f^{-1}(x) = -\sqrt{x}
\]

Zusammenführung der Abschnitte als Relation:
\[
f^{-1}(x) =
\begin{cases}
(x – 1)^2, & \text{wenn } x \ge 1,\\
-\sqrt{x}, & \text{wenn } x > 0.
\end{cases}
\]
Da die ursprüngliche Funktion $f$ nicht bijektiv (injektiv und surjektiv) ist, stellt $f^{-1}$ keine mathematische Funktion dar, sondern lediglich eine Relation.

 

Beispiel:

 

Wir bestimmen die Umkehrfunktion für:
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x, & \text{wenn } x \ge 0,\\
-x^2,& \text{wenn } x < 0.
\end{cases}
\]

Teil 1: Für $x \ge 0$:
\[
f: [0,\infty)\to[0,\infty), \quad y = 2x \quad \Rightarrow \quad \frac{y}{2} = x = f^{-1}(y)
\]
Daraus folgt:
\[
f^{-1}: [0,\infty)\to[0,\infty),
\quad
f^{-1}(x) = \frac{x}{2}
\]

Teil 2: Für $x < 0$:
\[
f : (-\infty,0) \to (-\infty,0),
\quad y = -x^2
\quad\Longrightarrow\quad
-y = x^2
\quad\Longrightarrow\quad
\sqrt{-y} = \sqrt{x^2} = |x|
\]
Wegen $x < 0$ gilt $|x| = -x$:
\[
\sqrt{-y} = -x
\quad\Longrightarrow\quad
-\sqrt{-y} = x = f^{-1}(y)
\]
Daraus folgt:
\[
f^{-1} : (-\infty,0) \to (-\infty,0),
\quad f^{-1}(x) = -\,\sqrt{-x}
\]

Das Gesamtergebnis lautet:
\[
f^{-1}(x) =
\begin{cases}
\dfrac{x}{2}, & \text{wenn } x \ge 0,\\[6pt]
-\sqrt{-x}, & \text{wenn } x < 0.
\end{cases}
\]
Da die mathematische Funktion $f$ im gegebenen Definitionsbereich vollständig bijektiv ist, ist auch ihre Inverse $f^{-1}$ eine eindeutige Funktion.

 

Beispiel:

 

Gegeben ist:
\[
f(2 – x) =
\begin{cases}
x + 2, & \text{wenn } x \le 0,\\
-x + 1, & \text{wenn } x > 0.
\end{cases}
\]
Wir bestimmen den reinen Ausdruck $f(x)$.

Um $f(x)$ zu isolieren, substituieren wir die Variable $x$ im gesamten Ausdruck durch den Term $(2 – x)$:
\[
f\bigl(2 – (2 – x)\bigr) = f(x).
\]
Die abschnittsweise Ersetzung lautet demnach:
\[
f(2 – (2 – x)) =
\begin{cases}
(2 – x) + 2, & \text{wenn } 2 – x \le 0,\\
-\,(2 – x) + 1, & \text{wenn } 2 – x > 0.
\end{cases}
\]
Auflösen der Ungleichungen nach $x$:
\[
\Longrightarrow
f(x) =
\begin{cases}
4 – x, & \text{wenn } x \ge 2,\\
x – 1, & \text{wenn } x < 2.
\end{cases}
\]

 

AUFGABE 34

 

Gegeben sind die Funktionen:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 3, & \text{wenn } x > 4,\\
2, & \text{wenn } x \le 4,
\end{cases}
\qquad
g(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{wenn } x > 2,\\
1 – x, & \text{wenn } x \le 2.
\end{cases}
\]
Welchen Wert besitzt die dreifache Verkettung $(f \circ g \circ f)(4)$?

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Lösung:

 

Wir lösen die Funktionskette von innen nach außen auf:
\[
(f \circ g \circ f)(4) = f\bigl(g\bigl(f(4)\bigr)\bigr).
\]
Schritt 1: Da für das Argument $x = 4$ die Bedingung $x \le 4$ zutrifft, gilt:
\[
f(4) = 2
\]
Schritt 2: Wir setzen das Ergebnis in die Funktion $g$ ein. Da für das Argument $x = 2$ die Bedingung $x \le 2$ erfüllt ist, gilt:
\[
g(2) = 1 – 2 = -1
\]
Schritt 3: Wir setzen den Wert $-1$ in die äußere Funktion $f$ ein. Da $-1 \le 4$ erfüllt ist, gilt:
\[
f(-1) = 2
\]
Daraus ergibt sich das Gesamtergebnis der Verkettung:
\[
(f \circ g \circ f)(4) = 2
\]

\(\textbf{Antwort: B} \)