Aufstellen quadratischer Gleichungen bei gegebenen Wurzeln
Seien \( x_1, x_2 \) die Wurzeln der quadratischen Gleichung
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
Diese Gleichung lässt sich mithilfe ihrer Linearfaktoren in der Form
\[
(x – x_1) (x – x_2) = 0
\]
schreiben. Durch Ausmultiplizieren und anschließendes Ordnen der Terme erhält man:
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
Hinweis:
Für jede von Null verschiedene reelle Zahl \( a \) ist die Gleichung
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
äquivalent zur Gleichung
\[
a[x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2] = 0
\]
Das bedeutet, dass ihre Lösungsmengen identisch sind.
Beispiel:
Die Gleichung
\[
x^2 – 2x – 5 = 0
\]
und die Gleichung
\[
4x^2 – 8x – 20 = 0
\]
besitzen dieselbe Lösungsmenge.
Beispiel:
Wir bestimmen die quadratische Gleichung, deren Lösungsmenge \( \{2 + \sqrt{2}, \quad 2 – \sqrt{2} \} \) ist.
Da die Wurzeln gegeben sind durch
\[
x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 – \sqrt{2}
\]
erhält man für die Summe der Wurzeln:
\[
x_1 + x_2 = 2 + \sqrt{2} + 2 – \sqrt{2} = 4
\]
Für das Produkt der Wurzeln ergibt sich:
\[
x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{2}) (2 – \sqrt{2}) = 2
\]
Mithilfe der Normalform folgt somit:
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 – 4x + 2 = 0
\]
Beispiel:
Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 23 Flächeneinheiten, sein Umfang misst 20 Längeneinheiten. Bestimmen wir die Seitenlängen dieses Rechtecks.
Seien \( x_1 \) und \( x_2 \) die Seitenlängen des Rechtecks.
\[
x_1 \cdot x_2 = 23, \quad 2(x_1 + x_2) = 20 \Rightarrow x_1 + x_2 = 10
\]
Daraus lässt sich die folgende quadratische Gleichung aufstellen:
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 – 10x + 23 = 0
\]
Durch Lösen dieser Gleichung erhalten wir die Seitenlängen:
\[
x_1 = 5 + \sqrt{2} \quad \text{LE} \quad \text{und} \quad x_2 = 5 – \sqrt{2} \quad \text{LE.}
\]
AUFGABE 31
Welche der folgenden Optionen stellt die quadratische Gleichung dar, deren Wurzeln die Beziehungen
\[
3x_1 + 2x_2 + x_1 x_2 = 2 – x_2
\]
und
\[
x_1 + x_2 = 3 + 2x_1 x_2
\]
erfüllen?
\[
\text{A) } x^2-x-1 =0 \quad
\text{B) } x^2+x-1 =0 \quad
\]
\[
\text{C) } x^2-2x+1 =0 \quad
\text{D) } x^2-2x-2=0 \quad
\text{E) } x^2+2x-2=0
\]
Lösung:
Durch Umformen der gegebenen Gleichungen erhalten wir:
\[
3x_1 + 2x_2 + x_1 x_2 = 2 – x_2 \Rightarrow 3(x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 2
\]
\[
x_1 + x_2 = 3 + 2x_1 x_2 \Rightarrow x_1 + x_2 – 2x_1 x_2 = 3
\]
Durch gemeinsames Lösen dieses Gleichungssystems ergibt sich:
\[
x_1 + x_2 = 1 \quad \text{und} \quad x_1 x_2 = -1
\]
Einsetzen dieser Werte in die allgemeine Normalform
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0
\]
liefert die gesuchte Gleichung:
\[
x^2 – x – 1 = 0
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 32
Gegeben ist die Gleichung \( x^2 – 6x + 2 = 0 \). Welche der folgenden Optionen stellt die quadratische Gleichung dar, deren Wurzeln durch \( x_1 – \frac{1}{x_2} \) und \( x_2 – \frac{1}{x_1} \) gegeben sind?
\[ \text{A) } x^2-3x+11 =0 \quad \quad \text{B) } x^2-6x+1 =0 \]
\[ \text{C) } 2x^2-6x+1 =0 \quad \quad \text{D) } 2x^2+6x+1=0 \]
\[ \text{E) } 2x^2+6x-1=0 \]
Lösung:
Seien \( a \) und \( b \) die Wurzeln der gesuchten Gleichung.
\[ a = x_1 – \frac{1}{x_2}, \quad b = x_2 – \frac{1}{x_1} \]
Zuerst bestimmen wir die Summe dieser neuen Wurzeln, \( a + b \):
\[ a + b = x_1 – \frac{1}{x_2} + x_2 – \frac{1}{x_1} \]
\[
= x_1 + x_2 – \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 6 – \frac{6}{2} = 3
\]
Nun bestimmen wir das Produkt der neuen Wurzeln, \( a \cdot b \):
\[ a \cdot b = \left( x_1 – \frac{1}{x_2} \right) \left( x_2 – \frac{1}{x_1} \right) \]
\[
= x_1 x_2 – 1 – 1 + \frac{1}{x_1 x_2}
\]
\[
= 2 – 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]
Die Gleichung lässt sich in der Form
\[ x^2 – (a + b)x + ab = 0 \]
schreiben. Durch Einsetzen der Werte erhalten wir:
\[
x^2 – 3x + \frac{1}{2} = 0
\]
Multiplikation mit 2 liefert schließlich die ganzzahlige Form:
\[
\Rightarrow 2x^2 – 6x + 1 = 0
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 33
Welche der folgenden Optionen stellt die quadratische Gleichung dar, deren Wurzeln die Kehrwerte der Wurzeln von \( x^2 + 2x – 5 = 0 \) sind?
\[ \text{A) } x^2+5x-1 =0 \quad \quad \text{B) } x^2-5x+1 =0 \]
\[ \text{C) } 5x^2+3x-1 =0 \quad \quad \text{D) } 5x^2-2x-1=0 \]
\[ \text{E) } 5x^2+2x-1=0 \]
Lösung:
Sei \( x_1 \) eine Wurzel der gegebenen Gleichung \( x^2 + 2x – 5 = 0 \) und \( a \) eine Wurzel der gesuchten Gleichung. Es gilt somit:
\[
a = \frac{1}{x_1} \Rightarrow x_1 = \frac{1}{a}
\]
Wir setzen diesen Ausdruck für \( x_1 \) in die ursprüngliche Gleichung ein:
\[
x^2 + 2x – 5 = 0 \Rightarrow \left( \frac{1}{a} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{a} \right) – 5 = 0
\]
\[
\Rightarrow 1 + 2a – 5a^2 = 0
\]
Multiplizieren mit \(-1\) und Ordnen der Terme ergibt:
\[
\Rightarrow 5a^2 – 2a – 1 = 0
\]
In der Standardvariable \( x \) ausgedrückt lautet die Gleichung:
\[
\Rightarrow 5x^2 – 2x – 1 = 0
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
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