Der Betrag einer Zahl (Absolutbetrag)
Für jedes $a \in \mathbb{R}$ gilt: Wenn $a = 0$ ist, ist der Absolutbetrag gleich $0$. Wenn $a \neq 0$ ist, entspricht der Betrag von $a$ dem positiven Wert von entweder $a$ oder $-a$. Der Betrag von $a$ wird durch das Symbol $|a|$ dargestellt und als fallweise definierte Funktion (stückweise Funktion) wie folgt formuliert:
$$\left| a \right| =
\begin{cases}
-a, & \text{wenn } a < 0 \\ 0, & \text{wenn } a = 0 \\a, & \text{wenn } a > 0
\end{cases}$$
- $\left| -2\right|=-(-2)=2, \quad\left| 3\right|= 3, \quad\left|0\right|=0$
- $\left| -\frac{3}{2} \right|= -(-\frac{3}{2})=\frac{3}{2}, \quad \left| \frac{4}{7} \right| =\frac{4}{7}$
- Wenn $x<y$ gilt, ist $x-y<0$. Daraus folgt: $\left| x-y\right|=-(x-y)=y-x$
- Wenn $x<0<y$ und $\left| x\right|>y$ gilt, ist $x+y<0$. Daraus folgt: $\left|x+y\right|=-x-y$
- Wenn $x<0$ gilt, ist $x^7<0$. Daraus folgt: $\left| x^7\right|= -x^7$
- $\left|x^4+1\right|=x^4+1$
Beispiel:
Unter der Bedingung $x < y < z < 0$ berechnen wir den Wert des Terms $\frac{\left| x\right|}{x}-\frac{\left| y\right|}{y}+\frac{\left| z\right|}{z}$. Da die Variablen $x < 0$, $y < 0$ und $z < 0$ allesamt negativ sind, gilt:
$$\left|x\right| = -x ,\quad \left|y\right| = -y ,\quad \left|z\right| = -z$$ Setzt man diese Werte in den Term ein, ergibt sich:
$$\frac{\left| x\right|}{x}-\frac{\left| y\right|}{y}+\frac{\left| z\right|}{z}=\frac{-x}{x}-\frac{-y}{y}+\frac{-z}{z}$$
$$=11-(-1)+(-1)=-1$$
FRAGE 6
Unter den Bedingungen $x, y, z \in \mathbb{R}$ und $x \cdot y \cdot z \neq 0$,
$$\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|z|}{z}$$
wie viele voneinander verschiedene Werte kann diese Summe annehmen?
$\text{A) } 8 \quad \text{B) } 7 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 4$
Lösung:
Der gegebene Term sei als Gesamtsumme $S$ definiert:
$$S = \frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|z|}{z}$$
Der Teilbruch $\frac{|a|}{a}$ nimmt für $(a > 0)$ den Wert $+1$ und für $(a < 0)$ den Wert $-1$ an. Zur Lösung von $S$ bestimmen wir die Vorzeichenkombinationen von $x$, $y$ und $z$, woraus sich 8 theoretische Fälle ergeben:
$(x > 0, y > 0, z > 0 \implies S = 1 + 1 + 1 = 3)$
$(x > 0, y > 0, z < 0 \implies S = 1 + 1 – 1 = 1) $
$(x > 0, y < 0, z > 0 \implies S = 1 – 1 + 1 = 1)$
$(x > 0, y < 0, z < 0 \implies S = 1 – 1 – 1 = -1) $
$(x < 0, y > 0, z > 0 \implies S = -1 + 1 + 1 = 1)$
$(x < 0, y > 0, z < 0 \implies S = -1 + 1 – 1 = -1) $
$(x < 0, y < 0, z > 0 \implies S = -1 – 1 + 1 = -1)$
$(x < 0, y < 0, z < 0 \implies S = -1 – 1 – 1 = -3)$
Zusammenfassend ergibt sich für die Menge der unterschiedlichen Ergebnisse:
$S \in \{3, 1, -1, -3\}$
Das bedeutet, der Ausdruck $S$ kann genau 4 voneinander verschiedene Werte annehmen.
Antwort:
$\text{E) } 4$