Konvertierung einer Zahl von einer beliebigen Basis in eine andere Basis
Um eine Zahl aus einer beliebigen Basis in ein anderes Zielsystem umzurechnen, wird die Zahl zuerst durch Stellenwertzerlegung in das Dezimalsystem (Basis 10) überführt. Anschließend wird dieser Dezimalwert mittels des Resteverfahrens (fortlaufende Division) in die gewünschte Zielbasis umgewandelt.
Beispiele:
- Wir bestimmen die Darstellung der Binärzahl $(1011101)_2$ im System zur Basis 3.
Zuerst erfolgt die Umrechnung ins Dezimalsystem:
\[
\begin{aligned}
(1011101)_2 &= 1\cdot2^6+0\cdot2^5+1\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0 \\
&= 64+16+8+4+1 = 93
\end{aligned}
\]
Es gilt also $(1011101)_2 = 93_{10}$. Nun teilen wir die 93 fortlaufend durch die Basis 3:
\[
\begin{array}{l}
1. \quad 93 \div 3 = 31 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 0 \\
2. \quad 31 \div 3 = 10 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 1 \\
3. \quad 10 \div 3 = 3 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 1 \\
4. \quad 3 \div 3 = 1 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 0 \\
5. \quad 1 \div 3 = 0 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 1
\end{array}
\]
Wenn wir die Reste von unten nach oben ablesen, erhalten wir $(10110)_3$. Somit gilt $(1011101)_2 = 93_{10} = (10110)_3$.
- Wir bestimmen die Darstellung der Zahl $(123)_4$ im System zur Basis 5.
Zuerst die Umrechnung ins Dezimalsystem:
\[
\begin{aligned}
(123)_4 &= 1\cdot 4^2 + 2\cdot 4^1 + 3\cdot 4^0 \\
&= 16 + 8 + 3 = 27
\end{aligned}
\]
Es gilt $(123)_4 = 27_{10}$. Nun wandeln wir 27 in die Basis 5 um:
\[
\begin{array}{l}
1. \quad 27 \div 5 = 5 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 2 \\
2. \quad 5 \div 5 = 1 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 0 \\
3. \quad 1 \div 5 = 0 \quad \text{Quotient}, \quad \text{Rest} = 1
\end{array}
\]
Rückwärts gelesen ergeben die Reste $27 = (102)_5$. Daher ist $(123)_4 = 27_{10} = (102)_5$.
Darstellung einer Zahl von der Basis $a$ in die Basis $a^n$
Wenn eine Zahl direkt von einer Basis $a$ in eine Potenzbasis $a^n$ umgeschrieben werden soll:
- Die Ziffern der gegebenen Zahl werden von rechts nach links in Gruppen von jeweils $n$ Ziffern unterteilt.
- Jede Gruppe wird, beginnend von links, separat nach den Regeln der Basis $a$ berechnet, um die entsprechende Einzelziffer für das $a^n$-System zu ermitteln.
- Die resultierenden Ziffernwerte werden in der gleichen Reihenfolge von links nach rechts zusammengestellt, um das Endergebnis zur Basis $a^n$ zu bilden.
Beispiele:
- Wir bestimmen die Darstellung von $(10110011010)_2$ im System zur Basis 8
Da $8 = 2^3$, teilen wir die Binärzahl von rechts nach links in Dreiergruppen auf (falls nötig, füllen wir links mit Nullen auf):
\[
\begin{array}{l}
(010 \quad 110 \quad 011 \quad 010)_2 = (abcd)_8 \\
(010)_2 = 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 2 = a \\
(110)_2 = 1\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 6 = b \\
(011)_2 = 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 3 = c \\
(010)_2 = 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 2 = d
\end{array}
\]
Zusammengefügt ergibt dies: $(10110011010)_2 = (2632)_8$.
- Wir bestimmen die Darstellung von $(2012201)_3$ im System zur Basis 9
Da $9 = 3^2$, teilen wir die Zahl von rechts nach links in Zweiergruppen auf:
\[
\begin{array}{l}
(02 \quad 01 \quad 22 \quad 01)_3 = (abcd)_9 \\
(02)_3 = 2 = a \\
(01)_3 = 1 = b \\
(22)_3 = 2\cdot3^1 + 2\cdot3^0 = 8 = c \\
(01)_3 = 1 = d
\end{array}
\]
Zusammengefügt ergibt dies: $(2012201)_3 = (2181)_9$.
- Wir bestimmen die Darstellung von $(101010100111010101)_2$ im System zur Basis 16
Da $16 = 2^4$, zerlegen wir die Binärkette von rechts nach links in Vierergruppen:
\[
\begin{array}{l}
(10 \quad 1010 \quad 1001 \quad 1101 \quad 0101)_2 = (abcde)_{16} \\
(0010)_2 = 2 = a \\
(1010)_2 = 10 \longrightarrow A_{16} = b \\
(1001)_2 = 9 = c \\
(1101)_2 = 13 \longrightarrow D_{16} = d \\
(0105)_2 = 5 = e
\end{array}
\]
Daraus ergibt sich das Hexadezimalresultat: $(101010100111010101)_2 = (2A9D5)_{16}$
Aufgabe 27
Wie lautet die Entsprechung der größten vierstelligen ungeraden Zahl mit paarweise verschiedenen Ziffern aus dem Fünfersystem (Basis 5) im Vierersystem (Basis 4)?
\[ \text{A) } (2203)_4 \quad \text{B) } (3011)_4 \quad \text{C) } (3201)_4 \quad \text{D) } (21021)_4 \quad \text{E) } (20121)_4 \]
Lösung:
Die gesuchte Zahl im Fünfersystem sei $(abcd)_5$. Um die Zahl zu maximieren, wählen wir für die vorderen Stellen die größtmöglichen Ziffern: $a=4, b=3, c=2$. Damit eine Zahl in einer ungeraden Basis (wie Basis 5) ungerade ist, muss ihre letzte Ziffer ungerade sein. Die größte noch verfügbare ungerade Ziffer ist $1$. Die maximale Zahl lautet folglich $(4321)_5$
Wir wandeln $(4321)_5$ ins Dezimalsystem um:
\[ (4321)_5 = 4\cdot 5^3 + 3\cdot 5^2 + 2\cdot 5^1 + 1\cdot 5^0 = 500 + 75 + 10 + 1 = 586 \]
Nun rechnen wir 586 in das Vierersystem (Basis 4) um:
\[
\begin{array}{l}
586 \div 4 = 146 \quad \text{Rest } 2 \\
146 \div 4 = 36 \quad \text{Rest } 2 \\
36 \div 4 = 9 \quad \text{Rest } 0 \\
9 \div 4 = 2 \quad \text{Rest } 1 \\
2 \div 4 = 0 \quad \text{Rest } 2
\end{array}
\]
Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben: $586_{10} = (21022)_4$.
Antwort: D
Aufgabe 28:
Was ist die Entsprechung der hexadezimalen Zahl $(5A2)_{16}$ im Dualsystem (Basis 2)?
\[ \text{A) } (101101010)_2 \quad \text{B) } (10110100010)_2 \quad \text{C) } (111010010)_2 \quad \text{D) } (1010101011)_2 \quad \text{E) } (1100110101)_2 \]
Lösung:
Da $16 = 2^4$, entspricht jede hexadezimale Ziffer genau einem Block aus 4 Binärziffern (Bits). Wir schlüsseln die Ziffern von links nach rechts auf:
\[
\begin{array}{l}
5 = (0101)_2 \\
A = 10 = (1010)_2 \\
2 = (0010)_2
\end{array}
\]
Aneinandergereiht ergibt das $(010110100010)_2$. Da die führende Null ganz links den Wert nicht beeinflusst, schreiben wir kürzer: $(10110100010)_2$
Antwort: B
Aufgabe 29
Aus wie vielen Basisziffern (Stellen) besteht die duale Entsprechung der Hexadezimalzahl $(5A93C2)_{16}$?
\[ \text{A) } 16 \quad \text{B) } 21 \quad \text{C) } 23 \quad \text{D) } 24 \quad \text{E) } 26 \]
Lösung:
Da $16 = 2^4$ gilt, liefert jede Ziffer im Hexadezimalsystem genau 4 Bits im Dualsystem, sofern wir führende Nullen der vordersten Stelle weglassen. Die Zahl $(5A93C2)_{16}$ hat 6 Stellen. Die hinteren 5 Stellen ($A, 9, 3, C, 2$) erzeugen exakt $5 \times 4 = 20$ Stellen im Dualsystem. Die vorderste Ziffer $5$ lautet binär $(101)_2$ und belegt somit 3 Stellen. Insgesamt hat die Zahl im Dualsystem demnach $20 + 3 = 23$ Stellen.
Antwort: C