Multiplikation und Division rationaler Zahlen

 

Multiplikation und Division rationaler Zahlen

 

Multiplikation:

 

Bei der Multiplikation rationaler Zahlen werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert. Die Produkte werden in den Zähler bzw. Nenner des Ergebnisbruchs geschrieben.

 

$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

 

Beispiele:

 

\( \bullet \) $ \left( \left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1-\displaystyle\frac{1}{3}\right) \cdot \left(1- \displaystyle\frac{1}{4}\right) \cdots \left(1-\displaystyle\frac{1}{101}\right) \cdot 101 \right) $

$$ =\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{3}{4} \cdots \displaystyle\frac{100}{101} \cdot 101 = 1 $$

 

 

\( \bullet \) Gegeben ist die Gleichung $ \left(1+ \displaystyle\frac{1}{5}\right) \cdot \left(1+ \displaystyle\frac{1}{6}\right) \cdot \left(1 +\displaystyle \frac{1}{7}\right) \cdots \left(1+ \displaystyle\frac{1}{99}\right) \cdot a = \displaystyle\frac{200}{b} $. Wir wollen das Produkt $ a \cdot b $ bestimmen.

$ \Rightarrow \left( 1+ \displaystyle\frac{1}{5}\right) \cdot \left(1+ \displaystyle\frac{1}{6}\right) \cdot \left(1 + \displaystyle\frac{1}{7}\right) \cdots \left(1+ \displaystyle\frac{1}{99}\right) \cdot a = \displaystyle\frac{200}{b} $

$ \Rightarrow \displaystyle\frac{6}{5} \cdot \displaystyle \frac{7}{6} \cdot \displaystyle \frac{8}{7} \cdots \displaystyle\frac{100}{99} \cdot a = \displaystyle\frac{200}{b} $

$ \Rightarrow \displaystyle\frac{100}{5} \cdot a = \displaystyle\frac{200}{b} $

Durch Überkreuzmultiplikation (Auflösen des Bruchs) erhält man:

$ a \cdot b = 10 \quad \text{als Ergebnis.} $

 

Division:

 

Zwei rationale Zahlen werden dividiert, indem man den ersten Bruch (Dividenden) mit dem Kehrwert (multiplikatives Inverses) des zweiten Bruchs (Divisors) multipliziert.

Für $$ a \cdot b \neq 0 $$ gilt: Der Kehrwert von \( \frac{a}{b} \) ist \( \frac{b}{a} \).

$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d }{ b \cdot c} $$ Zudem gilt für Doppelbrüche:

$$ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{b}}{\displaystyle\frac{c}{d}} = \displaystyle\frac{a \cdot d}{b \cdot c} = \displaystyle\frac{\text{Produkt der Außenglieder} }{\text{Produkt der Innenglieder} } $$

Dabei ist zu beachten, dass $a$ und $d$ als Außenglieder und $b$ und $c$ als Innenglieder bezeichnet werden.

 

Hinweis / Alternative Methode:

 

Bei der Division können Zähler und Nenner von Dividend und Divisor auch wechselseitig mit derselben Zahl (ungleich Null) multipliziert oder dividiert werden, um die Werte zu vereinfachen. Beispiel:

$$\to \frac{1}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 1}{4} \div \frac{2 \cdot 2}{5} = \frac{2}{4} \div \frac{4}{5} ,$$

 

$$\to \frac{1}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 3} \div \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{9} \div \frac{1}{12} ,$$

$$\to \frac{2}{3} \div \frac{4}{7} = \frac{2 \div 2}{3} \div \frac{4 \div 2}{7} = \frac{1}{3} \div \frac{2}{7} , $$

$$\to \frac{3}{4} \div \frac{5}{6} = \frac{3}{4 \div 2} \div \frac{5}{6 \div 2} = \frac{3}{2} \div \frac{5}{3} , $$

$$\to \frac{9}{8} \div \frac{3}{4} = \frac{9 \div 3}{8 \div 4} \div \frac{3 \div 3}{4 \div 4} = \frac{3}{2} , $$

$$\to \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{8}{14} }{\displaystyle\frac{4}{7} }= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{8 \div 4}{14 \div 7} }{\displaystyle\frac{4 \div 4}{7 \div 7} } =\displaystyle\frac{2}{2}=1$$

 

Beispiele:

 

  • \[\begin{aligned}
    & \left (\frac{7}{9}- \frac{2}{3} \div \frac{3}{4} + \frac{4}{6} \div \frac{2}{3} – \left(\frac{10}{27} – \frac{2}{9}\right) \right)\\
    \\
    &= \left(\frac{7 \cdot 3 – 9 \cdot 2}{9 \cdot 3} \div \frac{3}{4} + \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{2} – \left(\frac{10}{27} – \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}\right) \right)\\
    \\
    &= \frac{3}{27} \cdot \frac{4}{3} + 1 – \frac{4}{27} \\
    \\
    &= \frac{4}{27} + 1 – \frac{4}{27} = 1
    \\
    \end{aligned}
    \]

 

\[ \begin{aligned}
\to & \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{7}{9}-\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} + \frac{1}{6} – \left(\frac{1}{9}+ 3\right)\right)\\
\\
&= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{7}{9} – \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} + \frac{1}{6} – \frac{1}{9} -3 \right)\\
\\
&= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{7-8-1}{9} + \frac{3}{18} -3 \right) = -3 \\
\end{aligned}\]

 

  • $$= \frac{\left(\frac{1}{2} \div 5-\frac{1}{5} \div 2+\frac{1}{3}\right)^2 \div 2-\frac{1}{6}} {\frac{1}{2} – \frac{1}{3} } $$

$$ = \frac{\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5} -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} +\frac{1}{3}\right)^2 \div 2-\frac{1}{6}} {\frac{3-2}{6} }$$

$$ = \frac{\left( \frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} – \frac{1}{6} }{\frac{1}{6} } = \frac{\left( \frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} – \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{3} }{\frac{1}{6} }$$

$$ = \left(\frac{1}{18} – \frac{3}{18}\right) \cdot \frac{6}{1} = \frac{-2}{18} \cdot 6 = -\frac{2}{3} $$

 

  • $$ \left(3 \frac{1}{4} + 5 \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{5} \div 2 \frac{1}{3} \right)$$

$$= \left( \frac{3 \cdot 4+ 1}{4} + \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} \cdot \frac{2}{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{5} \div \frac{2 \cdot 3+1}{3} \right) $$

$$ = \left(\frac{13+22}{4} \right)\cdot \left(\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} \right) = \frac{35 \cdot 4 \cdot 3 }{4 \cdot 5 \cdot 7}= 3 $$

 

  • $$ \frac{\left(2 \frac{1}{3} +3 \div \frac{8}{6} \right)}{-2 \frac{1}{3} \div \left(\frac{1}{3} \div \frac{1}{2} \right) } = \frac{\left(\frac{2 \cdot 3 + 1 }{3} + 3\right) \cdot \frac{6}{8} }{- \frac{2 \cdot 3 +1}{3} \div \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} \right) } $$

$$= \frac{\frac{7+3 \cdot 3 }{3} \cdot \frac{6}{8}} {-\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} } = \frac{2 \cdot 2 }{-\frac{7}{2} } = – \frac{8}{7} $$

 

Doppelbrüche und mehrstöckige Brüche (Kettenbrüche):

 

Bei dieser Art von verschachtelten Brüchen wird zuerst der Hauptbruchstrich ermittelt. Anschließend arbeitet man sich beim Zähler von oben nach unten zum Hauptbruchstrich hin vor, und beim Nenner von unten nach oben (vom untersten Ende) zum Hauptbruchstrich hin.

\[ x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{5}}}} \]

 

Beispiele:

 

1) \[2- \cfrac{3}{ 3+ \cfrac{2}{1- \frac{1}{3} } } = 2- \frac{3}{3+2 \cdot \frac{3}{2} } = 2 – \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]

 

 

2) $$1 + \cfrac{ 2+ \cfrac{\frac{1}{2} – \frac{1}{3} }{2- \frac{1}{3} } }{3} = 1 + \cfrac{2+ \frac{\frac{1}{6} }{\frac{5}{6} } }{3} $$

$$ 1+ \frac{2+ \frac{1}{5} }{3} = 1+ \frac{11}{15} = \frac{26}{15} $$

 

 

3) $$ 3 – \cfrac{1 – \cfrac{(\frac{1}{2} – 2 ) -\left(\frac{1}{2} + 2 \right)}{1 + \frac{1}{3} } }{\frac{2}{3} \div \left(1 – \frac{2}{3} \right) } $$

\[ = 3 – \cfrac{\displaystyle 1 – \cfrac{\displaystyle \frac{1}{2} – 2 – \frac{1}{2} – 2}{\displaystyle \frac{4}{3}}}{\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{1}{3}} \]

\[ = 3 – \cfrac{1 – \cfrac{-4}{\cfrac{4}{3}}}{2} \] \[ = 3 – \cfrac{1 – (-3)}{2} \] \[ = 3 – \cfrac{4}{2} = 3 – 2 \] \[ = 1 \]

 

 

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