Rationale Zahlen
Die Menge, die aus allen zu einem bestimmten Bruch äquivalenten Brüchen besteht, beschreibt eine einzige Zahl. Eine solche Zahl wird als rationale Zahl bezeichnet. Wir können eine rationale Zahl durch jedes beliebige Element der Menge darstellen, die diese Zahl definiert.
Wenn a und b teilerfremde Zahlen sind, sei die Menge
$$A=\left\{\frac{a}{b}, \frac{2a}{2b}, \frac{3a}{3b}, \cdots, \frac{ka}{kb}, \cdots \right\}\,\, k \in \mathbb{Z} $$
*(Hinweis: Der Tippfehler im Originaltext bezüglich des ersten Terms $\frac{a}{2b}$ wurde auf die mathematisch korrekte Form $\frac{a}{b}$ angepasst).*
gegeben. Da die Brüche, die Elemente dieser Menge sind, äquivalent zueinander sind, stellt die Menge A eine rationale Zahl dar. Das repräsentative Element
dieser Menge ist \( \frac{a}{b} \). Ebenso wie die durch die Menge A ausgedrückte rationale Zahl durch \( \frac{a}{b} \) repräsentiert werden kann, kann sie auch durch jedes andere Element dieser Menge dargestellt werden.
Hinweis:
Jeder Bruch stellt eine rationale Zahl dar. Jede der Zahlen $$-\frac{2}{7}, -\frac{4}{3}, \frac{9}{7}, \frac{11}{12} , 0, 8, \cdots $$ stellt eine rationale Zahl dar.
VERGLEICH UND ORDNUNG RATIONALER ZAHLEN
Rationale Zahlen können auf 5 verschiedene Weisen nach ihrer Größe verglichen werden:
- Bei zwei positiven rationalen Zahlen mit gleichen Nennern ist diejenige mit dem kleineren Zähler kleiner.
$$ \frac{3}{7} < \frac{4}{7} < \frac{5}{7} $$
Beispiel:
$$ \left\{ \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{4}{6} \right\} $$
Wir wollen diese Zahlen von klein nach groß ordnen.
Wenn wir die Nenner der Brüche auf ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches bringen; $\text{kgV}(4, 8, 6) = 24$. Daraus ergibt sich:
\[\begin{array}{l l l}
\displaystyle\frac{3}{4}\cdot \displaystyle\frac{6}{6} =\displaystyle\frac{18}{24} \\
\displaystyle\frac{5}{8} \cdot \displaystyle\frac{3}{3} = \displaystyle\frac{15}{24} \\
\displaystyle\frac{4}{6} \cdot \displaystyle\frac{4}{4} =\displaystyle\frac{16}{24} \quad \text{daraus folgt} \\
\displaystyle\frac{15}{24} <\frac{16}{24} <\frac{18}{24} \quad \text{Somit gilt:} \\
\displaystyle\frac{5}{8} <\displaystyle\frac{4}{6} <\displaystyle\frac{3}{4} \quad \text{als geordnete Reihenfolge.}
\end{array}\]
2. Bei zwei positiven rationalen Zahlen mit gleichen Zählern ist diejenige mit dem kleineren Nenner größer.
$$ \frac{8}{3} > \frac{8}{5} > \frac{8}{6} $$
Beispiel:
$$ \left\{ \frac{3}{5}, \frac{2}{6}, \frac{4}{7} \right\} $$
Wir wollen die Zahlen ordnen.
Wenn wir die Zähler der Brüche auf ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches bringen; $\text{kgV}(3, 2, 4) = 12$. Daraus ergibt sich:
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{4}{4} = \displaystyle\frac{12}{20}} \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{2}{6} \cdot \displaystyle\frac{6}{6} = \displaystyle\frac{12}{36}} \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{4}{7} \cdot \displaystyle\frac{3}{3} = \displaystyle\frac{12}{21}} \end{array}\]
folglich gilt
$${\frac{12}{20} >\frac{12}{21} > \frac{12}{36} \Rightarrow \frac{3}{5}> \frac{4}{7} >\frac{2}{6} }$$ als geordnete Reihenfolge.
Wobei \(\displaystyle{\frac{a}{b} }\) und \(\displaystyle{\frac{c}{d} }\) zwei positive Brüche sind:
\[\begin{array}{l l } \text{wenn } {\displaystyle\frac{a}{b} \div \displaystyle\frac{c}{d}} > 1 \quad \text{dann gilt} \quad {\displaystyle\frac{a}{b} >\displaystyle\frac{c}{d} } \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } \text{wenn } {\displaystyle\frac{a}{b} \div \displaystyle\frac{c}{d}} < 1 \quad \text{dann gilt} \quad {\displaystyle\frac{a}{b} <\displaystyle\frac{c}{d} } \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } \text{wenn } {\displaystyle\frac{a}{b} \div \displaystyle\frac{c}{d}} = 1 \quad \text{dann gilt} \quad {\displaystyle\frac{a}{b} =\displaystyle\frac{c}{d} } \quad \text{.} \end{array}\]
*(Hinweis: Ein logischer Vorzeichenfehler im letzten Teilsatz des Originaltexts wurde korrigiert).*
Beispiel:
Wir wollen die Brüche \( \displaystyle{\frac{2}{3} } \quad \) und \( \quad \displaystyle{\frac{3}{4} } \) untersuchen.
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{2}{3} \div \displaystyle\frac{3}{4} =\displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{4}{3} =\displaystyle \frac{8}{9} < 1} \end{array}\]
Da das Ergebnis kleiner als 1 ist, ist der Dividend \(\displaystyle {\frac{2}{3} } \) kleiner. Das heißt: \(\displaystyle{\frac{2}{3} < \frac{3}{4} } \).
4. Rationale Zahlen können verglichen werden, indem man sie in Dezimalzahlen umwandelt. Von zwei Dezimalzahlen ist diejenige mit dem größeren ganzzahligen Teil größer. Dezimalzahlen mit gleichem ganzzahligem Teil werden anhand der Stellen nach dem Komma verglichen.
Und zwar so: Von links nach rechts werden die Ziffern auf den jeweils gleichen Stellenwerten nacheinander betrachtet. Es werden die ersten von links nach rechts auftretenden, voneinander verschiedenen Ziffern auf demselben Stellenwert verglichen. Die Dezimalzahl, die an dieser Stelle die größere Ziffer besitzt, ist die größere Zahl.
Beispiele:
- 3,21 > 2,95 (die ganzzahligen Teile sind verschieden und 3 > 2)
- Wir wollen die Zahlen 2,3428 und 2,3432 vergleichen. Da die ganzzahligen Teile gleich sind, vergleichen wir die Stellen nach dem Komma von links nach rechts. Der erste Stellenwert, an dem wir auf unterschiedliche Ziffern stoßen, ist die Tausendstel-Stelle. Da für diese Ziffern 2 < 3 gilt, ist die Zahl mit der Ziffer 2 an der Tausendstel-Stelle kleiner.
- Wir wollen die Zahlen 3,418 mit 3,602 und 3,42 vergleichen. Wenn wir diese Zahlen wie im obigen Beispiel anordnen, ergibt sich 3,602 > 3,42 > 3,418.
5. Bei positiven Brüchen, bei denen die Differenz zwischen Zähler und Nenner gleich ist, gilt mit zunehmender Größe der Zahlen in Zähler und Nenner: Der Wert von echten Brüchen steigt, während der Wert von unechten Brüchen sinkt.
\[\begin{array}{l l }
{\displaystyle\frac{3}{8} <\displaystyle\frac{4}{9} <\displaystyle\frac{7}{12}< \displaystyle\frac{8}{13} \cdots} \\ {\displaystyle\frac{5}{3} >\displaystyle\frac{7}{5} >\displaystyle\frac{9}{7} >\displaystyle\frac{10}{8} \cdots }\\
\end{array}\]
Hinweis: Beim Vergleich negativer Zahlen wird die Sortierung zunächst ohne Berücksichtigung des Vorzeichens vorgenommen. Am Ende werden alle Zahlen mit -1 multipliziert, wodurch sich die Richtung des Vergleichszeichens umkehrt.
Beispiel:
\[\begin{array}{l l } a= {-\displaystyle\frac{11}{10}} , b= {-\displaystyle\frac{101}{100}} , c= {-\displaystyle\frac{1001}{1000}} \end{array}\]
Wir wollen das Verhältnis zwischen den Zahlen a, b und c bestimmen.
Ordnet man die gegebenen Zahlen ohne Berücksichtigung des Vorzeichens, erhält man:
\[ {\frac{11}{10}} > {\frac{101}{100}} > {\frac{1001}{1000}} \]
Wird jede Seite der Ungleichung mit -1 multipliziert, so ergibt sich:
\[ {-\frac{11}{10}} < {-\frac{101}{100}} < {-\frac{1001}{1000}} \]
Demnach gilt: a < b < c.
Beispiel:
Wir wollen die Menge der Ziffern finden, die in der Spalte 24,48 < 24,X5 für X eingesetzt werden können.
Vergleicht man die Zehntelstellen, so müssen die Ziffern, die für X eingesetzt werden können, größer als 4 sein, damit die gegebene Ungleichung wahr ist (da bei X=4 der Wert 24,48 nicht kleiner als 24,45 ist). Demnach ist die Menge der Ziffern, die anstelle von X stehen können:
$$\{5,6,7,8,9\}$$
wird ermittelt.