Arithmetische Operationen in beliebigen Zahlensystemen

Die Addition, Multiplikation und Subtraktion von zwei Zahlen, die in derselben Basis geschrieben sind, erfolgt analog zu den Berechnungen im Dezimalsystem (Basis 10). Dabei müssen jedoch zwei wesentliche Grundsätze beachtet werden:

Erstens: Bei der Addition und Multiplikation werden Vielfache des Basiswerts, die während des Rechenprozesses den Wert der Basis erreichen oder überschreiten, als Übertrag an die nächsthöhere Stelle weitergegeben.
Zweitens: Bei der Subtraktion wird bei Bedarf von der nächsthöheren linken Stelle ein Wert von 1 „geliehen“. Der Wert dieses Übertrags für die aktuelle Stelle entspricht genau dem Wert der Basis.

Beispiele:

$(2)_6 + (3)_6=(5)_6$

$(31)_6 + (14)_6=(45)_6$

$(3)_6+(3)_6=(10)_6$

Erklärung: $3+3 = 6$. Da die Ziffer 6 im Sechsersystem (Basis 6) nicht existiert, prüfen wir, wie oft die Basis in der Summe enthalten ist. Die 6 passt genau einmal hinein, es entsteht also ein Übertrag von 1. Subtrahiert man dieses eine Vielfache der Basis von der Summe ($6 – 6$), bleibt ein Rest von 0. Diese 0 wird an die Einerstelle geschrieben. Der Übertrag von 1 wandert in die nächsthöhere Spalte (die 6er-Stelle). Da keine weiteren Ziffern zu addieren sind, bleibt an der 6er-Stelle nur die 1 stehen, was das Ergebnis $(10)_6$ ergibt. Betrachten wir ein mehrstelliges Additionsbeispiel:

\[ \begin{array}{r}
(3214)_6 \\
+\quad (235)_6 \\
\hline
(3453)_6
\end{array} \]

An der Einerstelle addieren wir 4 und 5, was 9 ergibt. Da 9 größer als die Basis 6 ist, teilen wir 9 durch 6: Die 6 passt einmal in die 9, woraus ein Übertrag von 1 resultiert. Wir ziehen die Basis von der 9 ab ($9 – 6$) und notieren den verbleibenden Rest 3 an der Einerstelle. Der Übertrag von 1 wird zur nächsten Spalte addiert. In dieser Spalte ergibt $1 + 3 = 4$, und plus den Übertrag von 1 erhalten wir 5. Da 5 kleiner als die Basis 6 ist, wird sie unverändert hingeschrieben. Dieses Verfahren wird Spalte für Spalte von rechts nach links fortgeführt.

Multiplikation

\[ \begin{array}{r}
(343)_5 \\
\times\quad (34)_5 \\
\hline
(3032)_5 \\
+\quad (2134)_5\phantom{0} \\
\hline
(24422)_5
\end{array} \]

Erklärung: Zuerst rechnen wir $4 \times 3 = 12 = (22)_5$. Die Endziffer 2 wird notiert und die 2 der 5er-Stelle als Übertrag gemerkt. Danach folgt $4 \times 4 = 16$; plus den Übertrag von 2 ergibt dies $18 = (33)_5$. Die 3 wird notiert und die vordere 3 als Übertrag gemerkt. Schließlich rechnen wir $4 \times 3 = 12$; plus den Übertrag von 3 ergibt dies $15 = (30)_5$. Die 0 wird notiert und die 3 mangels weiterer Stellen direkt links daneben gesetzt. Das erste Teilprodukt lautet somit: $(343)_5 \times (4)_5 = (3032)_5$.

Nach demselben Verfahren berechnen wir die nächste Stelle:

\[ (343)_5 \times (3)_5 = (2134)_5 \]

Wie im Dezimalsystem wird das zweite Teilprodukt beim Aufschreiben um eine Stelle nach links versetzt. Durch die anschließende stellenweise Addition beider Teilprodukte erhalten wir das Endergebnis: $(24422)_5$.

Zwei weitere Beispiele zur Veranschaulichung:

\[ \begin{arraypre}
\begin{array}{c@{\qquad}c}
\begin{array}{r}
(101101)_2 \\
\times\quad (101)_2 \\
\hline
(101101)_2 \\
+\quad (101101)_2\phantom{00} \\
\hline
(11100001)_2
\end{array}
&
\begin{array}{r}
(3454)_6 \\
\times\quad (345)_6 \\
\hline
(31042)_6 \\
(23144)_6\phantom{0} \\
+\quad (15250)_6\phantom{00} \\
\hline
(2231522)_6
\end{array}
\end{array}
\end{arraypre} \]

Subtraktion

\[ \begin{array}{r}
(30324)_5 \\
-\quad (12343)_5 \\
\hline
(12431)_5
\end{array} \]

Erklärung: An der Einerstelle wird $4 – 3 = 1$ gerechnet und notiert. An der 5er-Stelle kann man 4 nicht von 2 abziehen. Wir leihen uns daher 1 von der linken 25er-Stelle. Da deren Wert der Basis (5) entspricht, addieren wir diesen zur aktuellen Ziffer: $2 + 5 = 7$. Nun rechnen wir $7 – 4 = 3$ und notieren das Ergebnis. An der 25er-Stelle verbleibt durch das Entleihen statt der 3 nur noch eine 2. Da $2 – 3$ nicht möglich ist, müssen wir erneut von links leihen. Die benachbarte 125er-Stelle enthält jedoch eine 0, weshalb wir weiter zur 625er-Stelle gehen. Wir leihen dort 1, was der 125er-Stelle den Wert 5 verleiht. Von dieser 5 leihen wir wiederum 1 für unsere 25er-Stelle (an der 125er-Stelle verbleibt somit eine 4). Der Übertrag erhöht den Wert an der 25er-Stelle um 5: $2 + 5 = 7$. Nun wird $7 – 3 = 4$ berechnet und notiert. An der 125er-Stelle rechnen wir mit dem Restwert $4 – 2 = 2$. An der vordersten Stelle ist die 3 durch das Entleihen zu einer 2 geworden; es folgt $2 – 1 = 1$, was das Endergebnis $(12431)_5$ vervollständigt.

\[
\begin{arraypre}
\begin{array}{c@{\qquad}c@{\qquad}c}
\begin{array}{r}
(6543)_7 \\
-\quad (2343)_7 \\
\hline
(4200)_7
\end{array}
&
\begin{array}{r}
(1234)_5 \\
-\quad (321)_5 \\
\hline
(0413)_5
\end{array}
&
\begin{array}{r}
(53\text{C}47)_{15} \\
-\quad (4\text{A}35)_{15} \\
\hline
(4E212)_{15}
\end{array}
\end{array}
\endpre
\]

Division

Bei der Division in fremden Basissystemen kann der Quotient von links nach rechts ermittelt werden, indem man den Schätzwert anhand der dezimalen Entsprechungen von Divisor und Dividend bestimmt. Die anschließenden Multiplikations- und Subtraktionsschritte werden dann direkt in der vorgegebenen Basis durchgeführt.

Alternativ können sowohl Dividend als auch Divisor in das Dezimalsystem umgerechnet werden. Nach der klassischen Division wird das Ergebnis (Quotient und ggf. Rest) wieder zurück in das gewünschte Zielsystem transferiert.

Beispiel:

Gegeben ist die Division: $(41)_5 \div (12)_5$

\[
\begin{arraypre}
\begin{array}{l}
\textbf{1. Schritt: Umrechnung ins Dezimalsystem}\\
(41)_5 = 4 \times 5^1 + 1 \times 5^0 = 21_{10}\\
(12)_5 = 1 \times 5^1 + 2 \times 5^0 = 7_{10}\\
\\
\textbf{2. Schritt: Division im Dezimalsystem}\\
21 \div 7 = 3_{10}\\
\\
\textbf{3. Schritt: Ergebnis in die Basis 5 umrechnen}\\
\text{Da der ganzzahlige Wert 3 sowohl im Dezimal- als auch im Fünfersystem durch dieselbe Ziffer dargestellt wird, erübrigt sich eine Umrechnung.}\\
\text{Überprüfung: } (12)_5 \times (3)_5 = (41)_5
\end{array}
\end{arraypre}
\]

Beispiel:

Gegeben ist die Division: $(114332)_5 \div (23)_5$

Zuerst rechnen wir die Zahlen in das Dezimalsystem (Basis 10) um:

Divisor (Teiler):

\[ (23)_5 = 2 \times 5^1 + 3 \times 5^0 = 10 + 3 = 13_{10} \ ]

Dividend (zu teilende Zahl):

\[ (114332)_5 = 1 \times 5^5 + 1 \times 5^4 + 4 \times 5^3 + 3 \times 5^2 + 3 \times 5^1 + 2 \times 5^0 \]

\[ = 3125 + 625 + 500 + 75 + 15 + 2 = 4342_{10} \]

\[
\begin{arraypre}
\begin{array}{l}
\textbf{2. Schritt: Division im Dezimalsystem}\\
4342 \div 13 = 334_{10}\\
\\
\textbf{3. Schritt: Ergebnis in die Basis 5 umrechnen}\\
334_{10} = 2 \times 5^3 + 3 \times 5^2 + 1 \times 5^1 + 4 \times 5^0 = (2314)_5
\end{array}
\end{arraypre}
\]