Einfügen von Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen

 

Zwischen zwei rationalen Zahlen können unendlich viele rationale Zahlen eingefügt werden (es gibt unendlich viele Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen). Unter bestimmten Bedingungen ist es jedoch möglich, eine endliche Anzahl rationaler Zahlen zwischen ihnen zu platzieren.

Um Brüche, die bestimmte Bedingungen erfüllen, zwischen zwei bestehenden Brüchen einzufügen, geht man wie folgt vor:

1) Die Nenner der beiden Brüche werden auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner gebracht (gleichnamig gemacht).

2) Um die Zahlen, die die gewünschten Bedingungen erfüllen, zwischen diese Brüche zu schreiben, wird der Bruch erweitert oder gekürzt.

 

Beispiel:

 

Da der Nenner der Zahl, die genau in der Mitte zwischen den Brüchen \( \frac{2}{3} \text{ und } \frac{3}{4} \) liegt, 72 beträgt, wollen wir den Zähler dieser Zahl bestimmen.

Wir erweitern die gegebenen Brüche so, dass ihr Nenner 72 wird:

\[\begin{array}{l l } \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{24}{24}= \displaystyle\frac{48}{72}\\
\displaystyle\frac{3}{4}=\displaystyle\frac{3}{4} \cdot\displaystyle \frac{18}{18} = \displaystyle\frac{54}{72} \quad \text{gilt.}\\
\end{array}\]

Da der gesuchte Bruch genau in der Mitte der gegebenen Brüche liegt, muss der Zähler dieses Bruchs der Mittelwert aus den Zahlen 48 und 54 sein:
$$\frac{48+54}{2}=51$$

Somit lautet der gesuchte Bruch \(\frac{51}{72}\).

Als zweiter Lösungsweg: Wenn wir die Zahl genau in der Mitte der Brüche \( \displaystyle\frac{2}{3} \text{ und } \displaystyle\frac{3}{4} \) ermitteln wollen, entspricht diese dem arithmetischen Mittel der gegebenen Brüche. Das arithmetische Mittel von \(\displaystyle\frac{2}{3} \text{ und } \displaystyle\frac{3}{4}\) ist:

$$ \frac{\left(\frac{2}{3} + \frac{3}{4}\right)}{2} = \frac{17}{24} $$

Da der Nenner des Bruchs laut Aufgabenstellung 72 sein soll, wird der gefundene Bruch mit 3 erweitert, wodurch man die Zahl \(\displaystyle\frac{51}{72}\) erhält. Demnach beträgt der Zähler des gesuchten Bruchs 51.

 

Beispiel:

 

Wenn zwischen den Brüchen \(\displaystyle\frac{1}{3} \text{ und } \displaystyle\frac{3}{5}\) höchstens 7 Brüche eingefügt werden, wollen wir den kleinstmöglichen Wert für den Zähler des größten dieser Brüche bestimmen.

 

 

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