Prozentrechnen
a) Der Prozentbegriff:
Erklären wir den Begriff der Prozentrechnung an einem Beispiel.
Beispiel:
Ein Schüler, der sich auf die Universitätsprüfung vorbereitet, konnte in einem Monat 220 Seiten eines 550-seitigen Sozialwissenschaftlichen Buches zusammenfassen. Bestimmen wir, wie viel Prozent des Buches dieser Schüler in einem Monat zusammenfassen konnte.
Wenn wir das Verhältnis der Anzahl der vom Schüler zusammengefassten Seiten zur Gesamtzahl der Seiten des Buches ermitteln,
\[\frac{220}{550} = \frac{22}{55} = \frac{2 }{5} \cdot \frac{20}{20} = \frac{40}{100} \] Dieses Verhältnis
\[ \frac{40}{100} = \frac{1}{100} \cdot 40 = 0,40 \; (0,01 \cdot 40 ) = \% \;40 \] kann in dieser Form geschrieben werden.
Das Symbol \(\% \) wird anstelle von \( \Large \frac{1}{100} \) oder \( 0,01 \) verwendet.
\(\% \;40 \) wird als vierzig Prozent gelesen.
Der Ausdruck \(\% \;40 \) wird als Prozentsatz bezeichnet.
Es drückt aus, dass von jeweils einhundert Seiten vierzig Seiten zusammengefasst wurden.
Hinweis:
Damit rationale Zahlen mit dem Prozentsymbol geschrieben werden können, muss der Bruch so erweitert oder gekürzt werden, dass der Nenner 100 beträgt.
Wenn Dezimalzahlen als Prozentsätze ausgedrückt werden, wird das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben und dann als Prozentwert geschrieben.
Beispiele:
\(\bullet \quad \Large \frac{28}{40} = \frac{7}{10} \cdot \frac{10}{10} = \frac{70}{100} \) \( = \%70 \)
\(\bullet \quad \Large \frac{120}{600} = \frac{20}{100} \) \( = \%20 \)
\(\bullet \quad 0,55= 0,01 \cdot 55 = \%55 \) oder \(0,55 = \) \( \Large \frac{55}{100} \) \( = \%55 \)
Erklären wir die Begriffe **Grundwert (Grundzahl)**, **Prozentsatz** und **Prozentwert** an einem Beispiel.
Beispiel:
In einer Klasse mit 30 Schülern sind \(\%70 \) der Schüler im Fach Türkisch erfolgreich. Bestimmen wir die Anzahl der Schüler, die in dieser Klasse im Fach Türkisch erfolgreich sind.
\[
\begin{aligned}
\text{Wenn von } 100 \; \text{Schülern} \quad \quad &70 \; \text{erfolgreich sind,} \\
\\
\text{dann sind von } 30 \; \text{Schülern} \quad \quad &x \; \text{erfolgreich.} \\
\\
\hline \text{Direkte Proportionalität}
\end{aligned}
\]
\[ \underbrace{x}_{\Large \text{Prozentwert} } = \underbrace { 30}_{\Large \text{Grundwert} } \cdot \quad \underbrace{\frac{70}{100} }_{\Large \text{Prozentsatz} } \]
\[ \underbrace{21}_{\Large \text{Prozentwert} } = \underbrace { 30}_{\Large \text{Grundwert} } \cdot \quad \underbrace{\frac{70}{100} }_{\Large \text{Prozentsatz} } \]
Daraus lässt sich die Gleichung
\[ \textbf{Prozentwert} = \textbf{Grundwert} \times \textbf{Prozentsatz} \]
aufstellen.
Schlussfolgerungen:
\(1) \) Der Ausdruck „Prozent a“ kann auf drei Arten dargestellt werden:
\( \bullet \) \(\% a \)
\( \bullet \) \(\Large \frac{a}{100} \)
\( \bullet \) \(0,01 \cdot a \)
\[ \%a = \frac{a}{100} = 0,01 \cdot a \]
\(2) \) Um \(\%a \) einer Zahl zu berechnen, wird diese Zahl mit \(\Large \frac{a}{100} \) multipliziert.
Beispiel:
Berechnen wir \( \% 15 \) von 400.
\[ \Rightarrow 400 \cdot \frac{15}{100} = 60 \; \text{wird als Ergebnis ermittelt.} \]
Beispiel:
Bestimmen wir, von welcher Zahl die Zahl \(0,008 \) genau \(\% 40 \) beträgt.
Nennen wir die gesuchte Zahl \(x \). Da \( \% \;40 \) von \(x \) gleich \(0,008\) ist, schreiben wir die Gleichung \[ x \cdot \frac{40}{100} = 0,008 \] auf, woraus sich \[ x= 0,02 \; \text{ergibt.} \]
Beispiel:
Ein Schüler hat in einer Prüfung mit 100 Fragen 90% der ersten 30 Fragen richtig beantwortet. Da die Gesamtrate der richtigen Antworten bei allen Fragen 80% beträgt, berechnen wir, wie viele der restlichen Fragen er richtig beantwortet hat.
Da er 80% der 100 Fragen richtig beantwortet hat: \[ 100 \cdot \frac{80}{100} = 80 \, \text{(richtige Antworten)} \] Da er 90% der ersten 30 Fragen richtig beantwortet hat: \[ 30 \cdot \frac{90}{100} = 27 \, \text{(richtige Antworten)} \] Da insgesamt 80 richtige Antworten vorliegen müssen, beträgt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen unter den restlichen Fragen: \[ 80 – 27 = 53 \] Folglich hat der Schüler \(53\) der anderen Fragen richtig beantwortet.
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