Mengenarten
Leere Menge
Eine Menge, die kein einziges Element enthält, wird als leere Menge bezeichnet. Die leere Menge wird mit { } oder Ø symbolisiert.
Beispiel:
Die Menge \( A = \{x | \;\; x^2 +1 = 0 \;\; x \in R \}\)
ist eine leere Menge, da für alle reellen Zahlen gilt: \( \Rightarrow x^2 +1 > 0 \).
Wenn \( A = \{\} \) oder \( A= \) Ø, dann gilt \(s(A)=0 \).
Teilmenge:
Wenn von zwei Mengen A und B jedes Element der Menge B zugleich auch ein Element der Menge A ist, dann heißt B eine Teilmenge von A, oder man sagt, dass die Menge A die Menge B umfasst (Obermenge ist). Dies wird als \( B \subset A \) oder \( A \supset B \) dargestellt.
Hierbei gilt:
\(\bullet \quad \) \( \subset \;\; \): Teilmengen-Zeichen
\(\bullet \quad \) \( \supset \;\; \): Obermengen-Zeichen (umfasst).
Beispiele:
\(\bullet \quad \)
\( A \supset B \)
\(\bullet \quad \) Die Teilmengen der Menge \( F = \{ a, b, c \} \)
betragen insgesamt 8, nämlich: \( F = \{ a, b, c \} , \{ a, b\} ,\{a, c \} ,\{b,c \}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{ \} \).
Hinweis:
\(\bullet \quad \) Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst. \( A \subset \;\; A \)
\(\bullet \quad \) Die leere Menge ist eine Teilmenge von jeder Menge. \( Ø \subset \;\; A\)
Anzahl der Teilmengen:
Die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge beträgt:
\[ 2^n \]
Frage 1
Wie viele Teilmengen hat die Menge \(A= \{ a, \{ a\} , Ø , b, c, \{b, d \} \} \)?
\[
\text{A)} 8 \quad
\text{B) } 16 \quad
\text{C) } 32\quad
\text{D) } 64 \quad
\text{E) } 128
\]
Lösung:
Da \( s(A) = 6 \) ist, besitzt die Menge A insgesamt \(2^6= 64 \) Teilmengen.
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 2
Wie viele Teilmengen der Menge \(A= \{ a, b, c , d, e , f \} \) enthalten das Element a, aber nicht das Element b?
\[
\text{A)} 32 \quad
\text{B) } 16 \quad
\text{C) } 8\quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 2
\]
Lösung:
Da das Element b in den Teilmengen nicht vorkommen darf, das Element a jedoch enthalten sein muss, bilden wir mit den verbleibenden Elementen der Menge { c, d, e, f} insgesamt \(2^4= 16 \) Teilmengen und fügen das Element a zu jeder dieser Teilmengen hinzu. Somit können unter den gegebenen Bedingungen 16 Teilmengen gebildet werden.
\(\textbf{Antwort: B} \)
Echte Teilmenge
Jede Teilmenge einer Menge, die nicht mit der Menge selbst identisch ist, wird als echte Teilmenge dieser Menge bezeichnet.
Beispiel:
Die echten Teilmengen der Menge \( A = \{ 1, 2 , 3 \} \)
betragen insgesamt 7, nämlich: \[ A= \{ 1, 2 \} , \{1,3 \} , \{ 2, 3 \} , \{1 \} , \{ 2\} , \{ 3\} , \{ \} \]
Die Anzahl der echten Teilmengen einer n-elementigen Menge beträgt:
\[ 2^n-1 \]
Frage 3
Wie viele Elemente hat eine Menge, wenn die Summe aus der Anzahl ihrer Teilmengen und echten Teilmengen 63 beträgt?
\[
\text{A)} 3 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 5\quad
\text{D) } 6 \quad
\text{E) } 7
\]
Lösung:
Die Anzahl der Elemente dieser Menge sei n.
\[ 2^n + 2^n-1 = 63 \Rightarrow 2 \cdot 2^n = 64 \]
\[ \Rightarrow 2^n = 32 = 2^5 \Rightarrow n= 5 \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Grundmenge (Evrensel Küme)
Eine Menge, die alle betrachteten Mengen umfasst, wird als Grundmenge (auch universelle Menge) bezeichnet. Die Grundmenge wird mit dem Symbol E (oder G) dargestellt.
Beispiel:
Komplementärmenge (Komplement einer Menge)
Es sei eine Menge \( A \) eine Teilmenge der Grundmenge \( E \). Die Menge der Elemente, die in \( E \), aber nicht in \( A \) enthalten sind, nennt man Komplementärmenge von \( A \). Sie wird als \( A‘ \) oder \( \overline{A} \) geschrieben.
\[ \overline{A} = A‘ = \{ x \, | \, x \in E \text{ und } x \notin A \} \]
Eigenschaften:
\(1.)\;\; E’= Ø \quad \quad 2.) \;\; Ø‘ = E \quad \quad 3.) \;\; (A‘)‘ = A \)
\(4.)\;\; Aus \ B \subset A \;\; \text{folgt } B‘ \supset A‘ \quad \quad 5.) \;\; s(A) + s(A‘) = s(E)\)
Beispiel:
\[\begin{aligned} A’= \{ 6,7,8 \} \\ B’= \{3,4,5,6,7,8 \} \\ B\subset A \;\; \text{und } \;\; B’\; \supset\; A‘ \end{aligned}\]
Beispiel:
Wenn \( E= R \) und \( A = \{ x \; | \; x< 0 \;\; \text{oder } \; x \ge 3 , \; x \in R \} \) gegeben sind, bestimmen wir die Komplementärmenge \( A‘ \).
\[ A‘ = \{x \;| \; 0 \le x < 3 , x \in R \} \]
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