Relationen
Was ist eine Relation?
In der Mathematik ist eine Relation (Beziehung) eine Verknüpfung, die nach einer bestimmten Regel zwischen zwei Mengen definiert ist. Wenn \( A \) und \( B \) zwei beliebige Mengen sind, wird eine Relation von der Menge \( A \) in die Menge \( B \) definiert als: \[R \subset A \times B \Rightarrow R\; (Relation) \]
Wenn zum Beispiel die Mengen
\[
A = \{1, 2, 3\}, \quad B = \{4, 5, 6\}
\]
gegeben sind, kann die Relation \( R\) wie folgt aussehen:
\[
R= \{(1,4), (2,5), (3,6)\}
\]
Seien \( A \) and \( B \) zwei nichtleere Mengen,
Jede Teilmenge von \( A \times B \) wird als Relation von A nach B bezeichnet,
Jede Teilmenge von \( B \times A \) wird als Relation von B nach A bezeichnet,
Jede Teilmenge von \( A \times A \) wird als Relation von A nach A (eine Relation auf A) bezeichnet.
Beispiele:
Gegeben seien die Mengen \( A = \{ 1, 2, 3 \} \) und \( B = \{ a, b, c \} \).
\( \bullet \) Wenn \( R_1 = \{ (1, a) , (2,a), (3,b) \} \) gilt, dann ist \( R_1 \subset A \times B \). Folglich ist \(R_1 \) eine Relation von \(A \) nach \(B \).
\( \bullet \) Wenn \( R_2 = \{ (2, a) , (3,b), (1,c) , (a, 1)\} \) gilt, da \( (a, 1 ) \) \( \notin A \times B\) ist, gilt \( R_2 \not\subset A \times B \).
\( \bullet \) Wenn \( R_3 = \{ (a, a) , (a,b), (b,c) \} \) gilt, dann ist \( R_3 \subset B \times B \). Folglich ist \( R_3\) eine Relation von \(B \) nach \(B \).
Hinweis:
Die gegebene Relation sei:
\[
R \subset A \times B
\]
Wenn \((x, y) \in R\) ist, kann dies als
\[
y \, R \, x
\]
geschrieben werden, und man sagt, das Element \( x \) wird durch die Relation \( R \) dem Element \( y \) zugeordnet (das Element \( y \) steht durch die Relation \( R \) in Beziehung zu \( x \)).
Geordnetes Paar
Ein Element, das man erhält, indem man zwei beliebige Elemente wie \(a \) und \( b \) unter Berücksichtigung einer bestimmten Reihenfolge in der Form \((a, b) \) schreibt, wird als geordnetes Paar oder kurz Paar bezeichnet. Im geordneten Paar \((a, b) \) wird \(a\) als erste Komponente und \(b \) as zweite Komponente bezeichnet.
In einem geordneten Paar ist die Reihenfolge der Komponenten wesentlich. Wenn sich die Reihenfolge der Komponenten ändert, erhält man ein anderes Paar. Es gilt also \( (a, b) ≠(b,a) \). Zudem
\[
\begin{aligned}
&(x_1, x_2, x_3) \quad \text{geordnetes Tripel} \\
&(x_1, x_2, x_4)\quad \text{geordnetes Tupel (4-Tupel)}\\
&\cdots \cdots\\
&\cdots \cdots\\
&(x_1, x_2, x_4, \cdots x_n)\quad \text{wird als geordnetes n-Tupel bezeichnet.}\\
\end{aligned}
\]
Gleichheit geordneter Paare:
Damit geordnete Paare gleich sind, müssen ihre entsprechenden Komponenten jeweils einander gleich sein.
\[ (a, b) = (x,y ) \Rightarrow a = x \quad \text{und } \;\; y= b \;\; \]
Frage 1
Wenn \[ (2^x, 2^{y+1} )= (8, 2^{x-1}) \] wie groß ist dann \(y \)?
\[
\text{A)} 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]
Lösung:
Da \[ (2^x, 2^{y+1} )= (8, 2^{x-1}) \] gegeben ist, gilt:
\[ 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x= 3 \;\; \text{und} \]
\[ 2^{y+1} = 2^{x-1} \Rightarrow y+1= x -1 \]
\[ \Rightarrow y+1= 3 -1 \Rightarrow y= 1 \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Frage 2
Wenn \[ (\frac{1}{x}, \frac{2}{y}, \frac{4}{z} )= (y^2, z^2, x^2) \] wie groß ist dann das Produkt \( xyz \)?
\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]
Lösung:
Damit geordnete Tripel einander gleich sind, müssen ihre entsprechenden Komponenten jeweils einander gleich sein. Demnach gilt:
\[ \frac{1}{x} = y^2 \Rightarrow 1 = xy^2 \]
\[ \frac{2}{y} = z^2 \Rightarrow 2 = yz^2 \]
\[ \frac{4}{z} = x^2 \Rightarrow 4 = zx^2 \]
\[
\begin{aligned}
&1 = xy^2\\
&2 = yz^2\\
\times \quad &4 = zx^2 \\
\hline
\quad &8= x^3y^3z^3 \Rightarrow xyz= 2
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Anwendungsbereiche von Relationen
Relationen werden in der Mathematik in vielen Bereichen wie Funktionen, Graphentheorie, Mengenlehre und Datenbanken verwendet.
- Mathematik → Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen, Funktionen.
- Logik und Mengenlehre → Zeigt Beziehungen zwischen Elementen.
- Datenbanken (SQL) → Verbindungen zwischen Tabellen werden durch Relationen modelliert.
- Graphentheorie → Definiert Verbindungen zwischen Knoten.
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