Graph einer Relation
Die Menge der Punkte in der analytischen Ebene, die den Elementen einer Relation entsprechen, wird als Graph dieser Relation bezeichnet.
Um den Graphen einer Relation zu zeichnen, wird dasselbe Verfahren wie beim Zeichnen des Graphen eines kartesischen Produkts angewendet. Dies liegt daran, dass eine Relation definitionsgemäß eine Teilmenge des kartesischen Produkts ist.
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Relation \[ R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; x = 2 \quad \text{und } \quad |y| \le 1 \} \]
\[x= 2 \quad \text{und } \quad |y| \le 1 \Rightarrow -1 \le y \le 1 \]
Beispiel:
Als eine auf \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) definierte Relation: \[ R = \{(x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \quad (\text{oder}\; \mathbb{R}^2) : |x| \le 2 \quad \text{und} \quad -1 < y < 1\}\]
Der Graph der Relation auf \( \mathbb{R}^2 \) und die Schnittmengen sind in den Abbildungen dargestellt. (Die Schnittmenge ist im unteren Graphen dargestellt)
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Relation \[ R = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; y \ge x \quad \text{und } \quad x > 1 \} \] definiert auf der Menge \( \mathbb{R}^2 \) (Reelle Zahlen).
\[
R = \bigl\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \;|\; x>1 \quad \text{und} \quad y \ge x \bigr\}.
\]
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Relation \[ R = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; x^2+ y^2 = 4 \} \] definiert auf der Menge \( \mathbb{R}^2 \) (Reelle Zahlen).
Die Menge der geordneten Paare, die die Gleichung \(x^2+ y^2 = 4 \) erfüllen, stellt einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung (Origin) und einem Radius von 2 Einheiten dar.
Hinweis:
Der Graph einer Relation \(R \) und der Graph ihrer inversen Relation \(R^{-1} \) sind achsensymmetrisch bezüglich der Geraden \(y= x \) (Winkelhalbierende).
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Relation \[ R = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; y = 2x \} \] und ihrer inversen Relation \[ R^{-1} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; x = 2y \} \] definiert auf \( \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \).
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