Funktionen

 

Es seien \( A \) und \( B \) zwei nichtleere Mengen und \( f \) eine Relation von \( A \) nach \( B \). Wenn jedes Element der Definitionsmenge \( A \) durch die Relation \( f \) genau einem Element der Zielmenge \( B \) zugeordnet wird, so wird die Relation \( f \) als eine Funktion (y-Abbildung) von \( A \) nach \( B \) bezeichnet.

Die mathematische Notation lautet:
\[ f: A \longrightarrow B \quad \text{oder} \quad A \rightarrow{f} B \]

Hierbei nennt man \( A \) die Definitionsmenge (bzw. den Definitionsbereich) ve \( B \) die Zielmenge (bzw. den Mitbereich) der Funktion. Die Teilmenge von \( B \), die aus den tatsächlichen Bildelementen der Definitionsmenge \( A \) besteht, wird als Wertemenge (oder Bildmenge) von \( A \) bezeichnet und als \( f(A) \) dargestellt.

 

Beispiel:

 

\( A = \{ a, b, c, d \} \) ist die Definitionsmenge,

\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) ist die Zielmenge,

\( f(A) = \{ 4, 5, 6 \} \) ist die Wertemenge (Bildmenge), wobei \( f(A) \subseteq B \) gilt.

Wenn \( f: A \to B \) und \( (x,y) \in f \), schreibt man:
\[ f: x \to y \quad \text{oder} \quad y = f(x) \]
Hierbei wird \( y \) als das Bild von \( x \) unter der Funktion \( f \) bezeichnet.

 

Beispiel:

 

Gegeben seien die Mengen \( A = \{ -1, 0, 1, 2 \} \) und \( B = \{ -1, 0, 1, 2, 3, 4 \} \). Eine Funktion \( f \) von \( A \) nach \( B \) sei wie folgt definiert:

\[
f = \{ (x, y) \mid y = x^2 \}
\]

In diesem Fall lautet die Zuordnungsvorschrift:
\[
f(x) = x^2
\]

Die Berechnung der einzelnen Funktionswerte ergibt:

\[ \text{Für } x = -1 \quad \implies \quad f(-1) = (-1)^2 = 1 \]

\[ \text{Für } x = 0 \quad \implies \quad f(0) = 0^2 = 0 \]

\[ \text{Für } x = 1 \quad \implies \quad f(1) = 1^2 = 1 \]

\[ \text{Für } x = 2 \quad \implies \quad f(2) = 2^2 = 4 \]

Daraus ergibt sich die Relation in aufzählender Form zu \( f = \{ (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) \} \), was im Folgenden als Pfeildiagramm veranschaulicht wird. Die resultierende Wertemenge lautet:

\[ f(A) = \{ 0, 1, 4 \} \]

 

Wichtiger Hinweis:

 

Damit eine Relation \( f \) von \( A \) nach \( B \) eine Funktion definiert, müssen die folgenden zwei Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen erfüllt sein:

\( 1) \) Jedes Element der Definitionsmenge \( A \) muss mindestens einen Partner haben (es darf kein Element unzugeordnet bleiben); in der Zielmenge \( B \) dürfen hingegen Elemente übrig bleiben.
\( 2) \) Jedes Element aus \( A \) darf auf genau ein Element der Zielmenge \( B \) abgebildet werden (Rechtseindeutigkeit).

 

Beispiele:

 

Gegeben seien die Mengen \( A = \{ a, b, c \} \) und \( B = \{ 1, 2, 3 \} \). Wir untersuchen, ob die folgenden Relationen von \( A \) nach \( B \) Funktionen darstellen.

\[
\bullet \quad f_1 = \{ (a, 1), (b, 3) \} \quad \text{Wir stellen diese Relation in einem Pfeildiagramm dar.}
\]

 

Da das Element \( c \in A \) keinem Wert zugeordnet ist (es bleibt leer), ist die Relation \( f_1 \) keine Funktion.

\[
\bullet \quad f_2 = \{ (a, 1), (b,2), (b, 3), (c, 3) \} \quad \text{Wir stellen diese Relation in einem Pfeildiagramm dar.}
\]

\[
\bullet \quad f_3 \quad \text{Wir stellen diese Relation in einem Pfeildiagramm dar.}
\]

Da die Relation \( f_3 \) alle mathematischen Bedingungen erfüllt, handelt es sich um eine Funktion.

\[
\bullet \quad f_4 \quad \text{Wir stellen diese Relation in einem Pfeildiagramm dar.}
\]

 

Beispiele:

 

Wir untersuchen die folgenden algebraisch definierten Relationen auf ihre Funktionseigenschaft.

1) Definiert von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \):
\[
f_1 = \{(x,y) \mid y = \frac{x}{x^2 – 1} \}
\]

Bei dem rationalen Term \[ y = \frac{x}{x^2 – 1} \] wird der Nenner für \( x = \pm1 \) gleich Null, wodurch der Ausdruck nicht definiert ist. Da die Elemente \( -1 \) und \( 1 \) somit keinen reellen Bildwert besitzen, verbleiben sie definitionslos. Die Relation \( f_1 \) ist daher keine Funktion.

2) Definiert von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \):
\[
f_2 = \{(x,y) \mid |y| = x^2 + 1 \}
\]

Betrachtet man die Gleichung \[ |y| = x^2 + 1 \] so besitzt jedes Element der Definitionsmenge zwei verschiedene Bildwerte. Wählt man beispielsweise \( x = 1 \), so ergibt sich \( y = \pm 2 \). Aufgrund dieser Mehrdeutigkeit ist die Relation \( f_2 \) keine Funktion.

3) Definiert von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \):

\[
f_3 = \{(x,y) \mid y = \frac{x}{x^2 + 1} \}
\]

Da der quadratische Ausdruck im Nenner für alle reellen Zahlen positiv ist (\( x^2 + 1 \neq 0 \)), wird jedem reellen Eingabewert \( x \) genau ein eindeutiger reeller Funktionswert \( y \) zugeordnet. Somit ist die Relation \( f_3 \) eine Funktion.

4) Definiert von \( \mathbb{Z} \) nach \( \mathbb{Z} \):
\[
f_4 = \{(x,y) \mid y = \frac{x – 1}{3} \}

 

Kriterium (Der Vertikallentest):

 

 

2)

  \(\Rightarrow \)       

 

 

3)

\(\Rightarrow \)

Jede vertikale Parallele trifft den Graphen lückenlos in genau einem Punkt. Die Relation \( f_3 \) ist folglich eine Funktion.

4)

\(\Rightarrow \)

 

 

5)

 

 

 

Aufgabe 9