Yaş Problemleri
a) Bir kişinin yaşı x ise,
\( \bullet \) \( t \) yıl sonraki yaşı: \( x \; + \; t \)
\( \bullet \) \( t \) yıl önceki yaşı: \( x \; – \; t \) dir.
b) n kişinin yaşları toplamı: x ise,
\( \bullet \) \( t \) yıl sonraki yaşları toplamı: \( x \;+ \;n \cdot t \)
\( \bullet \) \( t \) yıl önceki yaşları toplamı: \( x \; – \;n \cdot t \) dir.
c) İki kişi arasındaki yaş farkı yıllara göre değişmez, sabittir.
Örnek:
Fatih, Yavuz’dan 8 yaş büyüktür. 5 yıl sonra Fatih’in yaşının Yavuz’un yaşına oranı \( \large \frac{3}{2} \) olacağına göre, Yavuz’un yaşını bulalım.
Yavuz’un yaşına \(x \) denilirse, Fatih’in yaşı \( x+8 \) olur. 5 yıl sonra, Fatih’in yaşının Yavuz’un yaşına oranı
\[ \frac{(x+ 8 ) + 5 }{x+5 } = \frac{3}{2} \] olacağından Yavuz’un yaşı, \( x = 11 \) bulunur.
Örnek:
Erdem, kardeşinden 4 yaş büyüktür. Babasının yaşı, Erdem’in yaşının 3 katıdır. 5 yıl önce her üçünün yaşları toplamı 41 olduğuna göre, Erdem doğduğu zaman babasının kaç yaşında olduğunu bulalım.
Erdem’in yaşına \(x\) denilirse, kardeşinin yaşı \( x – 4 \), babasının yaşı \(3x \) olur. Her üçünün 5 yıl önceki yaşları toplamı \( 41 \) olduğuna göre, şimdiki yaşları toplamı: \[ 41 + 3 \cdot 5 = 56 \] olur. Buradan, \[ 3x + x + x – 4 = 56 \Rightarrow x = 12 \quad \text{ve } \quad 3x = 36 \] olur
Buna göre, Erdem doğduğu zaman babasının yaşı: \[ 36-14 = 24 \] tür.
Örnek:
Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 4 katıdır. 5 yıl sonra, babanın yaşı çocuklarının yaşları farkının 5 katından 2 eksik olacağına göre, babanın şimdiki yaşını bulalım.
İki çocuğun yaşları farkına \(x \)denilirse, babanın şimdiki yaşı \(4x \) , \(5 \) yıl sonraki yaşı \(4x + 5\) olur. Buradan verilen probleme ait denklem yazılırsa:
\[ 4x + 5 = 5x − 2 \Rightarrow x = 7 \]
ve babanın şimdiki yaşı \[ 4x = 28 \quad \text{bulunur. } \]
Soru 7
Alparslan, Engin’den 10 yaş büyüktür. 8 yıl önce, Alparslan’ın yaşı Engin’in yaşının 2 katı idi. Buna göre, Alparslan ile Engin’in şimdiki yaşları toplamı kaçtır?
\[
\text{A)} 28 \quad
\text{B) } 30\quad
\text{C) } 32 \quad
\text{D) } 36 \quad
\text{E) } 46
\]
Çözüm:
Engin’in yaşına \(x \) denilirse, Alparslan’ın yaşı \(x + 10 \) ; 8 yıl önce Engin ile Alparslan’ın yaşları sırasıyla \( x − 8 \) ve \(x + 2 \) olur. Buradan verilen probleme ait denklem yazılırsa,
\[x + 2 = 2 \cdot (x − 8) \Rightarrow x = 18 \] bulunur. Buna göre Alparslan ile Engin’in şimdiki yaşları toplamı:
\[ x + 10 + x = 18 + 10 + 18 = 46 \quad \text{olur. } \]
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 8
Yunus’un yaşı Selim’in yaşının 3 katıdır. Yunus’un yaşı kendi yaşının yarısı kadar arttığı zaman ikisinin yaşları toplamı 56 olduğuna göre, Selim’in şimdiki yaşı kaçtır?
\[
\text{A)} 8 \quad
\text{B) } 9\quad
\text{C) } 10 \quad
\text{D) } 11 \quad
\text{E) } 12
\]
Çözüm:
Selim’in yaşına \( 2x \) denilirse Yunus’un yaşı \( 6x \) olur. Yunus’un yaşı kendi yaşının yarısı kadar arttığı zaman (yani \( 3x \) yıl sonra) Selimin yaşı \( 5x \) , Yunus’un yaşı \( 9x \) olur. Buna göre, verilen probleme ait denklem yazılırsa,
\[ 5x + 9x = 56 \Rightarrow x = 4 \] ise Selim’in yaşı
\[ 2x = 8\] bulunur
\(\textbf{Cevab: A} \)
Soru 9
Üç kardeşin yaşları toplamı 64 tür. Kardeşlerin en büyüğü en küçüğünden 12 yaş büyüktür. Ortanca kardeş büyük kardeşin şimdiki yaşına geldiği zaman kardeşlerin yaşları toplamı 88 oluyor. Buna göre, kardeşlerin en küçüğü kaç yaşındadır?
\[
\text{A)} 14 \quad
\text{B) } 16\quad
\text{C) } 18 \quad
\text{D) } 20 \quad
\text{E) } 24
\]
Çözüm:
Küçük kardeşin yaşı \( x \) , ortanca kardeşin yaşı \( y \), büyük kardeşin yaşı \( x + 12 \) olsun. Ortanca kardeşin yaşı, \(x \;+ \; 12 \;- \; y \) yıl sonra büyük kardeşin şimdiki yaşına eşit olur. Buna göre 3 kardeşin yaşları toplamı,
\[ x\; + \; 12 \;-\; y \quad \text{yılda } \quad 88- 64 = 24 \] artar. O halde,
\[ 3 \cdot (x\; +\; 12 \;- \;y ) = 24 \Rightarrow y = x+ 4 \] olur. 3 kardeşin yaşları toplamı 64 olduğuna göre,
\[ x + (x +4 ) + (x + 12 ) = 64 \Rightarrow x = 16\]
\(\textbf{Cevab: B} \)